А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 4

В дальнейшем прн конкретных расчетах будем считать, что рассматриваемая среда является совершенным газом, т. е. ') Это расстояние называется дебаевской лляной (см. Л. С пи тце р, Физика полностью ноннзовапного газа, ИЛ, 1957). [гл. 1 оспозцыв углвиеиия температура и внутренняя энергия определяются соотношениями р = ссРТ; с=с,Т= (т 1)Р (2. 4) ср И+с (= В дальнейшем будем также рассматривать движения несжимаемой жидкости (р=сопз1), причем виутрениюю энергию несжимаемой жидкости будем считать пропорциональной температуре в = с„Т (с„= — сопз1). (2 5) Преобразуем в уравнениях (2.1) поверхностные интегралы в объемные, предполагая подыптегральные функции дифференцируемыми: ~,)п,ут Чс,~,, / й.ех Р дес л с 3 — / в в ч =./ д Т др, Рсс(т =ел~ Рыпсс(Х=( д 'еас(т= — ~йчРйт, в Б Р 'тггс~= — 'у'Ржова "~= рдро д дхс "' " ~(т= 1 йи(Р ° тг)сИ, (2.6) где др„ йчР= — е, Р тз=р рьег дх~ Тогда если подынтегральные функции в объемных иитегралах равенств (2.!) и (2.6) непрерывны, то, используя формулу Остроградского, из интегральных уравнений (2.1) можно Здесь с„— теплоемкость газа, соответствующая нагреванию при постоянном объеме, которую в дальнейшем будем считать постоянной, )с — газовая постоянная, ( — показатель адиабаты Ф 2) УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 28 получить дифференциальные уравнения движения: — ~+рд(ч Р= О, йр йг р — =йч Р+р,Е+ — (у Х Н), йо 1 р — „с (е+ — ) = — йч с7+йч(Р о)+Е (2.7) При получении первого уравнения использовано равенство дх — „= т йч ег.

а при выводе остальных — равенство — (р с(т) = О. йг вг На практике в разных задачах используются другие формы записи уравнения энергии, которые получаются иа последнего урзвнения (2.7) при помощи термодннамических соотношений и первых двух уравнений движения (2.7). Умножая уравнение импульсов на яр скалярпо, получим 1 йв', 1 — — й Р+р, Е+ — (,)ХН) с Подставляя это выражение в уравнение энергии, получим йс 1 р — „= — — йч ~7+ Е,)' — рр ' Š— — (/ Х Н) яр+ с + д 1Ч (Р ° и) — и йч Р = — йч д+  — Р дге о+ Ф, (2. 8) где 7) — А У Е р р,тг Е (7ХН) 1 =(е+ —,' х н) (л — р,о) = е' ..7'. дпг 1 / де~ две 1 ф=св — = в — ( — + — ( дхе ' 2 ~дхе дх~ )' тц = Рсв Рды. рде+,Рог йч 'Р = р (де+,Од(г) = р7 оз, 1 где 1с = — †' удельный объем, з — энтропия среды, то р с) называется джоулсвым теплом, Ф называется диссипативной функцией (связана с выделением тепла за счет вязкого трения).

Так как для двухпараметрических сред 24 1гл. Р оСНОВНЫВ ГРЛВНВНИЯ уравнение (2.8) можно записать в виде РТ вЂ” =- — йч ~у+Ф+В. сз Нг (2.9) Тшс как энтропия срелы пс может убывать ни при каком адиабатичсском (йи и= — 0) процессе, то это накладывает дс( р некоторое ограничение на вид зависимости т. от — — и у дх„, от Е', а ииснио зависимость должна быть такой, чтобы выполнялись неравенства <1»0, В>0. Легко проверить, что если т, выражается через до~ дхщ ' согласно равенствам (2.3), то Нетрудно убедиться, что при любых р > О, ( > 0 условие Ф )~ О всегда выполняется.

р Для совершсиного газа е = — и, следовательно, Т 1 Р не 1 Ыр л Фр Р Подставляя это выражение в (2.8), получим — — 1и ~ =- — й ч ц + Р1Р + В. ( — 1йт (2.10) Так как для совершенного газа энтропия а= с 1п — +сопз1, р т то уравненис (2.10) совпадает с (2,9). т 1лг (т 1)Р лг 1 Нр — — — + — йя ЯР т — 1нг чр т р нР 1 — 1лт т — 1Р лт йчо= — — 1и — — рйчо.

р =т — 1НР Р $21 ш авиация маханики сплошной сгьды 25 Если жидкость невязкая, нетеплопроводная и Е'=О. то из (2.9), (2.10) следует постоянство энтропии в частице гааа а=с~ив(. Р =ыпз(, ,т р,Е+ — (1 Х Н) == — Еда Е+ — — го! Н— 1 . 1 . 1г/с 1 дЕ! ! д 1 1 2 2 4я дс) ! дс 4яс — — — ) Х Н' == — — — (ЕХ Н) — — пгад(Н +Е )+ ая + — — (ЦНт+ЕгЕ!) е, =- — д + б1~ Т, (2.11) где А'= 4яс (ЕХ Н), Т=, Т,.

1 Тг„= — (Н,Н + Е,.Е ) — — (Нт+ Е') 6г При преобразовании было использовано векторное тождество 1 да;а! — етад а' = а Х го! а + — ' — е — а д 1ч а. 2 дхг Далее, ! с 1 дЕ1 Е г'= Е ~ — го1Н вЂ”вЂ” 'х 4я 4я дс) с 1 д ав дг =- — —, б! (Е Х и) — —, г (Е'+ Н') = дю дг ' .=- — Й!ч з — —, (2. ! 2) где з4(ЕХН)гез(Ет+Из) При преобразовании было использовано векторное тождество г(!ч(а Х Ь) = Ьго( а — аго' Ь. причем сопз! могут быть различными лля разных частиц жидкости. Займемся преобразованием системы (2.7). В силу уравнений Максвелла [гл.

основные твхвнения В электродинамике и теории относительности вектору 1 й'= 4 (Е Х Н) приписывают смысл плотности электро4ег магнитного количества движения; тензору Т вЂ” смысл тензора напряжений электромагнипгного поля; величине 1 то = — (Не+Ее) — смысл плотности электромагнитной хв — = — о!ч (ртг), др дг (2.13) дй — = — й!ч П, дг (2.1 4) дФ' — = — Йч Я. дг (2.15) Здесь б = ро+й — плотность полного количества движения;П= ,'я;.) = (рорт — р!) — ТП)) — тензор плотности полог ного потока импульса; В' = р!е + — + ти) — плотность пол- 2 ог т ной энергии; Я=а+а — Р о+ро~е+ — ) — плотность 2) полного потока энергии.

При преобразовании уравнений импульсов и энергии использовано уравнение неразрывности. с энергии, вектору э= — (Е Х Н) — смысл плотности по4в тока электромагнитной энергии (вектор Умова — Пойнтинга) ("). Равенство (2.11) выражает тот факт, что изменение электромагнитного количества движения в некотором объеме происходит за счет электромагнитного потока импульса через поверх! ность, ограничивающую объем, и за счет силы — ! р Е+ — )ХН), т г с с которой среда воздействует на электромагнитное поле. Равенство (2.12) показывает, что изменение электромагнитной энергии то в объеме в единицу времени происходит за счет потока электромагнитной энергии э через поверхность, ограничивающую объем, и за счет работы — 7' Е вещества над полем. Используя введенные понятия, преобразуем уравнения движения (2.7) к следующему виду: й 2! УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 27 Соотношения (2.13) — (2.!6), написанные в интегральной форме, имеют внд —,',/, =- ~ „,(х, л е — / Сн'т= — ~ П мл'Х, д /' ег,l л е — ~ Ж'лс = — ~5„г(Х.

(2.16) Первое из этих соотношений выражает тот факт, что изменение массы в некотором неподвижном объеме происходит за счет потока массы т= р яг через гранину объема, ПРИЧЕМ ЧЕРЕЗ ПЛОЩаДКУ На, С НОРМаЛЬЮ П ПрОтЕКаЕт РО„Г(л' массы в сднницу времени. Второе равенство (2.!6) показывает, что изменение полного количества движения в неподвижном объеме происходит за счет потока импульса через границы объема. Прн этом плотность потока импульса через площадку с нормалью и задается вектором П и = Нна цел = (рпР» — Ргл — чга) л,е„. Олт с 'чл Р(~+ф Ол+ллл (~ ' тг) и+ 4Е (Е Х Н) а. Первый член в этом выражении связан с притоком импульса за счет движения жидкости через границу объема, второй связан с переносом импульса за счет внутренних напряжений в среде (если молекулы среды взаимодействуют путем столкновений.

то этот член свяаан с переносом импульса при хаотическом движении молекул). Последний член представляет собой перенос импульса электромагнитным полем. Через площадку г(х,' протекает в единицу времени П,лплг(г 1-й компоненты импульса. Последнее равенство (2.16) выражает тот факт, что полное изменение энергии в объеме происходит за счет потока энергии через его границу. Плотность потока энергии задается вектором о. Через площадку с нормалью и будет протекать в единицу времени количество энергии 28 (гл.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Полученная выше система (2.7) уравнений движения сплошной среды, состоящей нз заряжснных частиц, не является замкнутой, так как она содержит члены, связзнные с электромагнитным полем, законы изменения которого не содержатся в законах механики. В качестве законов изменения электромагнитного поля мы будем пользоваться рассмотренными раисе уравнениями Максвелла. В связи с этим при решении задзч о движении сплошной среды, состоящей из заряженных частиц, мы должны пользоваться совместно системой (2.7) и системой уравнений Максвелла (1.! 1) и (1.12).

Но, как нетрудно заметить, и такая совместная система уравнений все еще оказывается незамкнутой. Действительно, уравнения механики (2.7) определяют движение и все механические характеристики среды, если известно электромагнитное поле. В спою очередь для однозначного определения электромагнитного поля из уравнений Максвелла (1.1 1) необходимо либо задать плотность тока как функцию координат н времени, либо связать плотность тока с остальными величинами, входящими в уравнения, причем н последнем случае система уравнений механики, уравнений Максвелла и выражение для плотности тока должны рассматриваться совместно. Соотношение, связывающее плотность тока с остальными величинами, называемое зиконом Озга (нли обобщенным законом Озга), зависит, вообще говоря, от свойств рассматриваемой среды.

ф 3. Закон Ома') Законом Ома обычно называют соотношение, связывающее величину плотности тока 7' с напряженностью электромагнитного поля и параметрами, определяющими свойства и движение проводящей среды. В электродипамнке и магнитной гидродинамике обычно используется простейшая форма связи между плотностью тока и напряженностью электрического поля (3.1) ') Этот параграф посвящен выяснению границ применимости ззкона Ома в форме (3.1), используемой в дальнейшем прн выводе уравнений магнитной гндродннамики, н прн нервом чтении книги может быть опущен.