А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 12

Решение 13.5) указывает на то, что плоские волны, идущие навстречу друг другу, нс взаимодействуют между собой. Волновой характер полученных решений можно объяснить следующим образом. Согласно э 4 гл. 1, тензор напряжений магнитного поля можно представить как сумму ур равномерного давления — по всем направлениям и натяже8з Н' ния — вдоль магнитных силовых линий. В полученном ре4я Н' шенин р + †„ - = сопз1, так что единственной силой, дейст-. вующей на жидкость, является сила, возникаюгцая за счет натяжения магнитных силовых .чиний. Нс удивительно поэтому, что движение жидкости описывается уравнением колебаний натянутой струны. Отметим, что при выводе волнового уравнения амплитуды волн ие считались малыми.

С помощью общего решения 13.5), (3.6) можно решить различные кошсретные задачи. Рассмотрим некоторые примеры. 1. Пусть в начальный момент 1=0 в пространстве аадано некотоРое РаспРеделение скоРостей мзгх) и магнитного полЯ гт згх). Найдем скоРость движениЯ жидкости и папРЯ- женность магнитного поля в последующие моменты времени. У8 [гл. и движения несжимаемой жидкости Будем искать решение задачи в анде (3.5).

Тогда, используя начальные данные и (3.6) для определения функпии Н, и Н„получим тт= — — -' — +:, Н =Н +Н, н„н о у»аз у» — о— Так как определитель этой системы В= — -„.—, то фупк- 1 ции Н, и Н,, определяются однозначно. 2. Пусть жидкость заполняет полупространство х > 0 и грани ат с бесконечно проводящей степкой х = О, которая совершает произвольные движения параллельно самой себе со скоростью е) ((). Прн 1=0 в жидкости Н=Н е=сопзй Н„тьО, и= О. Найти дальнейшее движение жидкости.

Вследствие бесконечной проводимости стенки н жидкости при х = 0 имеют место соотношения. которые следуют из условия непрерывности касательной составляющей электрического поля н нормальной составляющей магнитного поля на поверхности раздела двух сред: Н„„=Н„„=Н», Е.= е Х Н»= с Х Н». оУ'(Г) Е (О, Г) Отсюда п(0, г) = Е/(~), (3.7) т. е.

скорость прнлегаюншго слоя жидкости равнз скорости стенки. Будем снова искать решение в видс (3.5). Из начальных условий следует, что прн Г = 0 Н = Н„, (х) + Нл(х), (3.8) 0 = — о, (х)+от(х) = — Н, (х)+Не(х). Отсюда для положительных аначений аргумента находим Н-.я (х+олг) = Ны (х — олт) = 2', (3.9) поэтому при х > олт имеем о=о,+от=-О, Н= — Н1+Нт=Н, т.

е. движение жидкости сосредоточено в области О» х (олГ. Для определения движения жидкости в этой области вос- 9 31 волповыз движения идвлль««ой «кндкости 79 пользуемся граничным условием (3.7) н равенствами (3.9): (' («).=-о«( — олр)+ог(олр) = — = ! Н «( олр)+ 1 1' 4яр + Н г (олр)) — 1 Н«( ол() + 1 'гг4вр ~ 2 — (Но '«) е« дл дг де 1, 1 — =- — — игад Р'+ — (Н т)рг, др р 4хр д(ч и = О, д(ч 7« = О, (3.10) Н П Р =Р+ 4«с д Направим ось х параллельно Нс, тогда (Негр) = Н„-д —. о дх ' Исключив из второго уравнения Ь, получим д'р 1 др' Но дьв дрг р й др + 4яр дхг' (3.11) д(ч о = О. Если применить операцию го1 к первому уравнению, то по- 1 лучим, что вектор вихря ю = — го1о удовлетворяет волно- 2 вому уравнспн«о дгь«Н д~ы о (3,12) дР 4 —..р дх' Определив отсюда Н„(х), найдем рещение задачи: Н,= Н„+Н„= — У 4кР(7~1 — — )+-Ню, х « е«=е««+о, =-(1(à — — 1! А Таким образом, движение предстанляет собой уходящую от стенки волну.

Рассмотрим теперь слабые возмущпщя в несжимаемой жидкости [«з). Будем считать отклонения о и рг от основного состояния (У= О, Н=Нз=-сопз1 маль«л«и, и квадратами этих отклонений будем пренебрегать. Тогда уравнения движения примут внд: 80 ЛВижения песлким»емой >килкости (гл. н Поступая аналогичным образом, получим следующее уравне- нис для го1Ь= — —: 4чг' . с д/ Не дУ дря »яр дх' ' (3.1 3) Общие решения уравнений (3.12) и (3.!3) имеют внд «л= ю,(х — олг, у, «)+юе(х+олг, у, «), /р, .р'= — Л(х — олр, у, «)+Л(х+о„р, у, «), о»-—-- )С»яр ' (3.1 4) Отметим, что так как ддчю=д!чу=О, то юп юю лл, и,уе должны удовлетворять условиям д!ч юл = д !ч юе = д! ч /л =- д!ч /е = О. Подставляя выражения (3.14) в равенства (3.10), получим ю,= — с '1~ — ',у»+сонэ!, ю =с '1~ — р'+сопя!. (3.15) Г р — Г 1, Из (3.14) и (3.15) следует, что величина ьл — с ' $/ — у = — го1(ел — .

) р 2 'гс4яр зависит от х — олр, у, «, а величина + -'1/ — ~= —,' 1( +,"- — ) зависит от х + олл, у, «. Отслода лщм»но сделать вывод л л о постоянстве циркуляций векторов тл — —. и чл+=, )с4яр взятых по контурам, которые перемещаются в пространстве относительно газа со скоРостью гйелл[л). Будем рассматривать движения в неограниченной жидкости. Б этом случае поле скоростей однозначно определяется распределением вихрей и, следовательно. скорость н магнитное поле могут быть представлены в виде тл = ел,(х — олл, у, «) + ел (х +о 1, у, «), ч,(х — б у, ) ч (х + г у, ) (3.16) ф 3) волиовыз движения идеальной жидкости 81 где е, определяется иа юв а и, по гвз, причем Йч и, = = Йч оя =- О.

В этом случае член кгаг( —, вхолшций в ар д8 ' уравнение (3.11), равен пулю. Равенства (3.14), (3.15) и (3.15) позволяют решать задачи с начальными даниыми. Отсюла, н частности, следует, что если начальные возмущения сосредоточены в ограиичеинов области, то, так кзк решение имеет вид (3.14), (3.15), эта область разделится с течением времени на две возмущеиные области, расходящиеся в разные стороны вдоль иаправлеиия 11е.

ГЛАГА ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И,Л*)=:дйИУ.Ц-..НИЯ В ИДЕАЛ: Н т 1 ГАЗЕ ') ф 1. Слабые разрывы В этой главе рассматриваются движения идеального сов=нного газа. Система уравнений, описываюнгая такие движения, имеет вид: ди ди ди ди 1 д ! Нз) — + и — + о — + ти — =. — — — ~)р + — ) + дт дх ду да р дх1 8е) + 1 (Н дН„+Н дН, +Н дНх' Фер 1 х дх т ду т да /' де де до до 1 д г' Нз1 — + — +о — + — == — —, — — 1Р+ — )-г дт дх ду дх р дут, 8к) дте дгз дга дга 1 д / Н'1 — + — + о — +- — =-- — — ~р+ — )+ дт дх д» дг р да А 8я) — +и — +о — +ю — + др др др др дт дх ду дх (1.1) ') Для удобства в этой книге среду будем назывзть идеальной, если в ней напряжения сводятся к давлению, отсутствует теплопроводиость и проводимость равна бесконечности 1см, з 4 гл, !).

В противном случае среду будем называть неидеальной. 84 пгостые ВОлны и мАлые Возмуншния 1гл. Н1 поверхности. Так как в исходной и конечной точках значения функции по обе стороны от разрыва равны иежду собой, то приращения функции с обеих сторон от разрыва также должны быть равны между собой. Отсюда и следует равенство производных, взятых в направлениях касательных к поверхности разрыва, Таким образом, на поверхности слабого разрыва могут претерпевать разрыв только производные по х и по 1. Если вьшисать систему уравнений для двух точск, лежащих по обе стороны от поверхности слабого рззрыва сколь угодно близко друг от друга, и затем Вычесть друг нз друга получившиеся уравнения, то пропадут все члены, содержад д щие —, —, а вместо производных по х и по 1 будут ду' дг' входить разности их значений по обе стороны от разрыва.

Проделав эту операцию для системы (1.1), получим: (1.2) ~ — „" )+ (, ' ~ — ™„( —, ~ + Н, ( д ~ =- О, дг 1+ ~ д ~ «~ д 1+ «~ дх ~ ~дОх~ ~ ~дгГх~ О Р'-'-' =- д 1-"~=О, дх где символом ( ~ обозначена разность значений соответствующей величины перед и за слабым разрывом. Из последних двух уравнений следует, что производныс Я„непрерывны. Так как для любой функции, входящсй в решение, условие 11"1 =О выполняется тождественно но Г, то функция г 5 1) сллвые Рхзеыяы дх а=- — — и, дт то ~ дт 1+ (д.х) ~ дх~' При помощи аналогичных равенств исключим из уравнений (1.2) производные всех величин по времени: +-.— ",.', ( — '"-'1 Н, ~ д» ~ — Н„)( д ~ — а ~ — д — '~ =О, =О =О (1.3) =О = — О =О с обеих сторон от поверхности слабого разрыва получает одинаковые приращения 1ФУ) = О, где Иу' = г" (х+дх, у+сРу, а+да, 1+И) — 1 (х, у, г, г), причем точки с координатами (х+Фх, у+ 0у, г+гга) и (х, у, г) лежат на поверхности разрыва соответственно в моменты времени Р+Ж и С.

Используя равенство про- изводных по направлениям, касательным к поверхности сла- бого разрыва, получим где Фх — расстояние, па которое передвинулся разрыв за дх время И, — — скорость движения слабого разрыва в надт правлении оси х, т. е. в направлении норл1алн. Если обо- значить через а скорость движения слабого разрыва отно- сительно жидкости 87 5 1! СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ д' г д' 1 д д г д' ( — ( или ды (, ' дхдг,)' ' дх дгдх (, ' длгг' (, а вместо — будет — — (или — — ь т. е.

~дф = О, ) д Я =-О. Аналогично предыдущему получаем ~ дх дг ~ + ~ дх'1 дг Это позволяет получить для скачков вторых производных систему, совпадаю|дую с (1.3). Приравнивая нулю определитель 1/г аг этой системы, получим, что поверхность разрыва старших производных дол кна двигаться по частицаи газа с одной из найденных ранее скоростей: а„ад, а, или а Из равенства (1А) следует, что при фиксированной напряженности магнитного поля скорость распространения плоских поверхностей слабого разрыва зависит от ориснта- Рис.

6. ции этих поверхностей. Обозначая через п нормаль к поиерхности разр переписать равенства (! .4) следующим образом: ыва, можно а„=О, ад —— =Ь.п, ),, == -.. ()г а'+да-'г'2аеб. п =1' ае,+де 2аеа п)'~ скачки вторых производных. Так как первые производные непрерывны, то с обеих сторон онн получают одинаковые приращения, и слсдова- о,г Р тельно, и»ость>в волны и млльщ возмицения [гл. щ а, = шах [а„, Ь[, д = щ(п [де, Ь[, (1.6) а в направлении, перпендикулярном к Ь, равны д [ггда [ Ьа а =-О. (1.7) Установим теперь некоторые неравенства, которым удовлетворяют де и а . Из равенства (!.4) получим аа = — '[аа+Ьа+ [г (аа+Ьг)а — 4и>Ь> ], (1.8) или дз = — [до+Ь„+Ь, 1 (ае+Ь,— Ь„) +4Ь„Ь,!, (1.9) где Ь, = Ь вЂ” Ьан Если в правой части (1.8) отбросить в подкоренпом выражении член — 4аеЬ„, то правая часть возрастет при знаке «+» и уменьшится при знаке « — ». Поэтому д~~ (д',+Ь', д~ >О, (1.10) причем равенства имеют место только при Ь„= О, Построим теперь диаграмму скоростей распространения слабых разрывов (рис.

6), откладывая вдоль лучей ОА, выходящих из некоторой точки О скорости а,, ад. а распространения слабых разрывов, плоскости которых нормальны к данному лучу. Из (1.5) очевидно, что так как эта диаграмма имеет ось симметрии, параллельну>о вектору Ь, тод остаточно начертить эту диаграмму в одной из плоскостей, проходящих через ось симметрии. !1а этой плоскости диаграмма скоростей распространения альфвеповских разры- Ь вов представляет собой две окружности радиуса — с цент- 2 рами на оси симметрии, касающиеся друг друга в начале координат.