kudryavtsev3a (947417), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Л е м м а 1. Тригонометрическая система (55.2) обладает следующими свойствами: 1) интеграл по отрезку ( — к, к) от произведения двух разлссчнвсх функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство называется ортогоналвиоствю*' системы (55.2)), т.

е. л ) сов лх созтх йх=О, лФ.т, )" кт пх яп тх с(х = О, и ~ т, — « Аналогично доказываются и два других равенства (55.3). Докажем теперь (55.4): к к ) сов!ах с(х=- ) (1+соз2пх)с(х=п, 2 л й ) ыпэпх а!х=- ) (1 — сов 2пх)дх=я. Н вЂ” к 2 Н Т е о р е м и 1. Пусть ~(х) = — '+ 2 а„совах+о„а!и пх л=! (55.5) и ряд, стоян1ий в правой чисти этого ривенства, сходится равномерно на отрезке [ — я, я).

Тогда ав =- ) ) (х) с1х, а„=- ) Ях)совпхс)х, Ь„=- ) /(х)в!ппхс(х, п=1, 2, ....(55.6) 1 1 в в Н П Отсюда следует первая из формул (55.6). Если ряд (55.5) почленно помножи ! ь на сов пх и ып пх (п=1, 2, ...), то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке ( — я, л) (см. свойство 2' в п. 36.3) Интегрируя почленно этй ряды и используя свойство ортогональности (55.3) тригонометрической системы и равенства (55.4), будем иметь ) 1(х) созпхсгх= ( а„соззпхах=пи„, Л вЂ” к и л ) /(х)в!ппхс1х= ) Ь„ып~пхдх=яд„. Доказательство. Поскольку ряд, стоящий в правой части равенства (55.5), сходится равномерно на отрезке ( — и, и), а все его члены являются непрерывными на этом отрезке функциями, то и его сумма у(х) непрерывна на о~резке ( — и, к), а сам 'ряд можно почленно интегрировать (см.

и. 36.4) от — я до га 1!1,)! =1('-;~г ц -*!-!.б"*)!*- — и — я' и=! й м. и Я = — ' ( с(х+ ,'! а„) совах~И+6„( в!ппх~Ьг див. — к и=! — и — й Из полученных соотношений непосредственно вытекают формулы (55.б). П Теперь заметим, что интегралы (55.б) имеют смысл не только для функций, непрерывных на отрезке [ — к, к1, а также, например, и для функций, интегралы ог которых абсолютно сходятся на этом отрезке. Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла (как и просто сходящегося интеграла) было введено для функций, определенных на некотором промежутке с концами а и Б, — х<а<Б<+со, для которых существует такое конечное множество точек х,, 1=-0, 1, ..., к, а < хо<х, « ...х, <Б, что функция у интегрируема по Риману на любом отрезке [с, т)~, лежащем в заданном промежутке и не содержащем ни одной из точек хо, х,, ..., х„.

При этом если а= — со, то х,= — со, а если Б=+со, то х„=+со. Всякое конечное множество ~очек хе 1=0, 1, ..., )с, обла- дающее указанными выше свойствами, будем называть лра- вильным разбиением промежутка интегрирования функции Очевидно, что если к правильному разбиению рассматривае- мого промежутка добавить любое конечное множество то- чек, являющихся внутренними или концевыми точками этого промежутка, и расположить точки получившегося множест- ва в порядке возрастания, то получится снова правильное разбиение.

~0 ь х, Если все интегралы ) у'(х)бх, (Г'(х)с1х, ) )'(х)с1х, 1=1, 2, ... а ь ..., к, сходятся, то можно определить интеграл )Дх)ах. Он определяется равенством ь хь ь ч ь )'у'(х)ах ~=" )' 1'(х)дх+ ~ ( Ях)йх+ ()(х)с)х О а 1=1 гч '-1 "а и называется сходящимся интегралом. ь Отметим, что значение интеграла )у(х)ах не зависит от Р выбора правильного разбиения промежутка интегрирования. ь ь Если сходится интеграл ) 'Гг'(х)~ с1х, то интеграл ) з'(х) с)х а а также сходится и называется абсолютно сходящимся (см.

п. 33.5), а функция 1' — абсолютно интегрируемой на рассматривае- мом промежутке. Отметим, что если функция интегрируема по Риману на некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интег- рируема по Риману на нем (см. и. 28.1) и, следовательно, функция, интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно иитегрируема на нем. Если интеграл от функции )' абсолютно сходится на отрезке '( — п, к), то для нее все интегралы (55.б) также сходятся, так как они представляют собой интегралы от произведения абсолютно интегрируемой функции Т(х) на ограниченную (синус или косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся (см.

лемму 2 в п. 33.5). Определение 3. Пусть функция )'абсолютно интегрируема на отрезке 1 — и, к). Тригонометрический ряд (55.1), коэффициенты которого задаются формулами (55.6), называется рядом Фурье*' или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа а„и б„— коэффициентами Фурье функции ).

В этом случае пишут у (х) '+ ~з а„соа пх+Ь„ат пх. 2 Частичные суммы порядка п этого ряда будем обозначать через о„(х, у ) или, короче, о„(х) и называть суммами Фурье порядка и функции у. Подчеркнем, что здесь знак - обозначает не асимптотическое ранено~во, а просто соответствие: функции сопоставляется ее ряд Фурье. Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следующим образом: всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Упражнения. 1.

Пусть функция г абсолютно интегрируема на отрезке (-к, а) и пусть у(х) -„з+ 2, а„созагььсйоах. Тогда если функция Т вЂ” четная, то Ь„=О, л= 1, 2, ..., если жс у" †нечетн функция, то а„=О, л=О, 1, 2, япчг 2. Является ли тригонометрический ряд 2 ' —, рядом Фурье? В этом параграфе будут изучаться периодические функции у; для каждой из которых существует число Т>0 такое, что при всех х, принадлежащих области определения функции значения х+Т и х — Т также принадлежат этой области и выполняется равенство ) (х+ Т) = )(х). *' Ж.

Фурье (1768 — !830) — французский физик и математик. Такие функции называются Тлпериодическими. Пусть /' абсолютно интегрируема на отрезке [ — к, п| и, следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если он сходится на некотором множестве, то сходится к 2к-периодической функции, так как все его члены 2к-периодичны. Поэтому бывает удобно и саму функцию/'«периодически продолжить» с периодом 2к. Кавычки поставлены потому, что в действительности функцию / можно продолжи~ь периодически только в случае, когда /( — к) =/'(к).

Если это условие пе выполнено, то лродолжеиием 4угскг/ии/' назовем 2к-периодическую функцию /; которую получим, полагая для любой точки хе( — л, к), в которой определена функция /(напомним, что, в силу абсолютной интегрируемости функции /' на отрезке ( — к, к), она определена во всех его ~очках, кроме, быль может, конечного их множества); 7'(хь2к/с)=/'(х), /с=О, +1, ~2, Такое продолжение в случае, когда /( — к)Ф/(к), приводит к несовпадению значений функций /' и /' при х=к. Однако, поскольку коэффициенты Фурье функции определяются с помощью интегралов /55.6), это не приведет к их изменению и следовательно, ряды Фурье данной функции/'и продолженной/ совпадают. Отметим, что при указанном периодическом продолжении функция / может не быть непрерывной в точках 2к/с„ /с=О, +1, +2, ..., даже если функция / непрерывна при х= — к и х=п.

Продолженная функция / будет непрерывной в точках 2к/с, если /' непрерывна в х= — и и х=к, причем /( — л)=/(и). Непрерывность в других точках при периодическом продолжении сохраняется: если /' непрерывна в точке х а ( — к, к), то /' 'непрерывна в любой точке х+2/сп /с=О, ~1, э-2, Часто продолженную функцию /' будем обозначать тем же символом / что и продолжаемую. Если функция /' 2к-периодична„ то при вычислении ее коэффициентов Фурье (см. (55.б)) интегрирование можно выполнять по любому отрезку длины 2к, например по отрезку ) О, 2к1: ги сго = — ~ /'(х) с/х, л о ги гл а„= — ~ /'(х) сових с/х, /г„= — ~ /'(х) гйп их с/х. п л о о Действительно, если какая-либо функция ср имеет период, равный Т, и для некоторого числа ин /с иипегрируема на отрезке [а, а+ Т~, то при любом выборе ба !! она интегрируема и на отрезке [6, 6+Т~), причем Ь+Т а»Т ф(х)ь!х= ) ьр(х)ь!х, Ь « ««Т т.

е. интеграл ) <р(х)оьх не зависит от выбора числа анИ. « В я 60 мы обобщим понятие тригонометрического ряда Фурье, а именно: определим и изучим ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций. В настоящем же параграфе будем изучать лишь тригонометрические ряды Фурье абсолютно интегрируемых функций (см. также п. 60.6). Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях, гарантирующих сходимость ряда Фурье. В случае же сходи- мости ряда Фурье данной функции у(х) при определенных условиях мы выясним, чему равна его сумма Я(х), в частности, когда она совпадает с функцией !'(х). Будет изучаться «ско- рость» сходимости рядов Фурье и условия, от которых она зависит.

Будет показано, что и в том случае, когда ряд Фурье непрерывной функции расходится в некоторых точках (при- меры таких рядов существуют), по нему можно восстано- вить саму функцию во всех точках. Мы увидим, наконец, что с определенной точки зрения сходимость рядов Фурье естественно рассматривать не только в обычном смысле (как сходимость последовательности частичных сумм в точке или равномерную сходимость), но и совершенно по-другому, а именно, в смысле среднего квадратичного (см.

п. 55.7, 55.8 и 55.9). 55.2. СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ Большую роль в теории тригонометрических рядов играет тот факт, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при и- -.о. Он вытекает из доказываемого ниже несколько более общего утверждения, часто применяемого в исследованиях, относящихся к рядам Фурье и смежным вопросам. Теорема 2 (теорема Римана). Если функция !' ийсолютпно интегрируеми но промежутке (и, 6), конечно»и или оесконечном, >по Ь ь !Ьпп )Дт)сохчть!х= !пп ) 1(т)йптхь!Т=О. « «а Следствие. КозффЬсциенты Фурье (55.6) ийсолнгошо иытпегрируеьиой функции !тире«ляспся к нулю при и-+ж.

Рис. 247 Рис. 246 Прежде чем доказывать эти утверждения, введем ряд понятий, которые будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Определение 4. Для всякой функции Я определенной на всей числовой оси, замыкание множес.тва точек, в которых 2)х)ФО, называется ее носип!елем и обозничается через зорро'*. Определение 5.

Функция 7; определенная на всей числовой оси, называется финитной, если ее носитель содер.жится в некотором конечном отрсзке. Определение 6. Для всякого множества Е, лежиьцего ни числовой прял!ой, функция 1 1, если хнЕ, Х (х) = Хв(х) = [ О, если хфЕ, называ!'тся характеристической функцией множества Е. На рис. 246 изображена характеристическая функция полу- интервала вида [и, о).

Характеристики

Список файлов книги