kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 5

Вычислим ее коэффиниенты Фурье. Коэффициент ае находится легко: к ! зьх л 25ья па = — ~ сн хг1х =— я к х я — и Коэффициенты а„находятся интегрированием по частям (см. и. 26.4): а„= — ~ с1з хсоап.тИх=( — 1)" —,, п=1, 2, 2вья я ~ п(1;-и'1 Из четности функции сн х следует, что для нее Ь„=О, и=1, 2, .... Функция со х непрерывно дифференцируема и, следовательно, удовлетворяет условиям следствия 4 из теоремы 4; кроме того, она принимает одинаковые значения на концах отрезка ( — и, и), поэтому ее ряд Фурье во всех точках отрезка ( — и, и) сходится к самой функции Этот ряд сходится равномерно, что следует из его сравнения со 1 сходящимся числовым рядом и=О 1 п Графики функции с1г х и суммы 5 (х) его ряда Фурье изображены на рис.

248. Рис. 248 2. Найдем ряд Фурье функции з11 х,— и<и<и, В силу ее нечетности, имеем а„=О, гг=О, 1. 2, ...; далее, и Ь„= — я1г х ып лх Их = ( — !)",, л = 1, 2, .... 1 . „г 2ппкп , (1+п г) п Функция з11 х непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям следствия 4 из теоремы 4, но я11( — и)~з11 и; поэтому во всех точках интервала ( — и, и) ряд Фурье функции з11 х сходится к самой функции: х 2БЬп и г п з1гх= 2 ( — 1)" пыппх, — и<х<и, и =г 14п л — г пь 1 — и) 4-гь и а в точках х= — и и х=и — к значению =О. 2 Ряд Фурье функции а1г х уже не сходится равномерно к ней на всем отрезке ( — и, и) (действительно, в противном случае его 29 сумма должна была бы быть непрерывной на отрезке ( — я, я3, а она имеет разрывы на его концах).

Графики функций з)!х и суммы о(.х) ее ряда Фурье для сравнения изображены на рис, 249, 3. Разложим в ряд Фурье функцию «(х)=, 0<х<2я. Хотя функция « выглядит несколько искусственно, ее ряд Фурье имеет очень простой вид и позволяет получить ряд интересных формул.

Продолжим функцию «2я-периодически с полуинтервала [О, 2я) на всю числовую ось и переопределим ее значения в точках х=21ся,положив их равными нулю, 1=0, +1, +2,... В результате получится нечетная функция, в силу чего все ее коэффициенты Фурье ап будут равными нулю; а„= О, п = О, 1, 2, .... Вычислим коэффициенты Ь„. Интегрируя по частям, получим ги ги 1 Гх-к 1 соииск " ! 1 Ь„= — 1, а(ппхгг'.х= — — (я — и) — — — ~ созпхг!х= —.

и 2 2и п !„2ии ~ и Итак, и — к ~ яиих 2 и (55.29) В силу следствия 4 теоремы 4 для 0<к<2я имеет место равенство 2 ~~ п (55.30) и= ! При х=О это равенство, очевидно, несправедливо, так как сумма получившегося ряда при х=О равна нулю, а «(0)ФО. Графиксуммы ряда(55.29) изображен на рис. 250. Заметим, что у этот рядзаведомонесходится равномерно на отрезке (О, 2я3, так как его сумма не является на нем 'ь7я - я я' 3 у непрерывной функцией (равномерная сходимость ряда (55.29) была исследована в п. 36.3). 30 Заменив в (55.30) х через 2х и деля обе части получившегося равенства на 2, получим л л лл ао2Ьл — — — — —, 0<х<л. 4 2 2/с Вычтем это равенство из (55.30) л ~- ял(2А.— !)л — = 7 — —, 0<х<я.

4 2л — ! (55.32) Подставив получившееся выражение для — в (55.31), полу- 4 чим х=2 2' ( — 1)" и=! и (55.33) Это равенство верно уже и при х=О, а в силу нечетности обеих чартей равенства и при — я < х < О, т. е. на всем интервале ( — л, л), нд„конечно, не на его концах, в которых сумма ряда равна нулю. Отметим еще, что, положив в (55.32) х= —, получим так называемый ряд Лейбница — =1 — — + — — — +..., 4 3 5 7 который нам уже встречался раньше (см.

п. 37.7, пример 2). 4. Разложим в ряд Фурье периодическую периода 2л функцию 7'; если )(х)=х при !х)<л. Заданная функция нечетная, поэтому ее коэффициенты Фурье при косинусах равны нулю, а для коэффициентов при синусах имеем Поэтому г'(х)=2 ~ ( — 1)"+' . !х!<л и=! (5534) (выше, см. (55ЗЗ), это разложение было получено косвенным путем). 5. Разложим в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию 3! и !!„= — х ейп лх дх =— л 1 о и — ~ хс/солих= — ' =, и=1, 2, 2 Г ловли ( — !)"'' ли и и о г'(х)=!и 2 сов'-, хтп(2т+1)я, т=О, т1, +2, ...

Эта функция четная, поэтому Ь„=О, л=1„2, ао = — ~ 1п ~2 соа 2) п1х= — 1и ~2 сов'-) ко+ — ~ 1и ~2 сов-) к1х о о (так как сов — >О прн О<х<я, то знак абсолютной величины 2 сов — ' можно не писать). 2 СдЕЛаВ ВО ВтОрОМ ИитЕ1раЛЕ ЗаМЕНу ПсрЕМЕННОГО Хг Н вЂ” б убедимся, что ао=О. Для вычисления коэффициентов икп л=1, 2, ..., произведем интегрирование по частям и сделаем . замену переменного х< я — и и 2 ! хкк япох п а„= — ! !п ~2 сов — ') сов пх ккх = — 1и ( 2 сов — ') + и ~ (к 2) и (к 2) л О о л х и пып пхяп -„- 1' яп пх сок— + — ~ — — зк/х=( — 1)" ' ~ к1х. пп х х со5— яп— о о Представив подынтегральную функцию в виде суммы яп лх сол — яп ~п+ — ) .к яп ~п — — ~ 2 ( 2) ( 2) + х 2яп— 2 2ып— 2 .к яп-- и использовав для вычисления интеграла от каждого слагаемого тождества (см.

гождество (55.15) в п. 55.3) будем иметь 32 (,) яп пк — х л =--+ ',1 соках, х к=1 2яп— 2 (,)., 1') ып п- — ~х = — + ,'~ сов/сх, х 2 2яп— 2 а =( ), п=1,2, л л и, таким образом, 1(2 — )=~( — Ц' 22 л=1 (5535) на окружности ~4=1 сводится к рядам Фурье своей действительной и мнимой части. Действительно, при ~г~ = 1 имеем з=е'л, 2"=е'"л=совл<р+1япар, и если а„=Ь„+)с„, то алел= 2 (Ь„+к„)(совпер+1япл~р)лл 2 (Ьлсовлх — с„ыпгпр)+ лга га л= О +1 „'~ (гл сов л<р+Ь„яп л<р) . Лг 0 6. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию 1-~-2 геолх";г (55.36) Эта функция непрерывна при любом ге( — 1, 1), так как ее знаменатель не обращается в нуль: 1+2 г сов х+г л) 1 — 2 ~г~ )сов х~ +г~) 1 — 2 ~г) +ге= =(1 !г!)2>0 Сделав в (55.36) подстановку е' -~-е '" 1 Ч! соах= 2 21 где (55.38) 33 Метод нахождения ряда Фурье заданной функции непосредственным вычислением его коэффициентов приводит иногда к необходимости проведения большого объема сложных вычислений.

Иногда удается обойти эти затруднения, сведя задачу о разложении функции в ряд Фурье функций к задаче разложения функции в степенной ряд, и воспользоваться для этого разработанной в теории степенных рядов техникой. В основе этого лежит то обстоятельство, что степенной ряд ал2" лг В будем иметь ясов.к с';2гс->1 с(с гг) + ((чгс) ! ( с ! + 1-ь 2 сов х е 2 (г с ' в- (1 + ) с + ~) 2 (с 4 г) (1+ с) 2 ! 1+ с (5539) Так как (с( = (е'"~=1, а (г(<1, то по формуле для суммы (55 Зв) бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим с 1 гс ! — = — — = — ~„( — 1)" (г 1)", 1ьгс г 1ьгс г л=! и, следовательно, / Ж гл """' —, =,— ( Ьг ( — И' ' —.

г Х ( — сГ ' " ! ) = 1Ь2 гсов хьг'(!!!в(2 г = — ~ ( — 1)л ' гл = — ,'! ( — 1)л 'глсових. (55.40) л=! (и,зв! " „= ! Полученный ряд равномерно сходится, например, по признаку Вейерп(трасса. ибо (( — 1)л ' г" сових(<(г~", а ряд ',! (г(", л=! (г(<1, сходится. Следовательно, ряд (55.40) является рядом Фурье заданной функции 7' (см. теорему 1 в п. 55.1). 7. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию ! -г 2 г сов.к -г г с ' Снова использовав формулы Эйлера, сделаем подстановку: с*(г — о с +1 гь л — с» св 1 созх= , гйп= 2с 2с' 2(с где с=ес".

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, полу- чим г( с 1) (!+ ) ( гяп х 1+2гсовх-(-г' 2с(с-(-г)(1-(-гс) 2((с+г)(1-(-гс) 34 = ~ ( — 1)" ' г"= ,'1 ( — 1)" 'г" ейпх. (55.41) 4=1 21 л=! 8. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию Г(х)=агс!8 '"'", — 1<г<1, 1+г сот х 2 г ( г-1-со5 х + — 1, ' ' —,сох пхдх ля ~ 1-1-2 1'с05 х-1-Г 1н 451 о л =:~ ,"5 ( — 1)" ' г" соа|схсохпхгтх= ЛЛ о 2 (-)- = — ,'1 ( — 1)" ' г'~ со51схсо511хдл= Л Л1=1 Л о Таким образом, если !г!<1, то Г51ПХ „Вп л.т агс!8 — — '= „'1 ( — 1)" г" — '.

1+гсотх Если же г=1, но х~(8ьч+1)к, лг=О, ~1, +2... го агс!8 = агс!8 = агс!8 !8 — '= — = ',1 ( — 1)" 1.1-ГС05Х вЂ” 1 1-1.СО5Х 2 (55341л=1 (55.42) т. е. разложение (55.42) остается верным и при г=1. 55.5*. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮВ1ИХ УСЛОВИЮ 5 ЕЛЬДЕРА В этом пункте мы укажем более слабое достаточное условие, чем условие односторонней дифференцируемости (см.

след- причем при г=1 выполняется неравенство х~(2гп+!) я, т=О, +1, +2,.... Функция г" нечетная, следовательно, ее коэффициенты Фурье при косинусах равны нулю. Вычислим ее коэффициенты Фурье при синусах в случае, когда !г!<1. Интегрируя по частям, получим 2 (/ гйпх 2соллт гяп.т л ܄— ~ ~агс!8 ) ейп >гх дх = — агс!8 + 1+г сот х) ЛЛ 1ог сот.т О о стане 2 теоремы 4 в п. 55.4), также обеспечивающее сходимость интеграла (55.25) и, следовательно, сходимость ряда Фурье 2к-периодической абсолютно интегрируемой на отрезке длины, равной периоду, функции г к значению (55.2б).