А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика (1119121), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В этом случае величина н может сильно огличаться от 1. ') Если учесть е в уравнсннях Максвелла, а также в выражении для силы, с которой электромагнитное поле действует на среду, и в выражении для энергии, сообщаемой полем среле, то нетрудно убедиться в том, что при сделанных в й 4 гл. ! предположениях относительно величины проводимости среды все оценки, которые делаются в й 4, остаются в силе, и все члены, содержащие Н выпадают из системы ураннений магнитной гидро- динамики.
5 11 уРАВ <гиии З.чектРодиилмики 15 Если поверхность Х замкнутз, то контур Л в уравнениях (1.9) можно считать стяпувшимся в точку. Поэтому левые части в (1.9) выпадают и — ~Н„а =-0. Преобразуем первое уравиепие, воспользовавшись равенством (1 8): — дз "Е дУ=4к— дг 4а. 1 дЕ го! Н =- —,г + —, —, с дг' 1 дН го! Е= — — —, с дс (1.11) <!!ч Е = 4пс,, <1(ч Н= О.
(1.12) Таким образом, так как соотношения (1.!О) выполиеиы в начальный момент, то оии, в силу уравнений (1.9) и уравнения сохранения заряда (1.8), будут вьшолисиы всегда. следовательно, в иестациоиарных задачах уравнения (1,10) играют роль начальных условий. Б стационарных задачах уравнения (1.!О) не аависят от уравнений (1.9) и совокупность уравнений (1.9) и (1.1О) надо рассматрияать как единую систему, описывающую изменение поля. Так как уравнение (1.8) является следствием уравнений (1.9) и (1.1О), то при интегрировании этой системы его можно ие рассматривать. Кроме того, первое из уравнений (1.10) выражает плотность заряда через напряженность электрического поля, и поэтому при интегрировании вышеупомянутой системы его тол<е можно не рассматривать, а использовать как уравнение для оиределеиия О.
Если зсе функции, входяшие в уравнения (1.9) и (1.10), диффереицируемы, то эти уравнения можно записать в дифференциальной форме: 16 (гл. г основньт увлвнения Если функции, входяшие в (1.9) и (1.10), терпят разрыв на некоторой поверхности, покоящейся в выбранной системе дЕ дН координат, то, предполагая Е, Н, —, — ограничен- дг ' дг ными, получим соотношения, которым должны удовлетворг.т., компоненты полей при переходе через поверхности разрыва Я. Чтобы получить эти условия, поступим следующим От. образом. Выберем систему коорО1 динат, в которой поверхность раарыва покоится.
Пусть Х вЂ” поверхность разрыва, п — нормаль к поверхности рззрыва, т и и — единичные координатные векторы в плоскости разрыва. Выберем аамкнутый контур в плоскости, нормальной к и так, как указано на рис. 1. Примем этот контур и ограниченную им часть плоскости п, т за контур и поверхность, фигурируюшие в уравнениях Максвелла (1.9) Тогда, сели контур настолько мал.
что я его прелелах подыптегральпые Рис. 1. функции в уравнениях (1,9) можно считать постоянными с каждой сто- Ь роны от поверхности разрыва и если — ((1, то получим Отсюда, переходя к пределу при И вЂ” ь 0 и считая, что дЕ дН вЂ” и — ограничены, а 1„1 =!ппУ„(1„— величина, называемая дг дг л.+ о плотностью поверхностного тока в направлении и), найдем 17 5 1) УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Проделав ту же операцию в плоскости и, и, получим ̈́— На= — — с,; Е«н — Е„Е=О.
йк ! «2 Эти две группы соотношений можно об ьедипить в одну группу соотношений, которым должны удовлетворять проекции вскторов напряженности полей на плоскость, касательнусо к поверхности разрыва, при переходе через поверхность разрыва: (1.1 3) Здесь О, Š— проекции соответствующих векторов па плос с скость разрыва, а с=(„с+1„и. Заключим теперь некоторый «.<усок» поверхности разрыва внутрь призмы высотой И с основаниями Х, параллельными Рнс. 2.
поверхности разрыва (рис. 2). Принимая поверхность призмы за ззмкиутую поверхность, фигурирующую в уравнениях Максвелла (1.10), н считая призму настолько малой, что в ее пределах подьштсгральные функции можно считать с обеих 2 Звк !4 А Г. Ктиссковскиа, Г А Любимое (гл. ! ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ь сторон разрыва постоянными, а ((1, получим ул (Ев! Е»е) ~ 61 О2) Переходя здесь к пределу при й -»О и вводя обозначен! е !Ип 0 = ОЕ (Ь вЂ” величина, называемая поверхностной плог- А-» О постыл заряда), найдем Ею — Ела = 4яб, Н„! — О, =О.
(1,14) Условии (1.13) и (1.14) являются условиями, которьпя должны удовлетворять компоненты электромагнитного поля на поверхностях разрыва. ф 2. Уравнения механики сплошной среды с учетом электромагнитных сил Уравнения движения сплошной среды получаются нз законов сохранения массы, количества движения н энергии: — / р!тт=О, —, / — ~Р„г(У.+~У -., ( 3 т ,ц / р(з+ 2)'(т= /ЧА'"а+ ~РА"оггЕ+ / Аг(т.
(2. 1) Здесь о — скорость сплошной среды, равная скорости центра инерции частиц, находящихся в физически бесконечно малом объеме в окрестности рассматриваемой точки; т — «жидкий» объем, т, е. объем, ограниченный поверхностью д, движущейся в направлении нормали со скоростью о„; р — плотность среды, т.
е. сумма масс всех частиц, находящихся в физически бесконечно малом объеме, отнесенная к величине этого объема; о„— - поток тепла через поверхность х', т. е. поток энергии через «жидкую» поверхность, который возникает за счет переноса энергии молекулами, пересекающими данную ф 2] тяхвнвния механики сплошной сгеды 19 поверхность, а также за счет работы сил межмолекулярного взаимодействия; р — плотность поверхностных сил. равная с обратным знаком потоку инпутьса через «жндкую» поверхность, который возникает за счет переноса импульса молекулами, пересекающими данную поверхность, а так>ко за счет снл мсжмолекулярного взаимодействия; ра — внутренняя энергия единицы обьема среды, т.
е. сумма кинетической энергии хаотического движения н потенциальной энергии взаимодействия частиц, находящихся в данном объеме '); у — плотность внешних обьсмных снл; Л представляет собой разность полного притока энергии к выделенному объему и притокз энергии за счет потока тепла чсрез сс поверхность и за счет работы поверхностных снл. Так как в качестве объемных снл з дальнейшем будем рассматривать только силы воздействия электромагнитного поля ца среду, то, согласно (1.6), У= Р,Е+ — с(1 Х О). 1 Кроме того, в дальнейшем под А будем попинать только приток энергии за счет внешнего электромагнитного поля А =-. Е ~ е„п„=,т' Е.
а В механике сплошных сред доказывается, что плотность поверхностных сил р„задается тензором напряжений ( Рц ) Ргу Р~т' при этом Р," представляет собой напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к е, в направлении ен Суммарное напряжение, действующее на площадку, перпендикулярную к е, есть р) = Р,)ен Суммарное напряжение, действующее на площадку К с нормалью и, равно Р ==Р)лр ') Изложение вопросов, связзнных с зтнмн понятнянн, можно найти в книге: С.
Че пиен, Т. К а у линг, Математическая теория неоднородных газов, Ирч 1960. [гл. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ где п) — проекция и иа ось е-. Поток тепла через поверхность р задается вектором потока тепла эу, причем да=а а= = ЧРО В механикс сплошной среды задаются выражениями для Р, д н а таким образом, чтобы система (2.1) совместно с выражениями для Р, д и е представляла собой замкнутую систему уравнений.
Эти выражения могут задаваться па оснонаинн опытных данных. Всюду в дальнейшем будем считать среду двухпараметрической, то есть считать, что все термодинамические величины (например, температура Т и внутренняя энергия з) и вообще все величины, характеризующие среду при термодннамнческом равновесии, являются функциями двух параметров: плотности р и давления р '). При этом тснзор напряжений будет иметь внд р =- — рй;»+ ° причсм -.. будем считать функциями от р, р, Н, до, Ч» дх» ' такими, что если все — = О, то напряжения в рассматридо~ дл» наемом элементе среды должны совпадать с напряжениями в равновесном состоянии, т.
е. рг»= — рь,», нли -ч» —— — О. Поэтому при не слишком больших градиентах скоростей до» можно принять линейную зависимость -' от — . Тендх,„' зор ". с компонентами т, будем называть тензором вязких напряжений. Аналогично, предполагая, что д зависит дТ от р, р, Н, —, получим, что при не слишком больших длг дТ градиентах температуры зависимость д от — линейная. дх; Задание д и Р, т. е. их выражение через другие величины, связано с некоторыми предположениями относительно свойств среды.
В дальнейшем при. конкретных расчетах лля вектора потока тепла и тензора напряжений примем выражения, ') Если » ~ 1 н н эь 1, то термодинамические функции, характернзующне срелу, могут зависеть также от напряженности электромагнитного полн (ем.
Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л н ф ш н ц, Электро- динамика сплошных сред, Гостехнздат, 1957). 5 2) УРАВНЕНИЯ МЕХАПИКИ СПЛОШНОЙ СРЕЛЫ 21 используемые в обычной гидродинамике, т. с. будем предполагать, что д=0, ты=О, (2. 2) или д = — ййтаб Г, Здесь Т вЂ” температура, риь — первый и второй коэффициенты вязкости, л — коэффициент теплопроводности.
В дальнейшем во многих случаях р, ч и л будут считаться постоянными. Равенства (2.2) и (2.3) могут быть оправданы с молекулярно-кинетической точки зрения следующим образом. Если в газообразной среде расстояние, па котором существенно изменяются скорость и температура, велико по сравнению с длиной свободного пробста и расстоянием, па котором электрическое поле заряженной частицы экрапирустся частицами другого знака '), и если, кроме того, характерное время задачи значительно больше времени между столкновениями частиц, то распределение скоростей ~астиц близко к изотропному. В этом случае касательные напряжения малы по сравнению с давлением н потоки тепла невелики.
Поток тепла и касательные напряжения связаны с переносом количества движения и энергии хаотическим движением частиц. Если электромагнитное поле существенно искривляет пути заряженных часгиц, то расстояния, па которые частицы перемешаются без столкпопепнй, будут различны вдоль и поперек поля, что приведет к аннзотропни явлений переноса. Как известно, равенства(2,3) могут быть получены при предположении об изотропности свойств среды. Следовательно, они могут быть применены, строго говоря, только в том случае, когда пути заряженных частиц слабо искривляются за время движения между двумя столкновениями. Такое положение вещей имеет место в жидкости и плотных газах. В противном случае выражения для' тензора напряжений н вектора потока тепла имеют более сложный вид (ь ' " ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
