А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 6

(1 — а) с / = — Гайтаг( р — дгаг)(р + р) —. (1 — а) иеЕ+ =Н(,+,)г е г + — ( — 'хг+х,) 7'! (3.19) (в сумме уравнений (3.16) и (3.17) надо учесть член и'еЕ, так как члены + пеЕ, входящие в этн уравнения прн Велнчнньг ш,х, ш,-,, 2ш,т,. представляют собой числа витков внптовых линий, которые проходит соответствующая частица за время между двумя столкновеннямн с частицами других компонент (см.

9 1 этой главы). Величины ш,, ш, представляют собой частоты обращення электронов н ионов в нх движении по винтовой траектории. В обозначениях (3.15) прн условиях (3.9) и (3.2) уравнення (3.14) прнмут внд: 36 Оснонные РРАвнення сложении, сокращзются). Исключив теперь уг из уравнения (3.16), при помощи соотношения (3.19) получим соотношение, связывающее плотность тока с напряженностью электромагнитного поля и параметрами, характеризующими среду и ее движение: — [атаг! гче+ ан (» афтаб Р— Цгаг! (Рг + Ре))]— —.пе(Е+ — егХН)+-[1 — 2(1--а)[! — » г — е| — у)(Н+ — [[»игаг] р — дгаг](р,+р,)] Х Н+ + (у М Н) Х Н- — (1 — ») пан Х Н~ =. п' 1 — а == — х — !»нгаг! р — дгаг](р + р ) — (1 — а) и'еЕ+ и хе+хг ! е г +Ц+и'еег) — (хе+ — 'х,)+ —,у Х Н], (3.20) В силу (3.2) отсюда следует, что — — 2 — — ( 2 — [г — (~1, хе 22агтг пге хг ие / гпг хг аехе гпГ хе пгГ пге (3.2!) где р= е.г+ хе Соотношение (3.20) можно рассматривать как обобщенную форму закона Ома для частично ионизоваиных газов.

Если скорости хаотического движения велики по сравнению с относительными скоростями движения компонент, то время между столкновениями определяется хаотическими скоростями (тг,е, неа). Так как в равновесном состоянии электроны и ионы обладают сравнимой кинетической энергией хаотического движении, а длина свободного пробега иона между его столкновениями с нейтральными частицами (1, ) меньше длины свободного пробега электронов между их столкновениями с нейтральными частицами (1, ), то г~» Гга .Ггпг Гга -Гпгг 'е Геа НО" пге Геа "ге 3У % 3] ЗАКОН ОМА т.

е. электроны мсжлу двумя столкновениями с нейтральными частицами проходят значительно больше витков по винтовой траектории, чем ионы. При этом р((1, и соотно. шелиа (3.20) упрощается: 1 ! 1 х+хх --ьгаб р,— ле(Е+ спХН)+ с3ХН+, "Н(3 — гл,,)— 1 — а — ! [яцгаг] )э — Итаг] (р,+ р,)] Х Н+ + ' ") О Х Н) Х Н+(! — ) р,Е Х Н)[=- х и' = — — — (1 — а) ] сс цгаг] р — стад (р, — р)+ х; и +(1 — а) р,Е+, г' Х Н], (3.22) В правой части уравнения (3.22) опущены некоторые члены, малые в силу (3.2), (3.9) и (3.21). Членами, стоящими в правой части уравнения (3.22), можно пренебречь, в силу (3.9), но отношению к соответствующим членам в левой части этого уравнения, если выполняется соотношение ихт иц т г иц т Время между столкновениями электронов с нейтральными частицами (-.,) может быть больше времени между столкновениями электронов и ионов (т) благодаря далеким столкновениям между заряженными частицами (см..

например, ['а]). Для не очень разреженных газов при умеренных температурах справедливо соотношение (3,23), и обобщенный закон Ома имеет вид ! а 1 — цгаб р, - - ле '[Е+ — О Х Н! + —,/ Х Н + + —,(у Х Н) ХН+р ЕХ Н] =О. (3.24) Для упрощения последующих формул первый член последнего слагаемого преобразован для случая и = сопя!, и = сопз1. Если газ полностью ионизован (ц = !), то х, =-х! — — О. [(роме 38 ггл. ~ основные уеляиения того, нз (3.8) следует, что у! = †',у, т. е. при а -ь 1 велигл г (1 — а)а чины ап а, и стремятся к нулю, и закон Ома приа! нимает вид — атаб Р,— пе(Е+ — яг Х Н)+ — / Х Н+ 1 т 1 .+ — Н(Д вЂ” р,тг) = О.

(3.25) (1 — а)а а! (3.26) то (1 — а)а Г а 1 1 —, + 1 И гаг( Р Х Н+ —, (/ Х Н) Х Н -т- р,Е Х Н~ ~(~ ...~~ .+ ((! — 8тап Р, + —,1 Х Н вЂ” пеЕ (, (3.2у) 1 и. следовательно, закон Ома для частично ионнзованпого газа при условии (3.26) совпадает с законом Ома для полностью ионизованпого газа (3.25) с точностью до коэффициента при плотности тока, Всюду в дальнейшем неравенство (3.23) считается выполненным.

Если для конкретной задачи это неравенство нарушается, то при получении закона Ома необхолимо учитывать члены, стоящие в правой части уравнения (3.22). 3. Различные формы обобщенного закона Ома. Величины коэффициентов в уравнении (3.24) зависят от физических свойств рассматриваемой средьь Кроме того, величины отдельных членов в этом уравнении зависят от механических характеристик (скорость, давление н т. д.) рассматриваемой задачи и величины напряженности электромагнитного поля. В связи с этим при рассмотрении той нлн иной конкретной задачи может оказаться, что некоторые члены в уравнении (3.24) пренебрежимо малы. При этом можно использовать более простые формы обобщенного закона Ома.

Лля того чтобы выяснить, какие параметры определяют собой форму обобщенно~о закона Ома, оценим относительную величину членов, входящих в уравнсьие (3.24). Отметим прежде всего, что если газ частично иопизован, но 8 3) ЗАКОН ОМА Е, У вЂ” характерные длина и скорость задачи (предполагается, что копвсктивпые токи и токи смещения не превосходят по порядку величины токов проводииости). Соотношение (3.28) показь>наст, что при любой степени ионизации ( игас( р,! < — (,/ Х Н(, (3.29) причси 8тас! р, нссущсствсн при малой степени иопизации. Если скорость электронного газа относительно ионного мпо>.о меньше характерной скорости задачи У )Ое, (3.

30) то имеет место соотношение -'УХН!«7! ХН!. (3.31) Соотношению (3.30) можно придать более обозримый вид, если воспользоваться (3.28), именно: пес, у 1 т;!рс ц)) е пе пе а ейН или 1 Н 1 1 0 — — = — — (( 1. я й и> с ю~ (3. 32) 'ы = —; назовем хара>стерной частотой задачи. Таст 1 й ким образом, условие (3.30) равносильно предположению о том, что угловая частота ионов ь>, больше характерной частоты задачи. Если имеет место неравенство сУ )) (~+ яе) О, или — (( —, (3.33) К+ >'-е то с Н!/ Реп! (( с !т> Х Н~. (3.34) Если электромагнитное поле оказывает существенное влияние на движение среды (именно такис задачи представляют интерес с точки зрения ма>нитной гидродипамики и ес прнло>кений), то электромагнитные силы имеют порядок величины сил инерции среды 1 э 1 . Н> рУЗ (и+и ) т;ссз = — — пт Нэ — ~Н1.

— р, (3,28) оспозныв уелзнвння У'='(Е+ —, ХН), .= Н,"" (3. 35) Если определить время между столкновениями электронов т* с ионом илн нейтральной частицей по формуле 1 1 1 (3.36) те (частота столкновений равна сумме частот столкновений разного рода), то для проводимости получим формулу аеас' с= —" —, тс совпадающую по форме с формулой для проводимости полностью ионизованпого газа. Если кроме неравенств (3.26) и (3.32) имеет место неравенство (З.ЗЗ), то закон Ома сводится к соотношению 1 Š— — и Х Н.

с (3.37) Это соотношение используется при изучении движений бесконечно проводящих сред. При этом соотношения (3.28) позволяют привести неравенство (3.32) к лиду, указанному в [а[: (7 пе(Г еаН!. а/ ах~пеаЛа е 7 стс(Г !' сстс При этих же условиях неравенство (3.26) можно привести к виду (! — е)а 2 (! — а)с хсеН / 16х (1 — а) х;е 0 и Подчеркнем, что неравенства (3.38) и (3.39) могут быть иаюльзованы вместо (3.26) и (3.32) только при рассмотрении движений хорошо проводящих сред, когда справедливо соотношение (З.ЗЗ).

1 . х+х„ Относительная величина членов. -у Х Н и — —" НЦ вЂ” р тг) с с е определяется числом шее*, При выполнении неравенств (3.26) и (3.32) закон Ома будет иметь вид (3.1), обычно используемый в магнитной гидродинамике: % 3) 41 злкон омл Если , '«1, (3.40) то имеет место соотношение УХН! «(х,+х)НУ вЂ” р,о~. (3А1) Наконец, при выполнении неравенства 2 (1 — а)с сс аТ (3.

42) имеет место соотношение — — рас( р Х Н+ — (3 Х Н) Х Н~ ~ << « ~ — дгас$ р, — — о Х Н!. (3 43) Таким образом, относительная величина членов в уравнении (3.24), представляющем собой обобп!енный закон Ома, опредечяется величиной следующих безразмерных параметров: оз -.', — —...

— — (ы т'), (3.44) 1 Я (1 — а)с 2 (1 — а)с с! 1 Я в г е" ' а юг х! аТ а ~ос 1 2 Параметр — — определяет относительную величину чле" "н мст а нов †' г Х Н и — о Х Н. Так как угловая частота ионов и Н с с тяжелых газов (аргон, воздух и т, д.) при Н ° !04 гаусс связанных как с физическими свойствами среды, так и с условиями рассматриваемой задачи. Параметр м,т', характеризующий спиральный пробег электрона иежду двумя столкновениями, определяет относительи т* ную величину членон ' т'Х Н и т2 При давлении 1 алгм, температуре 10 000" К и умеренных магнитных полях (Н 1О 000 гаусс) этот параметр невелик и членом †' г'Х Н И можно пренебречь. Однако при тех же температурах и полях, но при давлениях 0,01 алгм, величина м, станомет вится порядка ! и член — ') Х Н становится существенным, Н При этом имеет место явление «анизотропии проводимости» газа. основщ!в увлвпения [гл.

~ имеет порядок !Оз !/сек, то для течений с характерной скоростью (г 1Оз см/сек при характерном размере т'. 10 см -г величина — 1О . Для «чистых» газов прп термической ы; 1 Я ионизации параметр — — — велик вследствие малости л при тема ьп пературах ниже 1О 000' К в широком лиапазонс давлений, т. е. н е член у Х Н значительно больше — тг Х Н. Если иониза- Н с нию газа повысить при тех жс условиях путем добавления М:* легко ионизующихся присалков, то члсп — * / Х И стано- И витез несущсствспным по сравнению с — и Х И.

При более с высоких температурах это жс явление имеет место и лля «чистых» газон. (! „)а Параметр — †, определяющий относительную велиХ~ чину членов — "у Х И и ез (1- аз) [(ГАХН) Х И[, может стать сравнимым с 1 только лля раареженпых ~ азов, движущихся в сильных магпигных полях (когда пе только электроны, го и ионы обладают спиральным нробсгоч]. При умеренных полях и температурах этот параметр для плотвах сред всегда много меньше елиннпьь 2 (1 — а)а =~ Параметр — — ., определяющий относительную вся Т ы -*(1 —. е)а личину членов ' -- (/ Х Н) Х Н и .-и Х Н, в силу И~7ч с условия (3.13), может стагь сравнимым с ! только при очень низкой ионизации газа.