kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 7

Зафиксируем точку х~[ — я, я| н зададим произвольное с > О. Имеем Ф„(Ь) /Дх) — )'(х+ г) ~ й <™) Ф„(г) й < Ь Ь < — Ф„(Ь) й=- . ЗЬ ) " 3 (55.53) ~( (х) ! < М. Следовательно, для любого х иИ: < — Ф„(г) Ях) — 1(х+ ь) | й < — Ф„(г) ~ Д~'(х) ~+ ~,г(х+ ь) ~ ~ й < Ь Ь к к < — Ф„(Ь) й < — шах Ф„(г) й = 2М 2М Ь<г < гпах Ф„(г)<2М шах Ф„(ь). 2М(л — Б) Ь Ь<с<< ьч~к< Согласно следствию из леммы 6, правая часть полученного неравенства стремится к нулю нри п-:о, поэтому существует такое пе, что при всех п>ле выполняется неравенство — "Ф„(г) Ях) — 1'(х+ ь) ! й <- . л / 3' Ь (55.54) Аналогично, для любого х в)ь' и всех п>п„: (55.55) Из (55.52), (55.53), (55.54) и (55.55) для произвольного х нЯ и всех п>пв имеем ~/'(х) — о„(х) ( <-+-+-= а з з з Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция г' ограничена на всей числовой прямой, т.

е. существует такая постоянная М>0, что для всех х а)ь имеет место неравенство и так как выбор номера и не зависит от выбора точки .т~) — х, к1, то последовательность (пя) сходитсЯ Равномерно на всей числовой оси Я к функции (::3 Доказательство следствия 1. Всякий сходящийся ряд суммируется методом средних арифметических к своей сумме см. и. 34.15). Поэтому если ряд Фурье непрерывной на отрезке — к, к)' функции, принимающей на его концах одинаковые значения. сходится в некоторой точке к какому-то числу А, то предел последовательности средних арифметических частичных сумм. т. е.

сумм Фейера, также равен А: если 11гп В„(хс; г')=А. то 1пп оя (х ) = А. Но, согласно доказанной теореме, !пп о„(х )=1(х ); следовательно, и 1пп В„(хс; 1)=/(хо). (:.) и Подчеркнем, что ряд Фурье функции, непрерывной на отрезке ) — я, я) и принимающей на его концах одинаковые значения, может расходиться в ряде точек. Однако, согласно доказанному, если он сходится в некоторой точке, то обязательно к значению самой функции в этой точке.

Доказательство следствия 2. Если функция т' непрерывна на отрезке 1 — к, к1, принимае~ одинаковые значения на его концах и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то и ее суммы Фурье всех порядков тождественно равны нулю, а тогда тождественно равны нулю и все суммы Фейера функции т. Эти функции равномерно сходятся к Г", поэтому и сама функция т' тождественно равна нулю. ) В заключение заметим, что для непрерывной на отрезке функции. принимающей на его концах одинаковые значения, ряд Фурье, независимо от его сходимости или расходимости в о~дельных точках, позволяе~ однозначно восстановить указанную функцию; достаточно образовать из его частичных сумм суммы Фейера -- их последовательность уже сходится, и притом равномерно, к самой функции.

Таким образом, даже изучение расходягцегося ряда может оказаться полезным. 55Л. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОРОЧЛЕНАМИ Определение 1О. Функции вида — "+ "> А, соя кх+ В, 5!п )сх, А„'+ В~ ~О, а=1 называетел пгригонометрическими многочленами (полиномоми) стелс'ии и, п=О, 1, 2,... *'.

"' Зассь считается, что да=о. Теорема 7 (георема Вейерштрасса). Если функс/ия / непрерывна гт опсрезке ( — л, л) и /( — л) =/'(л), то дггя каждого чивли е>0 существует тикай тригоно.иетричес:кий гипогоч;теп Т(х), ипо !/(х) — Т(х)!<е, — л<х<л. Доказательство.

Очевидно, что все частные суммы Фурье, а следовательно, и суммы Фейера абсолютно интегрируемых на отрезке ( — л, л) функций являются три«онометрическими многочленами. Поэтому в качестве искомого тригонометрического полинома Т(х) можно взять, например, соответствующую сумму Фейера о„(х), являющуюся, очевидно, тригонометрическим полиномом порядка не выше и. Теорема 8 (теорема Вейерштрасса). Если фугскс/сгя / пепрерывгги па оггсрезке ~сг, /г), гпо дяя каждого е>0 еущссетвуепг иягебраичеслий эаигготеп Р(х) такой, что ~ /(.х) — Р(х) ~ < г,.

а < х </г. Дока затея ьс гво. Отобразим отрезок (О, л| линейно на отрезок ~а, /г): Ь-а к=а+ — — с, 0<с<л, и<.х </г, х Гг-а и пусть /'*(г) =/ а+ — — г). Функция /* определена этой ормулой на )О, л). Продолжим ее четным образом иа о~резок — л, 01, т. е. положим /'*(с) =/*( — с), если с а(' — л, О). Полученная таким образом функция /4 непрерывна на ) — л, л) (почему?) и /" ( — л)=/'"( — л). Поэтому, согласно теореме 7, для любого числа с>0 существует тригонометрический полинам Т(г) такой, что Как мы знаем, соз/сс и гйпкс, к=), 2...

а поэтому, и тригонометрический полипом Т(г) являются аналитическими функциями и поэтому разлагаются в степенные ряды, сходящиеся на всей действительной прямой и„следовательно, равномерно сходящиеся на каждом конечном отрезке (см. з 37): Т(г) = ,'~ есг". с=в 45 Если Р„(Е) суть частичные суммы этого ряда, то, в силу его равномерной сходимости на отрезке (-к, к1, существует такой номер л„что при ее>л, ! Т(Е) Рп(Е)!» Беря для определенности л=л,+1 и полагая Р(Е)=Р„„(Е), имеем / Е'(е) — Р(е) !~((Е '(е) — Т(е) /+/ е Я вЂ” Р(е) / < — + — < в.

2 2 х — а Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая е=к', получим Ь вЂ” а е(х) — Р я <а, ее<х<Ь 1 Ь вЂ” и/ х — и где Р~ к'— (- — очевидно, многочлен. Е1 Ь вЂ” а( Замечание. Пусть функция Е' непрерывна на отрезке '(и, Ь1. Возьмем какую-либо последовательность чисел а„>0, л=1, 2, ..., стремящуюся к нулю например, в„=- ~; тогда, л~ согласно теореме 8, для каждого л = 1, 2, ... существует многочлен Р„(х) (здесь ег порядковый номер, а не степень многочлена) такой, что (Дх) — Р„(х))<а„, а<х<Ь. (55.5б) Очевидно, при л- со имеем Р„(х)- Ях) на отрезке 1а, ЬЗ.

Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является пределом равномерно сходящейся на этом отрезке последовательности многочленов. Обратное, г. е. что всякая функция, являющаяся пределом равномерно сходящейся на некотором отрезке последовательности многочленов (и, более того, последовательности любых непрерывных функций), непрерывна на этом отрезке, уже доказано (см.

теорему 8' в п. Зб.4). Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает характеристическое свойство непрерывных и только непрерывных функций. Весьма любопытно отметить, что первоначально понятие непрерывности функции было введено нами в абстрактной общей форме, оно никак не было связано с конкретными классами элементарных функций, в частности — с многочленами, и тем самым ни с какими аналитическими представлениями функций через многочлены.

4б Теорема Вейерштрасса показывает. что введенный таким образом класс непрерывных функций в известном смысле не очень далек от класса мпогочленов! Именно, какова бы ни была непрерывная на отрезке функция 7' и как мало бы ни было заранее заданное число е > О, всегда существует многочлен, отличающийся на всем отрезке от функции 7 не более чем на г, т. е. аппроксимирующий (приближаигщий) ее с любой, наперед заданной степенью точности! Нетрудно получить и аналитическое представление в виде ряда многочленов для непрерывной на отрезке функции. Из (55.56) имеем 7'(х)= (пп Р„(м), а<.х<6, (55.57) или 7'(м) = Р, (.х)+ „'г ~Р„, г (м) — Р„(м) ~ (55.58) "г (Р„(х)- мпогочлены), причем стремление к прелелу в (55,57) и сходимость ряда (55.58) происхоляг равномерно на отрезке (а, гг1.

При этом, как существование предела (55.57), так и существование разложения (55.58) являются необходимым и достагочным условием непрерывности функции 7'на рассматриваемом отрезке. Эго оправдывает интуитивное представление о функции как об аналитическом выражении, составленном из независимой переменной и постоянных посредством алгебраических и аналитических операций. Аналогичные замечания можно сделать и по поводу первой теоремы Вейершт.расса (теорема 7). 55.8. ИОлнОтА тРиеОнОметРинескОЙ системы И СИСТЕМЫ г!ЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ СТЕПЕггЕЙ х В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ В этом пункте мы перефразируем доказанные выше теоремы и выведем из них некоторые простые следствия. Определение 11, Рууспгь Х вЂ” некоторое Агггггзкествгг функгггггг, определенным на отрезке (а, гг).

Гиггпелга фуггкний 'Рг 'Рг " 'Р (55. 59) называепгся полной для .ггггоэкеггпвгг Х в сэиысле равнггмерноео ггрибггггнсеггггя, если, какова бы ни оыла г(гуггкг(ггя ) и. Х, дл,ч ксыкдого г > О сУщеспгвУет такое коггечное число г1гУггкг(ий грг и гр„„, ..., гр„г ггз систелгы (55.46) и гпакие числа ).г, ).г, ..., ).г, чпггг (7(м) ~хггР г (м)+) ггРпг (х)+."+)ггР г(м) з з~ <а для всем м -'(а.

(г). 47 Иначе говоря, система функций (55.46) образует полную систему для множества Х, если любую функцию из Х можно сколь уголно точно приблизить конечными линейными комбинациями функций системы (55.59). Используя понятие полноты системы, теоремы 7 и 8 предыдущего параграфа можно перефразировать соответственно следующим образом. Теорема 7'. Система тригонометрических функций (55.2) полна, в с лгысле равномерного приближения, для многлсества >гепрерывных на отрезке [ — п, и)' функций, при>>иман>щих на его ко>щах равные значения, Теорема 8'.