А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 2

02 Эти формулы с точностью ло членов порядка — имеют 2 внд Е' = Š— !- — Х Н; Н' = Н вЂ” — Х Е. (1.2) Нетрудно проверить, что при использовании преобразований (1.2) сила, с которой элентромагцнтное поле действует па частицу, инвариантна с точностью да членов порядка Н2 — действительно, с' ' Е'= е(Е'+ — р'Х Н') =.. =- е ~ Е-+ —,' и Х Н+ — ' (22 — и) Х (И вЂ” ' и Х Е)1 = = е (Е+ — в Х Н) = Е. Рассмотрим движение частицы с зарядом е и массой т в однородном электромагнитном поле ["); при этом ограничимся случаем Е2<' Н2, Предположии сначала, что векторы Е и Н параллельны.

Разложим движение частицы на продольное лвиженне вдоль поля н поперечное движение перпендикулярно к полю, при этом скорость представится в виде суммы п=п;+22~. Сила, действующая на частицу вдоль поля, будет равна Е!! =- еЕ, а движение, вызванное е, еб этой силой, будет равиоускорснным — ~= —. Составляют т Рная силы, перпендинулярная к полю, равна Г1 — — е — Х Н= е = — Х Н. Эта сила работы не производит. Следовательно, с 2 и —.= сова!, поэтому 24Г= сова! и Е; =сова(. Так как, 2 кроме того, Е, ! 22., то поперечное движение будет [гл, г основныв ггавиеиня то,с равномерным движением по окружности радиуса Й = еН Эта величина получается из условия равенства центробежно" силы и Г,.

При этом частицы, обладающие зарядом разных знаков, будут вращаться в противоположные стороны. Суммарное движение будет представлять собой движение по винтовой линии с переменным шагом вдоль направления полей. рассмотрим теперь движение заряженной частицы при произвольном расположении векторов Е и Н. Если перейти к системе координат, движущейся с некоторой скоростью У, перпендикулярной к Е и Н, то можно добиться того, чтобы Е и Н в этой системе координат были параллельны.

В самом деле, согласно формулам перехода (1.2), Е'.—.—. е,. (Е, — — Н ) + е (Е + — Н,.) . Н'=е,(И,+- - Е1)+е,(Н вЂ” — Е,) (система координат выбрана так, чтобы векторы Е и Н лежали в координатной плоскости хи х11 е, и е1 — елнничиые векторы). Для параллельности векторов Е' и Н' необходимо, чтобы (Н,Š— — Н1Е) —, +(Еа-(- Н» —. +(НЕ . Н Е) — 11 Так как, согласно прелположенню, Е'((Нт, то, разыски(Ге вая корень этого уравнения, для которого — ((1, нос' лучим (г Н1Е~ — Н(Е~ (1.

3) Таким способом может быть найдена система координат, в которой движение частицы сводится к предыдущему случаю. Эта система координат зависит только от векторов Е и Н н ие зависит от рассматриваемой частицы. Скорость движения этой системы координат называется скоростью дрейфа частиц. Кроме найденной системы координат, сушествуют н другие системы координат, в которых Е н Н параллельны. Во всех таких системах координат векторы 5 11 хвлвнвния элвктеодннлмнки Р=[д .е.ь —,д ..х>>~. (1.4) где я>,— скорость частицы, и суммирование производятся по всем частицам внутри объема Ьт. Введем величины ~~~Р е ~~~~ ~е„е„ 11.

б) ре которые называются соответственно плотностью заряда и плотнослаью тока. Если имеются частицы ч сортов, то эти выражения можно представить в следуюшем виде: р,= ~~',Н е, г= ~~~,Маеая>а, где Иа — плотность частиц й-го сорта, т>а — средняя скорость частиц й-го сорта. Е и Н одинаковы, а скорости этих систем отличаются нз вектор, параллельный обшему направлению Е н Н.

Движение частицы в исходной системе координат будет складываться из движения в подвижной системе координат (винтовое движение с переменным шагом) и движения со скоростью подвижной системы (дрейфа). Г>удем в дальнейшем рассматривать дан>кение не одной частицы, а огромного числа заряженных частиц — сплошной среды; при этом будем интересоваться только средними характеристиками такого движения. Пусть в пространстве, аанятом средой.

задано электромагнитное пале. Вычислим силу, с которой это поле действует иа физически бесконечно малый объем среды Ьт. Под физически бесконечно малым объемом будем понимать объем, протяженность которого мала по сравнению с характерной длиной задачи, но достаточно велика для возможности осреднеиия по этому объему. Суммируя (1.1) по всем частицам, находящимся в этом обьеме, и считая Е и Н постоянными на протяжении пространства. занятого этими частицами, получим для искомой силы следующее выражение: 1гл.

~ 12 ОСНОВШ!Е УРАВНЕНИЯ Р Г!логлнослгь силы 1'= —, согласно (1.4), равна Ьт У=Р,Е+ — (1Х И). 1 (!.6) Как следует из (1.5), прн переходе от одной системы координат к другой системе, движущейся со скоростью А1 относительно исходной, ~и~~ ~е о„~ е,(о,— 11) 1 ", ", 1 — р,и. (1.7) рые переносят заряд У еа1Аг (оа а) Ьт = ЬХ(,1 . и) = 1„бУ. А Через ззмкнутую поверхность (а — внешняя нормаль) втекает заряд — ~ 1„д~. а Это количество равно изменению заряда в объеме в единицу времени д дг 11 ре г(" Таким образом, дг 'у' 1е дз (1.

8) где 0 = / рег)т — заряд, заключенный внутри х,. При изучении изменения и свойств электромагнитного поля польауются системой уравнений Максвелла (см., напри- Так как заряд частицы не меняется с течением времени, то нзмеисиис заряда в каком-либо объеме может происходить только за счет входа и выхода заряженных частиц через границу объема, Через элемент поверхности ЬА с нормалью а в единицу времени проходит ~~' М (яга а) ЬХ частиц, кото- 5 1) УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ мер, (а'т) ). Эта система, записанная в интегральной форме, имеет вил И Л=- —," У+ —,1 —,ед~, 4- 1 ( дба с,! дт ~Е "'= — —,/ (1.9) где Š— контур, иа который натянута поверхность л и кото- рый покоится в выбранной системе координат, У вЂ” ток, про- текающий через л; и равный Индекс л означает нормальную составляющую вектора, причем направление нормали к поверхности выбирается так, чтобы направление обхода прн интегрировании по контуру Е и направление нормали образовывали правовиитовую систему.

К уравнениям Максвелла относят также следующие два соотношения: Е„дт = 4иО, ~ О„дХ=0. (1. 1О) Уравнения Максвелла являются обобщением опытных фактов и представляют фунламентальные постулаты электродинамики. Правнльиость этих постулатов проверена тем, что все выводы, следующие из (1.9), согласуются с известными экспериментальными данными. В ряде случаев, когда значительная часть токов или зарядов сосредоточена в областях, объем которых мал по сравнению со всем рассматриваемым объемом, бывает удобно использовать суммарные характеристики токов и зарядов этих областей, вволя такие понятия, как плотность поверхностного тока и плотность поверхностного зарядз, линейный ток н плотность линейного заряда, точечный заряд и т. л. При этом интегральные соотношения (1.8), (1.9) и (1.10) сохраняют свой вид. 14 основные грлвнения )гл.

~ Если рассматриваемая срейа состоит из сложных частиц— молекул и атомов, то могут возникать внутринолекулярные токи, связанные с движением зарядов внутри молекулы, и заряды, связанные с разделением зарядов внутри молекулы (поляризацией). Чтобы избежать рассмотрения этих величин при изучении сплошной среды. наряду с векторами Е и Н вводятся векторы электрической и магнитной индукции Р и В. Если электромагнитное полс не очень быстро меняется в пространстве и во времени, то для большинства сред в системе координат, в которой элемент срсды покоится, векторы Р и В пропорциональны соответственно векторам Е и Н Р'=-еЕ', В'=ВН'. Здесь е н р — безразмерные коэффициенты, связанные с физическими свойствами средьц Во многих случаях при рассмотрении жидких и газообразных проводников с болюпой степенью точности можно считать р = 1').

Лля хорошо проводящих сред с не слишком большим е можно не учитывать поляризацию среды. Это связано с тем, что поляризация среды вызывается электрическим полем Е', которое, как будет видно нз дальнейшего, являетсн малой величиной а). В связи с этим в уравнениях Максвелла (1.9) (и всюду в дальнейшем) будем считать р = — з =- 1. ~) В рассматриваемой постановке величина В вводи~ся так, что ее отличие от В обусловлено внутримолекулярными токами. В некоторых случаях прн изучении плазмы величина В иногда вводится так, что ее отличие от Н обусловлено также токами, связанными с вращением заряженных частиц в магнитном поле.