А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 8

Моакио считать также, что напряжения, обусловленные магнитным полем. представляют собой сумму На равномерного по всем направлениям давления — и патяже8к На пня — в нзправлении магнитного поля. В приближении 4н магнитной гидродннамики электрическое поле напряжений в среде не создает. Кроме того. в уравнении (2.14), в приближении магнитной гидродннамнки, можно пренебречь изменением электромагнитного количества движения по сравнению с элсктромагннтным потоком импульса, т. е. — (( 211ч Т. дй дг Дсйствите.чьно, дй 1 . На — — ЕН "' — шах 2 —, д~ Т ~ 2'. ( Т' Система уравнений (4.14) описывает движение проводящего газа или несжимаемой жидкости в тех областях.

где движение непрерывно. Если в области движения существуют поверхности разрыва, то решения уравнений (4.14), описывающие движение и повсдение магнитного поля в каждой из областей, не содержащих поверхностей разрыва, должны сопрягаться при помощи соотношений на поверхностях разрыва. К этим соотношениям относятся соотношения (1,13) и (1.14), связывающие величины напряженностей полей при переходе через поверхность разрыва, а также соотношения, полученные из интегральных уравнений движения (2.16) и представляющие собой законы сохранения массы, импульса и энергии при переходе через поверхность разрыва. Будем рассматривать повсрхность разрыва в системе .координат, я которой она покоится.

Соотношения (1.13) и (1.14) сводятся к условиям непрерывности касательной соста- 4 Зак. Ы, А. Г. Кукнкоаскнн, Г А Любниоа 50 (гл. 1 ОснОВные угаанапня вляющей электрического поля и нормальной составляющей магнитного поля при переходе через поверхность разрыва (е,( = (О„( = о, (4.18) (ро„( =- (1т а', =- (6„( = 0 илн (ро„( = О, (ро„° о — Р и — "т' ° а( = О, ~ах+а,— (Р.о) п+р~„( + — )~=0.

(4.19) Соотношения (4.18) и (4.19) являются в магнитной гидродинамике условиями на поверхностях разрыва. В дальнейшем, используя известные выражения для входящих сюда величин. мы будем приводить эти соотношения к виду, удобному для решения той или иной задачи. 5 6. Простейшие интегралы системы уравнений магнитной гидродинамики Полученная система уравнений движения при некоторых условиях имеет интегралы аналогично интегралам уравнений движения идеальной жидкости в обычной гидродинамике. Будем рассматривать движения бесконечно проводящей жидкости или газа (~м = 0).

Тогда уравнение индукции даст — — го1(о Х Н) = О. дН дг Рассмотрим поток вектора, стоящего в левой части этого равенства, через произвольнуЮ жидкую поверхность а, огра- где фигурные скобки обозначают, что берется разность значений соответствующей величины с одной и другой стороны разрыва. Два других соотношения из (1.13) и (1,14) служат для определения поверхностно~о тока и поверхностного заряда. Если в выбранной системе координат за объем и поверхность, фигурирующие в уравнениях (2.16), взять такие об.ьем н поверхность, как на рис. 2, и перейти к пределу при Ь вЂ” ь О, то из уравнений (2.16) получим следующие соотношения: 51 ф 5] ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ ниченную контуром 5.

Используя теорему Стокса, получим —," (Ж вЂ” ~(пан)я=о. дн„ дг е л Рассмотрим теперь два момента времени Г, н Р . Пусть Х,— положение жидкой поверхности в момент Го Ха — ее положение в момент Рм а' — поверхность, состоящая из траекторий, которые прошли чзстицы, составляющие контур Е за время бГ=à — 1, (рис. 3), Поток вектора Н через любую замкнутую поверхность равен нулю. Записывая зто условие в момент 1а для поверхности Х, + Хе+ а.'з, получим 1н. т ау — Ун. я~-'+ ж а( + ~ Ня(1а) 1~=О. Рис. 3.

~ н„((а) (Š— ~ н„у,) а.+ ~ н„(у,) (Х тр ж и — ~ н„А) г(~ — ~ н(~,) (о И Х гн) = о. 3, разделим зто соотношение на лг и устремим 5Г к О, тогда получим — н„гт — ~ — н„ах — $ (и х ~) и = о. Отсюда в силу (5.1) —,", ~ н„(к=о, (5.2) Перел вторым слагаемым стоит знак минус, так как на поверхности Ег взята нормаль, внутренняя по отношению к объему, ограниченному поверхностями Хп Х, Ха.

Считая Е, — 1, = лг малым, можно переписать последнее равенство следующим образом: [гл. > ОСНОВНЫЕ >'РАВНЕНИЯ рХ>У= родос[[в, нт нато где м' и а> — площадь поперечного сечения и длина магнитной силовой трубки, индексом О обозначены значения соответствующих величин до деформации. Из последних равенств получим Н Р Рйг Ра ига = С = соп51, (5.3) О т. е. величина — изменяется пропорционально длине эле- Р мента магнитной силовой линии. Так как элементы Л= е,ггхг жидких линий преобразуются при леформации среды согласно равенствам дх> о «>'хг = — йху, дса г (5.4) т. е.

поток магнитного поля через любую жидкую поверхность с течением времени не меняется ['5 за[. Рассмотрим две жидкие поверхности, на которых в некоторый момент времени Иа = О. На основании (5.2) это равенство сохраняется во ясе последующие моменты времени на каждой из поверхностей. Линия пересечения этих поверхностей всегда является магнитной силовой линией [так как магнитная силовая линия де>кит в каждой из этих поверхностей). С другой стороны, линия пересечения является жидкой линией, как линия, принадлежащая двум жидким поверхностям. В связи с этим можно считать, что магнитные силовые линии (аналогично вихревым линиям з газовой динамике) скреплены с жидкими частицами. Это свойство называется свойством вмороженного>и силовых линий.

Поверхность, состоящую из магнитных силовых линий, проходящих через некоторую замкнутую кривую, будем называть магнитной силовой трубкой. Как следует из второго уравнения (1.1О), поток магнитного поля через любое сечение магнитной силовой трубки постоянен. Рассмотрим деформацию жидкого элемента магнитной силовой трубки достаточно малого диаметра, возникающую при движении среды ['а[.

Из (5.2) и закона сохранения массы следует й 5) ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ то для элемента жидкой линии, совпадающего с магнитной Нг силовой линией(Г(х,= — 'Г11), воспользовавшись (5.3), по- Н лучим дх;= с Нг 0 НО Ср Г'ро Отсюда, используя (5.4), найдем дхг о Но р дхг о дх1 ра дхо дхг У дхо l (5.5) дхг 1 1 дхг~ где через — обозначен определитель матрицы дх" / 1 дх" ~ ! Соотношение (5.5), следующее из (5.2), назовем интегралом вмороженности. В частных случаях интегралу вмороженности можно придать более обозримый вид. Пусть, например, движение плоское.

и Н перпендикулярно к плоскости движения; тогда из (5.3) следует Н вЂ” = д = сова(, Р (5. 6) так как в этом случае длина элемента магнитной силовой линии не меняется. Равенство (5.6) имеет место для каждой жидкой частицы. Для различных частиц константы в (5.6) могут быть различными. При изучении плоских движений бесконечно проводящего газа в магнитном поле, перпендикулярном к плоскости движения, соотношения (5.6) позволяют исключить Н из уравнений магнитной гндродинамики (4.14). Кроме того, если вместо давления и внутренней энергии ввести функции Е р , вара +Вя ' ~ '+Ек' то уравнения (4.14) для таких движений будут по форме совпадать с уравнениями обычной газовой динамики [з о го).

Отсюда ясно, что решения задач магнитной гидродинамики в этом случае могут быть получены путем пересчета соответствующих задач обычной газовой динамики. Необходимо [гл. г ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ [р(е+ —,) о+ ро+ — (Е Х Н) яг] Е = сопя(. Так как роХ =сопз1 из условия постоянства расхода массы, то вдоль линии тока имеем + Р + + ) — сопз1 (5.7) р 2 4я ре' причем постоянные, стоягцие в правых частях трех последннх равенств, зависят, вообще говоря, от выбора линии тока. Если Е= О или Е и Н параллельны, то поток электромагнитной энергии отсутствует и уравнение (5.7) прнпимает вид е + —, + — = сопз1, Р 2 р (5.8) только помнить прн этом о граничных условиях.

Если граничные условия соответствующей газодинамнческой задачи сформулированы для скоростей (задача о поршне, обтекание тел и т. д.), то эти граничные условия остаются неизменными и для соответствующей магннтогидродннамической задачи. Если же граничные условия сформулированы для давлений (например, в задачах истечения), то надо помнить, что в соответствующей магнитогидродннамической задаче р' обозначает суммарное напряжение.

В этом случае граничные условия для магнитного поля должны быть использованы при решении задачи о поле скоростей и давлений. Заметим еще, что для совершенного газа прн 7 = 2 все формулы термодинамики остаются теми >ке, но с заменой р на р", е на е'. В магнитной гидродинамике при некоторых условиях оказывается верным также интеграл, аналогичный интегралу Бернулли )ы 'э). Рассмотрим стационарные движения невязкой и нетеплопроводной жидкости. В стационарном случае уравнение энергии (2.15) имеет внд б)У Я = О.