kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 10

(55.37)) 1+2гсоях+г7>0, то функция /' непрерывна на всей действительной оси и, следовательно, у нее существует ряд Фурье. Производная функции,1' (1п (1+ 2г со5 х+ г')) ', =— ! Ч-2! еолхжл' также является непрерывной на всей действительной оси функцией и для нее нам уже известно ее разложение в ряд Фурье (см. (55.41)): (!п(1+2гсозх+г'))',= — 2 ,'! ( — 1)" 'г" 51плх. л= 1 Отсюда, согласно теореме 15, следует, что 1п(1+2гсозх+г!)=2 2' ( — 1)л ' — сових+С. л= ! л 6! Положив х=О, получим а 1п(1+г)=2 ~ ( — 1)" ' — +С, и=! ь откуда, согласно разложению логарифма в ряд Тейлора при (г(<1, имеем С=О. Таким образом, мы получили разложение 1п(1+2гсовх+г )=2 2 ( — 1)" ' — созпх, !«~<1.

(55.83) и=! Л Заметим, что эта формула справедлива и при г=1, если только хФ(2л+1) —, л=О, +1, +2, ..., ибо 1п(1+2гсоах+г') =1п2(1+созх)=21п2 сов-, ~=! 2' а для этой функции было получено раньше разложение (см. (55.35)), совпадающее с (55.83) при г=1. В случае г= — 1 ряд, стоящий в правой части формулы (55.83), расходится при х=О.

55.12. РЯДЫ ФУРЬЕ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА Теория тригонометрических рядов Фурье 2а-периодических функций легко переносится и на случай периодических функций с любым периодом 21. Для э~ого достаточно отрезок ( — 1, 1) отобразить на ( — я, к) с помощью линейного отображения: у= — 'х, — 1<х<1, — я<у<к, ! тогда вопрос сведется к уже рассмотренному случаю. Рядом Фурье функции 1' с периодом 21 по исходной переменной х называется ряд ькх . ахх — '+ ,'! а сов — +Ь гйп —, П ! И н=! где ! ! ао=- Я)«1«, а„=- у'(!)сок — «1«, Ь„=- ) 1'(/)яп — с//, л.=1, 2, / ) / В частности, если функция 1' четная. то т.

1(х) - — „'+ „'> а„соа — ', о=! где 1 а„=-- 1'(/)сов — — с//, а=О, 1, 2, о а если 1' нечетная. то 1'(х)- 2' Ь„аю — '. о=! где Ь„=-" 1'(/)яп — с//, и=1, 2, П / / о 55ЛЗ. КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ РЯДОВ ФУРЬЕ Как известно (см. и. 37.6). пк! соз/сх=-„(е""с+е ""), (55.85) яплх= — (е" ' — е "*с)=-(е ""' — е" '). (55.86) 2! 2 Подставив (55.85) и (55.86) в (55.84), получим 1(х) -ч+ 2 -(а„— Ь„/)е""'+ — (а„+Ь„/)е л-! В заключение отметим егде так называемую комис!екс/сую зались рядов Фурье, часто используемую в математике и ее приложениях.

Пусть 1(х) -- 5+ 2„а„соа пх+ Ь„яп лх. (55.84) =! Полагая со=+ с„=-(а„— Ь„г)„с „=-(а„+Ь„г), е 2 ч имеем г'(х)- 2 с„е'"*, и= — е (55.87) где, очевидно, с „=с„, и=1, 2, .... Вспомнив, что созсг+ +(з)па=е+и (см. и. 37.6), будем иметь к с„=-(а„-Ъ„г)= — ~ 1(х)(сохах — гх(ппх)йх= и = — ~ 1(х)е г""ггх, *' 2к (55.89) *' Определение интеграла от комплекснозначной фуикнии действительного аргумента см. в п. 54. 6.

с „=-(а„+Ь„г)= — „Ях)ем" г(х, и=1, 2, или, объединив обе формулы н добавив случай п=О, а с„= — ( Д(х)е и" с(х, п=О, +1, +2, 2к 1 Подставив (55.88) в (55.87), получим к дх) — 2 еьм Г(г)е и'ггп ч Итак, мы записали ряд Фурье в комплексной форме и нашли соответствующие выражения для его коэффициентов. Требует разъяснения лишь понятие сходимости ряда вида (55.87). Частичной суммой порядка и ряда Х =. (55.90) называется сумма 5„= Ряд (55.89) называется сходящимся, если существует 5= 1пп 5„, при этом 5 называют л .х суммой ряда и пишут л= — х Рис. 253 55.14. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛОГАРИФМА В СТЕПЕННОЙ Рид В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1" (1+2)= Х ( — 1)" ' —, !-!<1, гФ вЂ” 1. (55.91) 5=1 и Действительно, в и.

37.6 было показано, что из определения логарифма как функции„обратной показательной функции е', следует, что при условии !с!<1, аФ вЂ” 1, имеет место равенство !п(1+2)=1п(! +а(+/аг8(! +а), (55.92) где — я «аг8(1+ г) < я. Ясно, что все точки 1+: лежат в правой полуплоскости комплексной плоскос1и и а+1~0, поэтому значение аг8(1+к) Л Л'5 находится в интервале — —, -) (рис. 253), т.

е. 2' 2) аг8(1+:) =агс18 —, л (55.93) если !+==к+15с Положим а=ге =Г(созц1+131п1в)„' (55.94) тогда из условий !;!<1, г~ — 1 следует, что 0<г<1, причем если г=!, то 5р~(2т+1)я, т=й, -~-1, +2, 65 С помощью разложений в ряды Фурье функций !п (1+ +2гсовк+гз) и агс18 ' (см. (55 83) и (55 42)) можнополучить 1 5- л Е05 Ч1 разложение функции 1п (1+ "), ! г ! < 1, г эь — 1, в степенной ряд в комплексной области, которое было приведено в и. 37.6 без доказательства: Заметив, что ~1,.(„,ЛЛ~И,Л)~х,((Л1 Л-,- ' (!!и!) и что аг8(1+ г(соя (р+ ! яп (р)) = агс18 „(55.96) (55.93) ! 9 Лссл(!) из (55.92) получим 1и (1+ г) = 1и ~ 1+ г (соз (р+ )яп (р)1+ (55.92) + !'агй(1+ г(соз (р+ !'яп (р)) (55.95) (55.96) =-1и (1+ 2г соа (р + г')+ ! а гс18 ! 9-2СО59) (55')3) (55.83) х х = ,') ( — 1)л ' — СОзп(р+! 2 ( — 1)л ' — янл(р= и=! и и= 1 Л а ( — !)и ' — (созп(р+!япл(р)= ~ ( — 1)и л =- 1 и=1 а, =2. (-1)" '-„- л=1 Формула (55.91) доказана.

55Д5. СУММИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ До сих пор мы для заданной функции находили ее разложение в тригонометрический ряд ряд Фурье. Рассмотрим теперь обратную задачу; найти сумму заданного тригонометрического ряда. Иногда это удается сделать, сведя заданный тригонометрический ряд к степенному, сумма которого уже известна.

Идея этого метода состоит в следующем; если ряды э х Рс+ 2 РиСО8ПХ, ,') РиЯППХ (55.97) и=! и=1 сходятся на отрезке [ — я, я5, кроме, быть может, конечного множества точек, то тем же свойством обладает и степенной ряд а. х р„+ 2„р„созпх+!' 2. рияппх=рс+ 2" р„г", (55.98) и=1 л=( и=1 г=СО8Х+!ЯПХ=е(". Из того, что этот ряд сходится в некоторых точках единичной окружности ф=1, следует, в силу первой теоремы Абеля, что он сходится в открытом круге !=!<1 (см. и.

37.1), а поэтому его сумма ./(с)=Фе )=ро+ ~1, рл ", =ге!", (55.99) при !=!=г<1 является аналитической функцией. Для тех точек ка! — л, л|, в которых ряды (55.97) сходятся, положим х и, л(х)=' Ро+ Х Р.сов!!х, о(х) '="" ,'! Рок!пах. (55.100) и=! и= ! Согласно второй теореме Абеля, для указанных х ряд (55.99) равномерно сходится при 0<г<1. и, следовательно, функция /'(ге"), 0<г<1, как функция переменного г непрерывно продолжаема на весь отрезок (О, Ц, т. е. для нее существует предел 1пп /'(ге'*); обозначив этот предел /'(е"), получим ..~-о и(х)+!в(к)=ро+ ,''г рие!их= Игп /(ге1л)=/(е!").

(55.101) л= 1 -!-о Когда удается найти функцию /'в явном виде, т. е. выразить ее через элементарные функции, и вычислить ее значение, стоящее в правой части равенства (55.101), то тем самым удается найти и суммы рядов (55.100). Действительно, суммой первого ряда является действительная часть правой части равенства (55.101), а суммой второго ряда — его мнимая часть. Пример. Найдем сумму ряда х Е --— солих л=1 л Этот ряд сходится для всех х Ф 2лл! и расходится при .к=2лгп, !и=О, +1, +2, ... (см. (34.88) в п.

34.13). Все его члены, а следовательно, и его сумма — — периодические периода 2л функции, поэтому достаточно сумму ряда (55.102) найти только для х е (О, 2л). Наряду с рядом (55,102) рассмотрим ряд Х """' (55.103) и Этот ряд сходится на всей числовой оси (см. (34.87) в и. 34.13). В данном случае для функции (55.99) имеем /'(я) = ,'! — = — !п (1 — =) = 1п — —, ! = ! < 1. л=1 67 Заметив, что е1 =соя х+1япх, преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, следующим образом: 1 1 ! 1 — е* (1 — соех) — 151пх, х х х 251П вЂ” 215!о — сое— 2 2 1 1 ! /.

х . х1 ( ЯП'-+1СО5 — ' 1= х 2 2$1П— 2 х х х 2яп — 5!о — !со!в 2 СО5 — — — + 1ЯП 2ип— 2 (55.105) Из неравенства 0<х<2я следует, во-первых, что 0«-я, а Х и п х л поэтому япь>0, и, во-вторых, что — -«- — — — - —; следовательно, 2 ' 2 2 2 2' = —, ага,=, 0<х<2я. (55.106) 251П— 2 Таким образом, 1 1 . 1 х .и — х 1п о=1п +!агя —, = — !п2яп — +! ! — е1 1 — е'* 1 — е1* !55.1оея 2 2 Из (55.105) и (55.106) имеем и(х)+ ко(х) = — )п 2яп '-+ !' ! 5 5. 1 04) 2 2 Отсюда сразу находится сумма ряда (55.102): ,'1" ' =и(х)= — 1п2яп —, х~2ят, т=О, +1, +2, и Заметим, что заодно мы доказали, что 2 — =о(х)= — ', 0<х<2я.

и 2 Это разложение было получено нами раньше другим способом (см. (55.30)). Следовательно, обозначая сумму ряда (55.102) через и(х), а сумму ряда (55.103) через о(х), получим при г=е!": и(х)+1П(х)=1п —, 0<х<2я. 1 В 56. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ббн. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ Пусть функция т' абсолютно интегрируема на всей действительной осн. Напишем для нее интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу н заменено интегрированием по некоторому параметру: +Ф (а(у) сох ху+ Ь(у) яп ху) Ыу, о (56.

1) где а(у) =- ) (1) сов у1 й, 1'(у)= — ./(1)з)пу1ап — а (56.2) (56.3) — йу ф)(сов 1усовху+яп1уяпху)й= х о — х — ау ) (1) соху(х — 1) й. (56.4) Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при определенных условиях равна самой функции, интеграл Фурье также представляет исходную функцию. Прежде чем это доказывать, докажем два вспомогательных утверждения. б9 Формулы (56.2) и (56.3) напоминают формулы для коэффициентов Фурье, Определение 1. Интеграл (56.1) называется интегралом Фурье функции 1.