А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 9

При отсутствии вязкости и теплопроводности в том случае, когда вектор (Е Х Н) параллелен яг, энергия не подтекает к трубке тока. Отсюда следует, что поток энергии постоянен вдоль трубки тока, т. е. 55 9 5] нвостейшиг интегялл!! по форме совпадающий с интегралом Бернулли в обычной газовой динамике ["[. Если Е и Н перпендикулярны к о, то, исключая Е из равенства (5,7), прн помощи (4.4) получим р 1 Нв ч,„ е+ — [- — + — — + (го1НХН) тг=сопз1. (5.9) 2 р 4е р 4яре' Заметим, что известная в обычной гидродинамике теорема Томпсона о сохранении циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру, верна в магнитной гидродинамике только в том случае, если магнитное поле удовлетворяет условию [в з) (5.10) го1(го1Н К Н)=0.

которое, конечно, выполняется не всегда. Условие (5.10) выполнено, если движение плоское н магнитное поле перпендикулярно к плоскости движения. ГЛАВА П ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ й 1. Движение вязкой электропроводной жидкости с прянолинейныни линиями тока (1 А) (1,5) (1.6) Из стационарных движений прелставляют интерес двнже. ния проводящей жидкости с прямолинейными линиями тока, так как они могут описывать движения по трубам и каналам.

Будем считать, что скорость о и магнитное поле Н не меняются вдоль линий тока, которые мы будем считать параллельными осн х. Тогда уравнения, описывающие такие движения, примут внд [а): О- — — + — (Н ' +Н вЂ” '1, ду ан ~ У ду а да (1.2) Ьи„= О, ин =О, дН дН, — г+ — =О, ду дг где и — х-я составляющая скорости (у-я и х-я составляю- щие в рассматриваемом случае равны нулю: о = тп = О).

Н' д' д' р' = р-+ — — полное давление, Ь = — + — — оператор ду' дат Лапласа. Если ввести функцию А(у, г) такую, что дА дА Н = —, ду ' у да — ЬА= — ЬА=О, д д дл ду следовательно, ЬА = сопл(= — ы. (1.8) С другой стороны, даА даА дН дНу Таким образом, введенная выше постоянная ы пропорциональна х-й составляющей плотности тока. Эта величина, согласно равенству (1,8), должна быть постоянной и должна быть аадана из граничных условий при х = + со. Если рассматривать течение в трубе, то на поверхности трубы может быть задана величина А. Это равносильно заданию Н„. Тогда для определения А получается задача Лирихле для уравнения Пуассона, которая имеет однозначное решение.

Решив эту задачу, находим Н и Н, из равенств (!.7). Преобразуем теперь уравнения (1.2) и (1.3): Если обозначить На р р+ то получим 4к — == —. Нгьг = — — ы, др ду а ду др" дА 4и — =Ную = — — и, да У дл (1.9) 4к,о" = — А оз + У (х). (1.10) $11 движения вязкой злектгопговодной жидкости 57 то уравнение (1.6) удовлетворяется, а уравнения (1.5) дают бв двнжания несжимаемой жидкости (гл. и Таким образом, /=С,х+С . Соотношение (1.10) служит для определения давления в том случае, если известны функции А(у, з) и Н„(у, г).

Лля того чтобы найти и и Н и тем самым завершигь решение задачи, необходимо проинтегрировать оставшиеся уравпепигк др" 1 г дП дН,1 — =С = — (Н вЂ” +Н вЂ” .")+нам, дх ~ 4я (, У ду ~ дз ) (!.1 1) Так как функции Н и Н, определяются нз (1.7) независимо от и и Н , то в (1.! 1) эти функции можно считать известными.

Прн этом (1.11) представляет собой систему линейных уравнений. Эту систему можно преобразовать к виду, который в ряде случаев может оказаться полезным. Введем новые переменные (н! и, = и+1/ — Н, (1.12) Г .,„ 4ен Тогда уравнения (1.11) примут вид / 4яэ,„ + 1/4пр» Ьи — !г ж / 4ч,„ + 1." 4тр,„бит — 11 др* дх (1.13) х дх Таким образом, определение и, и иа производится неззвисимо, если граничные условия сформулированы для каждой из этих функций. Кроме того, в ряде случаев оказывается, Проднфференцировав (1.10) по х и учтя, что А, в, Нз и др — нс зависят от х, получим дл др — =/ (х) = сопя(=С,. 1) движение вязкой электгопговолной жидкости 59 — — ' — — — '+х, Лиг+я = О, дА ди, дА ди, дА диг дА диг да ду ду да — — — — + ци+. =- (1.14) где I 4ххи др" х = — 1г — = сопз1.

хг — — 1г 4Я1гг,„= сопа1; Так как ег=О, то нз (1.8) следует, что Л(у, я) в этом случае является гармонической функцией. Пусть В(у, «)— сопряженная с Л (у, а) гармоническая функция. Перейдем в (1.14) к новым независимым переменным (а1 у, = Л (у, з), аг = В (у, а). Используя условия Коши — Римана для сопряженных гармо- нических функций, получим , б,и, + д ' + ~ — —= Ф ( г) = о, дл, (1.16) что если и, известна, то функция аг находится простым пересчетом.

На границе должны быть заданы скорость и и напряженность магнитного поля И„. При этом и, и аг на границе оказываются известными. Пусть течение происходит в ограпичепнои объеме— «трубе» вЂ” и магнитное поле однородно на бесконечности. Пусть вне трубы токов пет, а внутри трубы и = — О. Тогда во всем пространстве Н = И и +И,е, = сопз1, так как во всем пространстве вглполняются равенства го1И, = О, 61ч Н = О. Поворотом осей координат всегда можно добиться выполнения равенства И = О. При этом уравнения (1.13) превращаются в уравнения с постоянными коэффициентами.

Если впепгнее поле нсолнородно, то уравнения (1.13) в общем случае являются уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Олнако если ток вдоль оси х отсутствует (гг = О), то можно ввести новые независимые переменные так, что уравнения (1.13) перейдут в уравнении с постояппымн коэффипиептами при производных. Используя соотношения (1.7), перепишем уравнгния (1.13) в виде 60 движения несжимаемой жидкости (гл. и Здесь В=~ —,) +( —,) =-7)(уп,), д' д' б,= — + —.

дуя дга Если в плоскости у, г задан контур «трубы» Л и задана функция А(у, г) (она определяется из решения (1.8) при заданных граничных условиях), то для определения и,(у, г) и ит(у, г) необходимо решить систему (1.16) с граничными условиями. заданными на контуре 7., полученном конформным отображением 7. при помощи функции ш(у+(г) = = — А (уг) + (В (уг). Если магнитное поле в (1.13) однородно, то зти уравнения отличаются от (1.16) только тем, что у них члены, не содержагцие и, и из, постоянны, а в (1.! 6) эти члены являются некоторыми функциями независимых переменных.

Это обстоятельство оказывается полезным при решении задач о течении в «трубах» в неоднородных полях. Действительно, пусть известно решение и*, и и" задачи о течении в «трубе» с контуром Е, в однородном магнитном поле при заланных граничных условиях и',(Е,), и'(7.,) и при Н = О. Пусть, кроме того, известно некоторое частное решение уравнений Е(;) — » =О, Ч (иа) н' — — О. Так как уравнения (!.!3) и (1.16) линейны, то и =и +и и из=из+к~ (1.17) будут являться решением системы (1.16), причем на контуре 1., это решение будет принимать значение и (7 ) п*(7 )+по(7 ) ~а( ч) "я(7ч)+ "а(~1) Если ~, получено из Ь конформным преобразованием при помощи функции у,+(г, =%'(у+!г) = А(у, г)+!В(у, г).

то решение (1.!7) после замены в нем у, и г, по формулам (1.15) будет решением задачи о течении в «трубе» с контуром Ь при тех же значениях констант х, и ха, прн- 9 1) движение вязкой элактгопговодной жидкости 61 дги, аи, — — й — -+й =О, дгиг с1иг дг г де г а, = ' =' сопз1, )Г4иич,и 1 др' а = — — — — = соп51, и дх Н, = Н = соп з1.

(1.19) Общие решения этих уравнений имеют вид ! йг иг = а х+ В,е~" + Вг, 3 (1.20) и зависят от шести констант: А,, Аг, В,. Вг, йм йг. Все остальные величины, характеризующие течение, выражаются через а, и иг по формулам: а= 2 (и,+ив), 1 Н„= гà — (и, — иг), Ги, чт с дН, / сги д / = — — '= — 1гг — (а, — иг), У 4и де У 16ит,„де еЕг =э — "+ иН,= у ярг — (и,— аД+ + 2 (аг -+ аг) Нс = — 1 4врт~ а + 2 (А +Вг) Нс = ! — 4иги др 1 Н д + 2 (Аг+Вг) Н,=с пз1.

(1.21) пинающим в соответствующих точках границы значения (1.18). При этом магнитное поле определяется по формулам (1.7). Рассмотрим теперь простейший случай течений с прямолинейными линиями тока. Пусть все величины ие зависят от у и Н = — О. Это может соответствовать движению жидко- У сти иежду двумя плоскостями. Движение может вызываться либо градиентом давлений вдоль оси х, либо движением самих плоскостей (зсегда можно считать, что движется только одна из иих). Прн этом уравнения (1.13) и (1.6) принимают внд: движения нвсжнмаемой жидкости [гл.

и Константы, входящие в решение, определяются иа граничных условий, связанных с постановкой той или иной конкретной задачи. Рассмотрим три примера. 1. Задача Гартмана ["[. Пусть обе плоскости покоятся, а движение происходит за счет перепада давлений. Магнитное поле считаем заданным на обеих пластинах нормально к их поверхности. Выбрав систему координат так. чтобы плоскость г = 0 была равноудалена от стопок, можно записать граничные условия в следующем виде: и=О, Н =О, Н,=Не или и, = и,=О при г= Ь. Отметим, что в данной постановке Е является определяемой величиной. Подставляя общее решейне (1.20) в граничные условии, получим соотношения для определения постоянных Ап Лм Вн В;. — — 'Ь+.Л, ~а+А =О, д, — 'Ь+А,еай +-Аз=0, ! — 'Ь+В,еа' +В, =О, А', — — 'Ь+В,е-~"-[-Ва=-О.