А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 7

о Параметр —: (ю,-.*) . являющийся произведением двух а ш~ рассмотренных выше параметров, определяет относительную а величину — и Х Н и / с Рассмотрим движение плопюго газа в умеренном магнитном поле, так что электроны, а следовательно, в силу (3,21) и (3.23), и ионы не обладают спиралщпзм пробегом (м,т*(( 1, х, » 1).

В этих условиях имеют пес~о неравенства (3.26) и (3.40). Если при этом степень иопиззпни значительна, т. е. имеет место (3.32), то (3.42) удовлетворяется автова~пиески, з 4[ уРлппапия млгнитпой Гилродиилмпьи 43 и закон Ома принимает форму (3.37) при выполнении неравенства 1 Я вЂ” — оо та а м - е ф 4. Уравнения магнитной гидродииамики В магнитной гидродинамике в качестве связи плотности тока с остальными величинами используется закон Ома в форме (3.!) или, что то жс самое, в форме (3.35): у=.[е+ — ' хн)+рр. (4.1) В лальиейшем, па основании рапеиства (4,!) и при некоторых дополнительных предположениях, уравнения й!аксвелла и уравнения механики будут упрощены и приведены к виду, используемому в магнитной гидродинамике [21].

Заменим и первом урзвпепии 3!аксвслла плотность тока у выражением (4.!) 1 дЕ 4аг г 1 го! Н вЂ” — — = —" ~ а ~Е+ — яо Х Н\ + р э1. (4.2) с дг с[( с ) Оцепим порядки величии входящих сюда членов Ио 1 дЕ Ео 4аРеа Еоос (Н Е ' с дг сТ' с сд 4аоЕ оЕо 4ао евно — — — — хн с с ' с' со где Нс, Ес, )", !., Т- -характерпыс величины для напряженностей магнитного и электрического полей, скорости, (зто преобразованное при помощи (3.36) неравенство (3.33)) 1 н и фо[тму (3.35), сели имеет ~сото соотношение — — аоот'. а оп Эти формы закона Ома используются в магнитной гидродинамике. Если для рассматриваемой задачи имеют место другие соотношения между определяющими параметрами, то необходимо пользоваться той или иной формой обобщенного закона Ома, которая зависит от относительной величины параметров (3.44) [м[. Величины параметров, характеризующих состояние среды и ее физические свойства в различных условиях, оцспспы в работе [т).

(гл. г основные гелвнвния линейного размера и времени. Если величина с такова, что имеют место неравенства 1 ст ((1 —.й ((! 1 с' Е= — [ч,„го1Н вЂ” о )( Н), т„,=- —. (4.4) Величина т,„имеет такую же размерность, как кинематическая вязкость и называется москитной вязгсостью. ТЬодставив (4.4) во второе уравнение Максвелла, получим го1Е= — го( (т го1Н) — — го1(о Х Н) =- —— ! ! 1 дН с м с с дг нли — = го((ег )( Н) — го1 ( го1 Н).

дН дг (4.5) Если с = сопя(, то го!(» го1 Н) = — т ЬН. Уравнение (4.5) называется уравнением индукции и является одним из основных уравнений магнитной гндродннамикн. Опенивая порядок членов в правой части уравнения нпдукпни, можно прийти к выводу, что если )гь' 4кт)гь гс ж = — — ',— ~) 1, т,„сг то последним членом можно пренебречь, н уравнение принимает вид — — = го1 (о Х Н). дИ дг то в равенстве (4.2) членами - — и 4крсо можно пренебречь дЕ по сравнению с членом 4лаЕ. Для сильно ионизованных газов критерий (4.3) выполняется для широкого класса явлений, тзк как проводимость газа в этом случае приближается к проводимости металлов, а для меди, например, а = 54.!О'е сел '.

В дальнейшем, как это всегда делается при выводе уравнений магнитной гидродинамики, неравенства (4.3) будем считать выполненными. Если (4.3) выполнены, то (4.2) можно переписать в виде й 41 хвавнания мАгнитной гилеодннлмики 45 Безразмерная величина )7, составленная из размерных величии аналогично числу Рейнольдса, но с использованием магнитной вязкости заместо обычной, называется магнитным числом Рейноладса.

Прн предположении (4.3) из (4.4) следует Е (шах) —, — Н~. ад' с Отсюда 1 дЕ 1 Н УН1 — — < шах с дс ( аАТ' сЧ. (4.7) Отсюда следует, что отношение каждого из этих членов к го1Н имеет порядок 1 аТ 1/а — илн аа с' Таким образом, при предположении (4.3) и при условии 1са —,((1, которое мы считаем всегда выполненным.

токами 1 дЕ смещения — — и конвективными токами р о можно всюду 4я дг а с пренебречь также по сравнению с суммарным током — го1Н. 4л Закон Ома при этом примет вид У =. (Е+ — ', Х Н), (4. В) а первое уравнение Максвелла запишется следующим образом; го1 Н.= — '7'. (4.9) с (4.10) а из формул преобразования (1.2), используя оценку (4.6) порядка величины Е, получим Н= Н'.

(4.1 1) Уравнениями (4.4), (4.9) и уравнением индукции (4.5) будем пользоваться в дальнейшем вместо уравнений Максвелла. Из формул преобразования (1.7), в рамках сделанных предположений, получим для магнитной гндродинамнки следующее соотношение: 46 (гл. 1 ОснОВные УРАВнениЯ Преобразуем, кроме того, выражение лля джоулела тепла 7) Е (,7' — р,а») — - —, (,7 Х Н) и =.р' Е' =- 1 )а /а»,„ = — =- — =-- — (го1 Н)а. а а 4а Таким образом, предполагая выполненными неравенства (4.3) и используя закон Ома в форме (4.1), можно привести систему уравнений, описывающую движение проводящей среды в электромагнитном поле и поведение магнитного поля, к следующей системе, которая нззывается системой уравнений магнитной гидролннамнки; ЛР— +рб1»о=О, де 1 р — = — атад р + — го1 Н Х Н+ й» т, а'г 4Н (4.14) рТ вЂ” == — й» д + Ф + — (го( Н)а, ар 1 4а дН вЂ” =го1(а»Х Н) — го1(» |о1Н), й»Н=О, т, е.

В рамках магнитной гидродинамики напряженность магнитного поля и плотность тока не зависят от выбора инерциальпой системы координат. При помощи соотношений (4.4) и (4.9) можно исклю- чить Е и у из уравнений механики (2.7). При этом если )7 )1, (4.12) что предполагается в дальнейшем, то в уравнениях движения можно пренебречь электрической силой по сравнению с маг- нитной. Действительно, 1 .

1 На —,,7ХН= — 1НХН 4е На 1 тг 1 =- — шах) — —, —, ), ай 1Р„аа Отсюда в силу (4.3) и (4.12) следует, что Е'((17а и У'= — (у Х Н) = — го1НХ Н. (4.13) 1 . 1 ф 4! УРАВНЕНИЯ МАГПнтпой ю!дРОДИНАИИКи где д!У т = д" е., т., = -, (р, Р. Н, д '= Л '- — "+(-+-3-)" ""- д!у !у = — /г ЬТ, ~лей 2(д + д ) +( 3 !)( !,а (4.1 б) Среду будем называть идеальной, если одновременно равны нулю !у, т!а и тег При У .=сопз1 имеем го1(т,„го! Н)=-ч,„ЬН, и уравнение индукции принимает вид дН = — го1(о Х Н)+у„ЬН. Лля несжимаемой среды в системе уравнений магнитной гидродинамики уравнение неразрывности необходимо заменить уравнением г!!то = О, В этом случае три уравнения (4.!4) могут решаться независимо от уравнения энергии, которое в этом случае может быть записано в виде рс =- — г)!У !у+ Ф+ — '" (го1Н)з дг 4я и служит для определенна поля температур после определения поля скоростей н магнитного поля.

В ф ! было показано, что уравнение д(у Н= О играет особую роль в системе уравнений электродинамики. Применив операцию днвергенцин к уравнению индукции, получим, что в магнитной гидродинамике имеет место уравнение д дед! Н.= О, Если среда является совершенным газом, в котором тензор вязких напряжений и поток тепла выражаются согласно (2.3) с постоянными р, !. и )г, то 48 [гл. | основные уРАвнення Р де+ Р(оЧ) и= итад(1э+ 8 )+ 4 (НЧ)Н+ до Не 1 +рбо+((,+ 'д)угад(4[то), — +~уЧ'~ Н= (НЧ) о — Н д1 ут|+ у,„бН.

дН дг (4.!б) В систему (4.14) не входят величины Е, р, и у. Эти величины выражаются через Н и о по формулам 1 1 Е = — [у,„го1 Н вЂ” е| Х Н[, р, = — |11 у Е. ,) = е [ Е+ — тг Х Н) = — го[ Н, 1 1 с е ) 4я Вследствие (4.13) в магнитной гидродинамике вид тензора напряжений электромагнитного поля упрощается, а именно: 1 ЗО т,. = — Н|Н вЂ” — На.

(4.17) Если одну из осей координат (нзпример, х,) направить вдоль силовой линии магнитного поля, а две другие — в плоскости, перпендикулярной к силовой линии, то тензор (4.17) можно записать в виде следующей матрицы: О Н' О 8А Иа 8е О О Поэтому, для того чтобы решение удовлетворяло уравнению д[у Н= О, достаточно потребовать, чтобы этому уравнению удовлетворяли начальные условия. Таким образом, равенство д[У Н = О выполняется в силу уравнения индукции, а также начальных условий. Тем не менее зо многих задачах является удобным использование этого уравнения вместо одной из проекций уравнения индукции.

Уравнения движения и индукции при постоянных у , р, ь, [е можно представить еще и в таком часто употребляемом виде: Ф.4) гяквнвния мкгнитной гидгоднплмики 49 Отсюда заключаем, что напряжения, обусловленные магнитным Н' полем, сводится к натяжению — вдоль силовой линии вк (Ти дает проекцию па нормаль напряжения на площадке, На перпендикулярной к силовой линии) и к давлению — попе8к рек силовых линий магнитного поля (так как Т22 и Тзз дают проекции напряжения на нормаль к площадкам, содержащим силовую линию).