kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 9

Теорема 13. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке ( — л, л], г( — л)=г(л) и пусть 1(х)- — '+ ',> а„сов их+ Ь„ян пх. л Если функция у' ку< очно-непрерывно дифференцируема на отрезке [ — л, л) (см. определение 1 в и. 30.2), то /'(х) ~> — па„янпх+пЬ„сов пх, т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой функции формальным почленным дифференцированием*'. Доказательство.

Пусть у'(х)- — '+ ,'> а,совах+(3„яппх. «=1 Тогда, замечая, что Г(л) = у ( — л), и интегрируя по частям, получим: и — Г'(1)й=-И )-Л- И=0. -е х я а„=- ~ 1'(у)совпуй=-Я)совпу~ +- Я~яппзй=пЬ„, л ~ й к — х п е п р„= — 1' (у) ян пгй =,1 (у) ян из — — Я~ сов тй = — па„, п=1, 2,,...

~Л Перейдем к изучению скорости скодимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций. Предварительно докажем лемму. *' При этом без каких-либо предполоэкений о еходимоети ряда Фурье производной. 54 ~ а„~ < — "„1Ь„~ < — '";, и = 1, 2, где е„)0 и ряд 2 аз сходится. ч=-1 Доказательство. Применяя последовательно теорему 13 Й раз, получим х ~"1(Х)- ,'~ анСОЗПХ+(3„яППХ, «-з где либо ц„=+п" а„, 13„=+и "Ь„, (55.67) либо сс„' +и'Ь„, (3„=+и "а„, причем, по неравенству Бесселя, я (55.68) у 2 1 (3 3 < (7 1а)( .))2 п=т — е (55.69) Положим а„= 7и„з+~~. В силу неравенства (55.69), ряд ,'> ез сходится.

а=1 Если справедливо (55.67), то ~ п„~ Уц „+ 11 „с„ ~1а ~= — "< — " и ль и" ц"' Аналогично, 16„1< — "„ /с=1, 2, и Мы гоаорнм, что некоюрая функция имеет кусочно-непрерывную проясненную на данном отрезке. если зта функция яаляется кусочно-непрерывно дифференцируемой функцией на указанном отрезке (см. определение ! в п. 3В,В). тем самым если функция имеет кусочно-непрерыаную производную на каком-то отрезке, то моясет случиться, что н конечном числе точек это~о отрезка она вовсе не имеет производной.

Например, функция з (.х1=1х~ на отрезке 1 — 1, 11 имеет кусочно-непрерывную произаодную. а и точке х=о не имеет производной. 55 Лемма 7. Пусть функция 7' имеет на отрезке ( — я, ц) непрерывные производные до порядка lс — 1 включительно и кусочно-непрерывную производнузо порядка 1с(1с>1) *1, причем л ( к ) з 1 л ( Я ) з 0 1 / с 1 тогда козффициенты Фурье функции ( удовлетворяют нера- венствам (Ях) — 5л (х; Т) ~ < — „", где 1пп 1)л=О ((т(л) . — числовая последовательность), а 5л(х; /)— л лл сумма Фурье порядка и функции Таким образом, можно сказать, что на отрезке ( — и, и) равномерно выполняется оценка Т(х) — 5л(х; Я=о и 1+~ Предварительно заметим, что если (ил) и <ол) -- последовательности неотрицательных чисел таких, что ,'! и~<+ос и 2.

о~<+аз, л=! то 2 илвл<Х~ 2 и~ 1 !! СЗ. л=1 л=1 Ч л=! (55. 70) Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходом из неравенства Коши---Шварца и ',! илол< ) ~„~.' ) ,'1„а.' Ри <ц со (см. п. 18.1 35.8*) л=1 л=1 л=1 Отметим, что неравенство (55.70) является частным случаем неравенства (35.33) из п. 35.8* при р=а=2. Доказательство теоремы 14. Пусть 1(х) — '+ 11 а сохтх+'о„з!птх, и! = 1 п 5л(Х<)+1апСОБтх+1!щз!П <ИХ По лемме, 56 Подобным же образом эта оценка получается и в случае (55.б8).

сз Теорема 14. Пусть функция Г имеет на отрезке ( — п, и) непрерывные производные до порядка 1< — 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка !< (к> 1), причем Т!!1( — и)=з!!1(и), /=О, 1, ..., 1< — 1.

Тогда ряд Фурье функции ( равномерно и абсолютно на всем отрезке ( — и, и) сходится к сомой функции у' и Е Еп лп"' ~т' (55 72) где а таковы, что ряд а ,'! Е" (55.73) т! Х 1Я Рис. 252 сходится. Применяя неравенства (55.70) и (55.72), оценим остаток гл(х) ряда (55.71): а а ~гл(х)~= 2 а соатх+Ь а(птх < !а !+!6 1< я .Пп! а=па! тппп1 !!! Ч т=лп! Ч п!=пп1 (55.74) Положим ь2 т.=л П 1 В силу сходимости ряда (55.60), имеем 1цп х„=О. л — а Далее заметим, что на отрезке [т — 1, ц1) (55.75) выполняется ! ! ! " 12х неравенство †„ < †„ (рис. 252) и, следовательно, †„< ~ Поэтому Л3 -!- а а х — '„= ~ п|=лп! и!=-пп1 и — 1 л Таким образом, из (55.74) вытекает оценка !гл(х))<2 ) Ч2Я !.„л (55.76) !г„(х)!< ~",а а(г ), а=1,. 2, и! ! 1л! 1/ при этом бесконечно малая 11„не зависит от точки х.

Положим, наконец, т!пап — — — - — х„; в силу (55.75), !Ип 1)л=О, 2 2 — ! Поэтому из неравенства (55.76) получаем Согласно следствию 4 из теоремы 4 и. 55.4, ряд (55.71) сходится к функции 7'(т); следовательно, г„(х)=Г(х) — 5„(х, 7) и, таким образом, равномерная сходимость ряда Фурье с указанной оценкой доказана. Его абсолютная сходимость также доказана, так как мы получили оценку (см.

(55.74)) !а !+!)з,„!< в — "-,, Ђ и=ч! л! ! из которой следует, что ряд Фурье функции 7 не только абсолютно сходится, но и что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, и даже, более того, ряд !а !+)(г ! 55.11. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В этом пункте покажем, что ряды Фурье можно почленно интегрировать. Теорема 15. Пугттгь 7' — непрерывгнгя на агпрезке ! — л, л) функция и — '+ 2 а„сох пк+(зи вгп п.х ь=! (55.77) сходится с той же «скоростью» — ",. ! л!' ! Теорема 14 показывает, что чем глаже функция 7', т. е, чем больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее ряд Фурье.

При этом неравенство (53.76) дает возможность оценивать погрешность, получающуюся при замене ряда Фурье его и-частичной суммой. Из этой теоремы следует, в частности при !с=1, что ряд Фурье всякой периодической периода 2л непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функции (см. п. 30.2) равномерно на всем периоде сходится к самой функции. Упражнения. 8. Будет ли ряд Фурье функции У(т)=!т!, — к<!<и, сходиться равномсрноз Будет ли равномерно сходиться ряд, полученный почленным дифференцированием ряда Фурье этой функции! 9. Показать, чзо ряд Фурье непрерывной периодической кусочно-линейной функции (определение кусочно-линейной функции см, в упражнении 6 в п.

!9.6) сходится к ней равномерно. 10. Используя результат прсдыдуп!его упражнения и результат упражнения 6 из п. !9.5, показать теорему 7 из п. 55.7 о равномерной аппроксимации непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. — ее ряд Фурье. Тогда "о~ Ь„ = — + 2. — "з(ппс+ — "(1 — созт) л=з (55.78) и ряд, стоящий справа, сходится равномерно. Отметим, что утверждение о сходимости (и даже равномерной) ряда (55.78) имеет место без каких-либо предположений о сходимости исходного ряда (55.77). Доказательство. Рассмотрим функцию ! Г(~) = Т(х) — —; с(х. (55.79) о Она непрерывна на отрезке [ — к, к], имеет на этом отрезке непрерывную производную Г'(г)=Я(() — — ' и и А„= — Г(1) соз п~й =- ГЯ а — — ~ ~ Т(с) — — ' ~ з1 и и1 сй = — — ", п = 1, 2, пк 1'1 2~ 2' Аналогично, В„= — ", и = 1, 2, и я Г(я) — Г( — я) = Ях) Ых — кае — — О.

Поэтому, в силу теоремы 14, ее ряд Фурье сходится к ней, и притом равномерно. Обозначим ее коэффициенты Фурье через А„, В„, п=1, 2, .... Тогда, в силу сказанного, ГЯ= — '+,'1 А„созпс+В„яппи (55.80) и=1 Найдем коэффициенты этого ряда, Интегрируя по частям, получим Чтобы найти А, положим в (55.80) !=О. Тогда, заметив, что Г(0)=0, получим « Ао Аи Ли — + ~ А«=0. откуда и 2 и и=! «=1 Итак, г (!) = ,'~ — "яп лу+ — "(! — соь и!). Ь„ П П п= 1 Отсюда и из (55.79) и следует формула (55.78); равномерная же сходимость ряда (55.65) следует из равномерной сходимости ряда (55.80).:! ип и Задача 37.

доказать, что сходящийся тригонометрический ряд ~ '— — нс Ыи явяяется рядом Фурье никакой абсолютно интегрируемой функции. О~метим, что если [ 1(х)ЫХ=О и. следовательно, ао=-О, то в результате почленного интегрирования ряда Фурье функции 1' снова получается ряд Фурье некоторой первообразной Е функции 1; а именно, как следует из доказанного. первообразной и Ь(х)=]1(!)й, о Для любой первообразной Ф непрерывной на отрезке [ — я, я] функции 1'справедлива формула Ньютона — Лейбница « Ф(я) — Ф( — я)= ) Дх)11Х, поэтому условие ) 1(х) 11Х= О равносильно тому, что все первообразные функции 1 принимают на концах отрезка [ — я, к] одинаковые значения.

Рассмотрим более подробно вопрос о первообразных функции 1' в этом случае. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке п [ — к, к] и ) 1(х)11Х=О; следовательно, .« 1 ~п ни соя пт+ь в!п их и= 1 Если Ф вЂ” какая-либо первообразпая функции 1; то так как она отличается от функции Г(!)=]1(т)11Х лишь на постоянную, о ьв то ее ряд Фурье отличается от ряда Фурье функции только на постоянную. Согласно доказанному, Е(!) = ,'! — л+ 2 —" 51ПЛ! — — лСО5ЛЦ 155.751 л л л л=1 л ! следовательно, ряд Фурье функции Ф имеет вид Ь„ <+ ,'1„— "5)пл! — — "соыа, л=1" л т. е.

получается формальным интегрированием (в смысле неопределенного интеграла) из ряда (55.81), причем так как Ф( — я)=Ф(п) и производная Ф'(х)=г(х) непрерывна на отрезке [ — я,я),то Ф(х) = с + ,"! — л гйп и! — —" сов пд — я < х < к. (55.82) ь„ л л Для определения постоянной с.

в зтом равенстве выбирают какое-либо значение х, при котором удается найти сумму стоящего в правой части равенства (55.82) ряда. Теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании рядов Фурье помогают находить разложение в ряд Фурье функции, если известно разложение в ряд Фурье ее первообразной или производной. Пример. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию Г(х)=1п(1+2гсозх+г5), [г[<1. Так как при [г[<1 справедливо неравенство (см.