А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 5

29 ЗАКОН ОМА Здесь )' и Е' — плотность тока и изпряженность электрического поля в системе координат, в которой элемент среды покоится. с — величина, нааываемая ироводаз4остью среди и зависящая от свойств среды. Для того чтобы понять смысл и определить границы применимости соотношения [3.1) к жидким и газообразным проводникам, рассмотрим простейшую молекулярно-кинетическую иодель среды [гв 'е 'а " аа Я4[, Н Уравнения движения трехкомпонентиой среды, состоящей из электронов, ионов и нейтральных частиц. Пусть в единице объема среды содержится и нейтральных частиц, и ионов и и + и' электронов. Для простоты будем считать, что электроны и ионы несут одинаковый по величине, но разного знака заряд с; тогда плотность объемного заряда равна р, = — и'е. Кроме того, массу иона будем считать много больше массы электрона [3.2) и4(» т, и совпадающей с массой нейтральных частиц [3.3) т4 — тьг Назовем степенью иоиизалии величину и а= и+ и„ (3.

4) В качестве простейшей модели примем, что каждая из компонент — электроны, ионы и нейтральные частицы— представляет собой газ, движущийся независимо от других компонент, в тои смысле, что для каждой нз компонент в отдельности могут быть написаны гидродинамические уравнения движения. Взаимодействие между компонентами происходит в результате столкновений и сводится к некоторой усредненной объеиной силе, равной среднеиу изменению импульса прн столкновениях частиц, принадлежащих разным компонентам. Электронный, ионный и нейтральный газы считаются идеальными, так что напряжения внутри компонент сводятся к соответствующим давлениям.

Если скорости относительного движения компонент малы по сравнению с хаотическими скоростями частиц, то и смесь в целом можно считать идеальной, а суммарное давление — равным сумме 3О (гл. г осноаныв уяхянвиня парциальных давлений каждой из компонент (3.5) Р = Ре+ Р~ + Ра При этом в равновесном состоянии вследствие пропорциональности давления числу частиц имеют место следующие формулы: и 2и+ па+ и' и+и 2и+иа+и' ' ' (3.6) "а Ра=2и („( „Р. В пространстве, занятом движущейся средой, задано электрическое поле Е и магнитное поле Н.

При этом предполагается, что Е и Н определяются как внешними полями, так и зарядами и токами в самой среде. Определим силу, действующую на каждую из компонент, возникающую за счет столкновений частиц этой компоненты с частицами другой компоненты.

Силу, действующую на единицу объема ч-й компоненты со стороны частиц й-й компоненты, можно представить следующим образом: У е = Маи.т ь ч. 7г = — е е' а (3.7) т„та бу,„= — " м„а т„+ та (яг„„ — средняя скорость частиц ч-й компоненты относительно частиц и-й компоненты), которая соответствует средней потере импульса при упругом столкновении двух частиц т„ и ть, движущихся с относительной скоростью п„а в предположении о равной вероятности любого угла отклонения где п„— число частиц ч-го сорта в единице обьема, т„а— среднее время между столкновениями частиц ч-го сорта с частицами Й-го сорта, причем за среднее время между столкновениями принимается промежуток времени, за который частица ч-го сорта при взаимодействии с частицами й-го сорта теряет в среднем импульс бу„а.

Обычно в качестве бу„» выбирается величина ЗАКОН ОМА частицы в результате столкновения. Согласно неравенству (3.2), для электронного газа цг"„а = — г,а, ч=г, и, л=е, а для ионного и нейтрального газов 1 !Аг„= — — г„, й, а=1, а, й+ ж А 2 А' где г,» — импульс частиц ч-го газа относительно частиц Й-го газа. Теперь легко написать уравнения движения для каждой из компонент среды.

Пусть я! — скорость движения всей среды, я! — скорость движения ионного газа относительно среды и я!,— скорость движения электронного газа относительно ионного газа. Скорость движения нейтрального газа определяется через скорость среды и скорости ионного и электронного газов по формуле (3.8) При выводе этого соотношения считается, что скорость элемента среды совпадает со скоростью его центра масс, и используется неравенство т, (( лг!.

Последний член оставлен, несмотря на малую массу электрона, в связи с тем, что соотношение между яг, и я!! неизвестно, и может оказаться, что пг,о, тр!. Кроме того, здесь н всюду в дальнейшем считается, что и'((и. (3.9) (Значителы!ые концентрации объемного заряда не могут возникнуть при отсутствии специальных внешних условий, обеспечивающих удержание этого заряда. В связи с этим членами л' — всюду пренебрегаем по отношению к членам 1. Отметим, что условие (3.9) пе равносильно предположению об отсутствии пространственного заряда, так как малое превышение числа электронов над числом ионов может дать заметный вклад в силу, действующую на среду со стороны электрического поля ( — л'еЕ=-р,Е), и в плотность тока за счет переноса зарядов вместе с движущейся средой ( — и'еяг= = р,а!). Если газ полностью ионизован (л, = я!, = О), то соотношение (3.8) упрощается и дает связь е! и я!,.

Выкладки, (гл, Оснбаньш Увлвнвиия аналогичные тем, которые будут проделаны здесь в предг"- ложении а чь 1 (п, ~ О), можно проделать и для случая полной ионизации (двухкомпонентная среда, а = 1), причем, как легко проверить, получающуюся при этом форму обобщенного закона Ома можно получить нз соотношения(3.24) предельным переходом при а — ~. 1 (соотношенне (3.25)). Кроме силы, обусловленной столкновениями частиц разных компонент, на электронный и ионный газы будет действовать объемная сила, обусловленная электромагнитным полем.

Так как срелпий импульс электронов относительно ионов равен ее! — †те, а относительно нейтральных частиц ~еа те (те+ о! + юе оа) те (~е + !1 + и ) о! + то уравнение движения электронного газа можно записать в виде де (о + о! + с!е) 1 йтас) Ре пе !(Е+ (о+ос+ое) Х гг~ — тиос ' — тп~о,+ — ) с —;, =,—,+((о+., +..) р) = — „+(;+,) р. с! д (3. 10) (3И 1) В уравнениях (3.10) и (3.! 1) -., -, с,— соответственно время между столкновениями электронов с ионами, ионов с ней- Импульс ионов относительно нейтральных частиц равен у„=т;(о+и! — о )=т, ' +т, о,.

Используя это выражение, запишем уравнение движения ионного газа в следующем виде: т и '(„') = — К!ад ре+пе~Е+ — (о+о!) Х Н1+ ! а, т, 1 е, +т пот — пт о 'с — — — пт 2 е1 — а ес т! 2 1 — а д! д — „' = — „-4 (о+о!) 7. дг дс ЗАКОН ОМА тс3альными частицами и электронов с нейтральными частицами. Вместо уравнения движения нейтрального газа будем пользоваться уравнением движения для смеси в целом, которое, конечно, является следствием уравнения движения нейтрального газа и уравнений (3.10), (3.1!), (3.5) и (3.2): сСв тс(и+и,) — = — нгас) р — и'еЕ— и'С вЂ” 1иес +и (тс+тс~)1 Х Н (3.12) ту =,с, +(Фр) Здесь мы воспользовались определением плотности тока ,С = ~~'., айЕйтсй = — (П+ И') Е (тс+ НС+асе) + +ае(ес+нс) = — аеас, — и'е(ес+ асс) и неравенством (3.9).

2. Получение обобщенного закона Ома. Уравнения (3.10), (3.11), (3.12) служат для получения соотношения, связываюсцего плотность тока с другими величинами (обобщенного закона Ома). Прежде чем выводить это соотношение, оценим в этих уравнениях члены, содержащие проивводные. Будем предполагать, что характерное время задачи много больше времени между столкновениями частиц и что скорость компонент относительно центра масс мала по сравнению с хаотическиии скоростямн частиц.

принадлежащих данной компоненте (это условие использовано нами при получении соотношений (3.5) и (3.6)). Если Т вЂ” характерное время задачи, ь — характерный размер и сс' — характерная скорость ( — ) а. 'с сг — ), то эти предположения равносильны следующим: Т)' Т~~ шах (т, тн те), С((НС„, ~тсС+ас,~((тс,„, )ИС вЂ” тс,~ (Н,„.

(3.1 3) Здесь тсск, тсел, тс — хаотические скоРостн ионов, электРонов и нейтральных частиц, причем если состояние равновесное (температуры электронов, ионов и нейтральных частиц равны), то т тса = т н2 = т тс~ е ел С сл с лл 3 зак. сс. А. г. куликовский. г.

А любимов 34 !гл. ~ осиовныв юглвнвния Так как давление пропорционально произведению массы ча- стиц на средний квадрат хаотической скорости, то при усло- виях (3.13) членами — (е;+е,), (е, +е,) !г (е+ е,.-+е,), и е,7(е+ и,) с!ог тсп ( — ( = = — — ~ ~~ — и сŠ— я а р — — (е, ХН)— т л !Г ле тг и+и„~ ~ с — п'е(е+е,) Х Н1~ (( ле (~~ — ботас( р,— пеŠ— — (е+е,+е,) Х Н~, т. е. членом — т п в левой части уравнения (3.10) тоже ие с можно пренебречь.

Таким образом, при условии (3.13) уравнения (3 10) — (3.!2) примут вид — агаг( р,— пе~Е+ — (е+е,+е,) Х Н~— 1 — гниет '- тп(е+. ' !т '=О, е е' с ! е ' ! — с! в т,п — = — атаЙ р, + па ~ Е + — (е+ е,) Х Н) +. ио Г 1 ! с .гтс 1 и! +пт ее —,пт — е т; —..— пт — —;. ' 2 г1 — с сг т 2 г!— иэ т (п+и ) — = — йтаб р — п'сЕ— ! а сгг (лаге+и (е+еЛ Х Н (3. 14) в левых частях уравнений (3.10) и (3.! 1) можно пренебречь по сравнению с последними членами в правой части этих уравнений и с градиентами соответствующих давлений. Кроме того, в силу уравнения (3.12), при условиях (3.2), (3.3), (3.6) и (3.9) имеет место соотношение 5 31 35 ЗАКОН ОМА Введем следуюгцнс обозначення: У = — исеге — и'е (Яг+ О!), У, = пете!, 1 ст 1 ст — е ш,с СН ' ' ' шех еН е ! 1 ! ст! хг: — — — = — —,— — - т.

(3.15) ! ! 1 . 1 — ц г) р, — (Е+ —,те Х, Н) — —, уг Х Н+ —, у Х Н+ 1 Н хх х и' + — Гх+ . ) Н(7+ИСО)---~ — — '"- — — 'Н вЂ” )7С 6, (3,16) 1 т 1 — гггаг! рг+- ис (Е+ — т Х Н)+ —,у, )( Н— 7х те хг — ! — Н вЂ” - — — - — ' Н) (и сяг+/)— (с 1 — хлгг с ) Гх И' Н хГ1. ио 1, тги ив — пгаг( р+ — )СХ Н вЂ” и'СЕ= — —. (3.18) с х чс ' Сложим (3.16) и (3.17) и исключим — прн помощн (3.18); ГГО ггг прн этом получим выражепне для г',.