kudryavtsev3a (947417), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Определение 9. Функция Э'; опреде:генния ни инпгервиле (л„, о), низывастся функцией, удовлетворяющей справи условщо Гельдери стеггени и в пючке хы если существуют конечпьгй правосторонний предел((х„+0) и такие ггостоянные М>0 и б > О, что для:иобоео 1г, гдовлетворянгщесо условию 0<Ь<6, вытглняется неравенство У(хо+юг) — г (хо+ О)$ < Мlг ". (55.43) Функция г'; определенная на интервале (а„хг,), называется функцией, удовлетворяющей г'лева условию Гальдера ггпепени з в пгочке х, если сгчцествуют конечный левосторонннй прг дел /(хв — 0) и такие погтнотагые М>0 и б>0, что для ггннгоео Ь, удав.гетворяющеео условию 0 < 6 <б, выполн.чется неривенство Ф:.-й) —.Г(х.-О)$< Мй".
(55.44) Функция Э', удав;гетвор.чющия в точке хв условию г'ецгьдера ггг которой степени как справа, тик и слева, назывиется функцией, удггвггегггворяигщей условщо Гельдера данной степени в рассматриваемой гпочке. Функция, определенная на некотором отрезке, называешься функцией, удовлетворяющей условию Гельдера данной степени на этом отрезке, если в каждой его точке она удовлетворяет условию Гельдера указанной степени, причем в каждой внутренней точке отрезка как справа, так и слева: в левом конце отрезка — справа, а в правом -- слева. Отметим, что так называемое классическое условие Гельдера данной степени состоит в следуюшем.
Функция г' называется уоовлепгворяющей в точке .х классическому условию Гельдера степени а>0, если существуют такие б>0 и М>0, что для всех гг, $ЭЭ$<б. выполняется неравенство $ ~'(х+ гг) — Дх)$ < М (гг $". Очевидно, что в этом случае благодаря условию сг>0 функция г всегда непрерывна в точке .ж из )пп п=О и и>0 следует, что 6 О )пп Э(т+й) =г (х). lг О Аналогично определяются односторонние классические условия Гельдера. Таким образом„ отличие рассматриваемого условия Гельдера от классического состоит, в частности, в том, что, согласно нашему определению, функция. удовлетворяющая условию Гельдера в некоторой точке, может быть разрывной в ней. Условие Гельдера степени единица обычно называется условием Пипгиицавг.
Упражнения. 4. Доказать. что если функцив удовлетворяет в некоторой точке условию Гельдера степени ц, то при 0<(3<з она удовлетворяет в твой точке и условию Гельдера степени )3. 8. Доказать, что если функция имеет на отрезке ограниченную производную, то она удовлетворяет на нем условию Лнпшнца с одной и той;ке постоянной М. 6. Доказать, что если функция удовдетворяет нв некотором отрезке классическому условию Гельдерн степени з > 1, то она постоянна на .лом отрезке. 7. Доказать, что функция /(х)=х*. х>0, О<а<1, удовлетворяет в точке т=О условию Гельдера степени з и не удовтетворяет в ней никакому условию Гельдера степени 13 >се Теорема 5.
Пусть функция /' абсо.гюгггно интегрируема на отрезке ( — и, п~). Если она удовлегпворяепг в точке .хн( — и, к) условшо Гельдерн степени а, а>0, пго ее ряд Фурье сходится в эпгой точке и его сумма ривна /'(.--;О) ь/(..— О) '! и чигтности, если функция, кроме пгого, непрерьгвна в точке хн( — и, и), то ее ряд Фурье сходигпся к значению функции в этой точке: )ггп 5„(х: ~) =/(х). я т Ег;ш функция /' удовлетворяет условию Гельдера сприва в пючкс х= — я и с,гева в точке х=п, то ге ряд Фурье сходится в этих пнгчких и его сумма в них равна /'( — я) ч-Ф~) 2 Доказательство. Выберем б, 0<0<к, так, чтобы вопервых, на любом отрезке [с, б), 0<а <б, функция /„*(/), а /.'(!) поэтому и — ", были интегрируемы по Риману, а во-вторых, г* чтобы при всех /г, )/г(<б, функция /' удовлетворяла условиям Гельдера (55.43) и (55.44) в точке .х.
Тогда, в силу формулы (55.24), для функции /'„в(/) будем иметь /р(!) Т(хе!) — /(хеО) /(х — !) -/(г — О)) 2м 1 (з з ввез) ! -* ' ) л! Так как интеграл 3 , , и>0, сходится, го в силу признака о " Р Липшиц 11832 — 19031- немецкий матема гик сравнения сходится в нашем случае и интеграл (55.25).
Поэтому теорема 5 следует из теоремы 4. Г) В заключение заметим, что если функция Г в точке х имеет правостороннюю производную Г"„то Г" удовлетворяет в этой точке справа условию Гельдера степени 1. В самом деле, из существования конечного предела 1(х+ Ь) — Г(х ч-О) !пп ' ' =г" (х) Ь 0 Ь следует, что найдется такое б >О, что для всех )г, )гз) <б, будет справедливым неравенство Г(хЬЬ) — у(х+О) х$ег откуда, положив М = ))' ', (х)) +1, получим Г(х "; Ь) — ф(х ч-О) Ь следовательно, [г'[х+Ь) — г [х+О)) <М)гт), ))з) <б. Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для левосторонних производных. Задача 36.
Функция Г, определенная на отрезке [и, Ь), называется функцией «ласси Гельдерн Н'(М) на атом отрезке, если для каждои пары точек х и х+Ь этого отрезка, хн(и, Ь), хч-йм[и, Ь), выполняется неравенство )Г(. +Ь)-ф(.т)1<М)Ь)", иначе говоря, если функция Г удовлетворяет классическому условию Гельдера одной и той жс степени ц и с одной и той же постоянной М во всех точках отрезка [а. Ь). Доказать, что если 2к-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке длины 2« функция приналлсжит на некотором отрезке [и, Ь1 классу Гельдера Н'(М), 0<а<1, М>0, то на всяком отрезке [а', Ь'1, содержащемся в интервале (и, Ь): 0<и<а'<Ь'<Ь<2я .
ряд Фурье функции ф сходится к ней равномерно. 55.6. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ МЕТОДОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ Пусть функция Г' абсолютно интег рируема на отрезке [ — к, я) и удовлетворяет условию Г( — к) =Г(я), а следовательно, 2ц-периодически продолжаема на всю вещественную ось. Пусть 5„(х) — - ее'суммы Фурье, а Р„(х) — ядра Дирихле, п=О, 1, 2, ... (см.
(55.11) и (55.12)). Рассмотрим средние арифметические: 50 (к) + 51 (х) -'; ... Л- 5„(х) о„(х)= ' л+1 Ф (т)= ' ' ' ' "' " гг=О ! 2 .... (55.45) л+! Сумма о„(х) называется суммой Фейера*' п-г.о порядка функции /; а Ф„(х) — яе)ром Фейера и-го порядка. Из формулы в 5л(х) = -- гО„(и) ((х+ и) е(и (см. (55.17) ) получаем и о„(х) = —, Ф„(и) Е (х+ и) ЕЕи. — п (55.4б) Ф„(0) = —. (55.47) в в — Ф„(Е) еЕЕ = — Ф„(Е) е(Е = 1.
к к) — г о (55.48) 3'. При Е~2ят, т=О, +1, +2, ..., справедлива формула гле' янг Ф„(Е) = 2(л+ )) яп', (55.49) Следствие 1. Ядро Фейера неотриг(агггелыгег при любом ИЛЕ Ф„(Е) >О. (55.50) *' Л. Фейер ()880-- )959) — венгерский мвгсмвтик. 39 Будем исследовать поведение сумм о„(х) при и со, т. е. рассмотрим суммирование ряда Фурье методом средних арифметических (см.
п. 34.15). Изучим прежде всего свойства ядра Фейера. Лемма 6. Ядра Фейера имегот следу!он(гее свойппва: 1"'. Они явля!отея непрерывны,ии, чепгными, 2я-ггериодичес.- кими функциями и 1пп пзах Ф» (() = О. » — я вк!»1<» (55.51) Доказательство леммы. Свойства 1" вытекают из соответствующих свойств ядер Дирихле, например Ф„(0) = — 2 х)„(0) = 2 /с+в 1 )и(и+1) ич-1 ~ и+1 + (и -~- 1) ~ 2 2 ~ 2 Свойство 2 также вытекает из соответствующего свойства ядра Дирихле; » "Ф„(()с(( = — ~ — ) 22„0)в!= ,'! 1=1.
" .1 1пк"Яи" ! и=о" ) " ! и=о Второе равенство (55.48) сразу следует из четности ядер Фейера. Докажем свойство 3'. Пусть (,-е2ят, т=О, +1, +2, ...; тогда 2 ! / » 2яп — яп)йч--) ! 1 2 ~, 2) — — — — ---- — - ,'1 1сов/с( — соя()с+!)()= 1 ».~-1 l »=о 4яп — 4(и+1)яп й=о 2 2 „»+1 п(п — — ! 1 -соп(и-1-1)! 2 ,! 4(и-~-!)яп - 2(ич-!)яп»- 2 2 Следствие 1 вытекает из формул (55.47) н (55.49). Докажем следствие 2. При любом 6, 0<6<я имеем 2 и!п' — =! 0 < !пах Ф (() = щах 2 (55 50! Ьп(~1<» 15Я»91 ь<!»1<» » ! 2 (и е 1) яп '— 2 1 < — — — -- —— 2 (и -1- 1) яп 2 2 40 Следствие 2.
При любом 6, 0<6<к, имеет место ра- венство Отсюда при л- сосразу сле- У дует (55.51). Б Примерный вид графика ядра Фейера изображен на рис. 251. Образно говоря, ядра Фейера представляют собой такие неотрицательные функции, «суп1ественныс значения» которых при возрастании л все больше гтг я — а хг гя х сосредоточиваются в окрест- и+~ ~+~ л+! »+ ности нуля в том смысле. что при любом 6, 0<6<к, их значения вне 6-окрестпости равномерно стремятся к нулю (см. (55.5!)), а интегралы от этих функций все время сохраняют постоянное значение (см. (55.48) ), к которому стремится интеграл по 6-окрестности нуля при 6-+О.
Подобные последовательности функций называются 6-последовательностями, и мы встретимся еше с ними в параграфе «Обобщенные функции» при изучении 6-функции Дирака. В этом пункте будем рассматривать только непрерывные на отрезке ( — я, к~( функции 1, принимающие на его концах равные значения: Г( — к) =2'(к). Очевидно, каждую такую функцию можно продолжить 2я-периодически с отрезка ( — л„к) на всю числовую ось И. Полученная функция, которую обозначим через г', будет непрерывна на всей оси )г.
Исходная функция т'. как всякая непрерывная на отрезке функция. ограничена„т. е. существует постоянная М > 0 такая. что !эггх)!<М, .т~~ — а, Я). Ясно, что тогда !)(х)!<М Н г. е, функция )' ограничена на всей оси Н. Кроме того, функция ( равномерно непрерывна на всей оси й. В самом деле. будучи непрерывной на любом конечном о~резке. например. на 10, 4к], она равномерно непрерывна на нем (см, теорему 5 в п.
19.6). Зто означает, что для .любого а>0 существует такое 6. 0<6<2а, что для всех х, и[0, 4к), х,~!О, 4я), !х,—.х,!<6, выполняется неравенство У (хг) .~ (х~) ! < а. Но для произвольных х', и «э таких„что ! х', — х', ! < 6. найдется целое число л, лля когорого л, "='-"х', — 2кп а(0, 4к). х,"=ах', — 2кл ~ ~~0. 4я) и поэтому !х — х, !=!х~ — л',!<6, а поскольку в силу 2я-периодичности ) (х,) =Дх', ), 1(х,) = /(х~), то 4! Ях) — сг„(х) ~ = — ' Ф„(г) сй — — Ф„(/) 1'(х+ ~) й = — п л ч Г ~ Ф„(1) [Дх) — ('(х+ г) ~ сй < — ~ Ф„(г) ! 1'(х) — 2"(х+ г) ! ей = =Ц '-Ы (55.52) где 6>0 выбрано так, что значение модуля непрерывности оз(б; 1) функции ~' удовлетворяет неравенству ю(б; 1)<-'. Это возможно, ибо функция (' равномерно непрерывна на всей числовой оси Н.
Поэ.гому для любого х нИ: /,г (хз ) — у(х', ) / = ),('(х ) — ях, ) / < с. Это и означает равномерную непрерывность функции У на всей числовой оси )г. В дальнейшем булем периодически продолженную функцию обозначать тем же символом г, что и продолжаемую. Теорема б (теорема Фейера). Если функция непрерывна на отрезке [ — л, я) и принимает на его концах равные значения, пю последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на эьпом отрезке к самой функции, Следствие 1.
Если ряд Фурье непрерывной на отрезке [ — к, яЗ функции, принилзающей на его концах равнгве значения, сходится в некоторой точке, гпо он сходится к значению функции в этой точке. Следствие 2. Если все коэффициенты Фурье функции, непрерывной на отрезке [ — к, л| и принииающей на его концах одинаковые значения, равны нулю, то само функция тождественно равна нулю на это.ч опгрезке. Доказательство. Пусть функция унепрерывна на о~резке [ — я, к) и Л вЂ” к)=з(я). Продолжим ее 2к-периодически на всю числовую ось 22. Оценим разность У(х) — о„(х) между функцией „Г и ее суммой Фейера о„, используя представление суммы Фейера в виде (55.4б) и свойства ядра Фейера, доказанные в лемме б и ее следствии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
