kudryavtsev3a (947417), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Подчеркнем, что в подынтегральное выражение указанного интеграла входят лищь значения функции Г' на отрезке [хв — б, хо+о) и тем самым существование и значение предела частичных сумм ряда Фурье функции т" зависит только от ее свойств в окрестности точки х, или, как говорят, от ее локальных свойств вблизи точки хв. Из принципа локализации следует, что если в любой, сколь угодно малой окрестности точки х функции Г'и е совпадают, то пределы 1пп о'„(хв„2) и 1пп Я„(хь; д) одновременно суп-~ х и х. шествуют или нет„причем если эти пределы су!цествуют, то они 2! равны.
Это тем более интересно, что ряды Фурье таких функций, вообще ! оворя, различны, ибо в формулы для коэффициентов Фурье входят значения функции по всему отрезку ( — к, я3. 55гк СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТОЧКЕ Далее понадобится следующая простая лемма. Лемма 5. Для 2к-периодической ибсолготно интегрируемой на отрезке длины 2п функиии г интегралы (55.22) с!'!, 0<В<я, и — г!'! ! 2 53П— 2 сходятся или раскодятс.ч однопремеппо.
Доказательство. Дсйствитсльно, для любого б, 0<В<я, 1 функция — — непрерывна, а поэтому и интегрпруема по ! 2йп 2 Риману на отрезке (6, н3. Функция же у(г) абсолютно интегри- РО руема на этом отрезке, следовательно, и их произведение зйп. абсолютно интегрируемо на отрезке ('б, к3, т. е. при любом б, 0 < б < к. интеграл п (55.23) й 2 53П— 2 сходится (см.
лемму 2 в п. 33.5). Выберем теперь б>0 так, чтобы существовало правильное азбиение (см. п. 55,1) отрезка ('О, к), для которого отрезок О, б1 не содержал бы ни одной точки этого разбиения, кроме, ыть может, точки !=О. Возможность мого следует из самого определения абсолютной интегрируемости функции г' на отрезке (см.
п. 55.1). В этом случае для любого с такого, что 0<с<б, функция у" будет интегрируема по Риману на отрезке 1"с, б3, а следовательно, интегрируемы по Риману на этом отрезке и .!(!) 201 функции —, --- —. Кроме того, эти функции эквивалентны 5, ! 2цп— 2 при с- О, так как с ип— я !пп =1; 2 с 0 поэтому по признаку сходимости интегралов, называемому признаком сравнения (см. следствие из теоремы 1 в п.
33.3), примененному к абсолютным величинам рассматриваемых функций, интесралы 6 в Г Щ! 1 !Р(с)~ 2йп— 2 одновременно сходятся или расходятся. В силу сходимости интеграла (55.23), отсюда сразу слелует, что интегралы (55.22) также будут одновременно сходиться или расходиться. П В дальнейшем в этом пункте будут рассматриваться 2я-периодические абсолютно интегрируемые на отрезке длины 2я функции, которые имеют только точки разрыва первого рода, вследствие чего в каждой точке хп числовой оси существуют односторонние пределы: 1пп /'(х +)с)=/'(х +О), 1пп ((х — 1с)=1(х — О). С,--~О ' 6--~-0 Определение 8 (Лебег). Точка х„называетея регулярной точкой функции (; если У(х +0) ->/(хп — 0) 2 Очевидно, каждая точка непрерывности функции является ее регулярной точкой. Если х — точка разрыва первого рода функции с; то под ее односторонними производными ~'+(х) и с' — (х) будем здесь понимать пределы ял-сс) — дх л-о) Сс-» -~О сс /' — (х)= 1пп lс-»+ 0 В том случае, когда функция непрерывна в точке х и, следовательно, ~(х+0)=Д(х — 0)=Ях), сформулированное опре- 23 деление односторонних производных совпадает с данным раньше (см.
п. 9.1). Для удобства формулировки теоремы о сходимости ряда Фурье введем обозначение Т„* (г) = 1'(х+ г) + Т(х — г) — Т(х+0) — Т(х — 0) . (55.24) Очевидно, что в регулярной точке х функция у"„*(г) имеет вид Т ~ (г) = Т(х+ г) + /'(х — г) — 2у'(х) . Ясно также, что если функция у" 2л-периодична и абсолютно интегрируема на периоде, то и функция Т„*(г) (х фиксировано) также является 2я-периодической и абсолютно интегрируемои функцией. Заметим, что если функция Т 2к-периодична и абсолютно интегрируема на периоде„ то сходимость интеграла гй при о некотором 6 > О равносильна его сходимости при любом конечном 6>0, так как, в силу периодичности и абсолютной интегрируемости функции г' на периоде, при любом 6, >О интеграл й, 0 < 6, < 6, сходится. ь Те оре ма 4 (признак Дини).
Пусть Т'- 2я-периодическия функция, абсолюпгно интегрируемая на отрезке длины 2я. Тогда если х является точкой непрерывности или точкой разрыва ггервого рода функции Т' и при некотором 6, 0<6<я, интеграл 6 Г )~1( )~ ггг 1 о (55.25) (55.26) Следствие 1. Если условия теоремы выполнены, то в любой регулярной точке функции Т (в частности, во всех ее 24 сходггтся, то ряд Фурье функции Т сходится в точке х к значению Т(х-ьо) гр(х — О) точких непрерывносгпи) ряд Фурье этой функции сходится к ее зничению в рассматриваемой точке.
С л е д с т в и е 2. Если 7'- - 2л-периодическая функция, абсолютпо ингпегрируемая на отрезке длины 2я, и в точке х с5эце!зпвуюп! > (х+О), > (х — О), З"'5 (х) и !" (х), то рчд Фурье функции сходится в эпюй точке к значению (55.26). Следствие 3. Ряд Фурье кусочно диффереггцируемой на отрезке 1 — я, я1 функции (' сходится в каждой точке интервала ( — я, я) к значению (55.26), а в точках х= — я и х=я к значению у(-к -о) ~-у(п — о) (55.27) Следствие 4. Ряд Фурье непрерывной кусочно дифференцируемой на отрезке [ — я, к) функции сходится в л>обой п>очке интервала ( — и, я) г! значег>йю функции в этой н>очке, а в точках х= — я и х=я к значению (55.27). Доказательство теоремы. Используя формулы (55.18) и (55.16), будем иметь 5 .(х'~)-'(х'","' "=-' .()Их+) Лх- И— о 5 5 — — — — П„(!) д! = — " 5)п)п+ ) ! й. (55.28) 2 51П— Пусть интеграл (55.25) сходится при некотором Ь>0; тогда он очевидно сходная и при некотором 8 таком, что О<8<я; тогда, согласно лемме 5, примененной к функции г'5 (см.
(55.24)), сходится и интеграл Г Я! (0~! ! 2 51П— о >.'(!) иначе говоря, функция " абсолютно интегрируема ! 2 5>П— 2 на отрезке ) О, я1. Поэтому, согласно теореме Римана (см. п. 55.2), 25 !пп — ~ " э)п) а+ -~гй=О, ! Гу»(0 . Г !'» х~ ~ (, 2) »»»с 2япо следовательно, в силу (55.28), ( ) Г(хьО) +У(х — 0) и 2 »!-»сс Следствие 1 непосредственно вытекает из теоремы в силу определения регулярной точки функции, Докажем следствие 2. Согласно теореме 4, достаточно показать, что если существуют пределыЯх+ О), Г(х — О) и односторонние про- изводные Г", (х), Г" (х), то интеграл (55.25) сходится при некотором Ь>0. Прежде всего, в силу существования конечного предела У; (0 . ( Г(х ~- 0 — У(х ~- 0) Г(х — 0 — У(х — 0) ~-»~-0 ~-»+О функция —" ограничена в некоторой окрестности точки г=0.
УГЯ ( Поэтому существует такое 6, 0<В<я, что на отрезке (О, б3 .~.*(0 функция -" — ограничена и, следовательно, она интегрируема по Риману на этом отрезке (см. п. 33.1, а также замечание 4 в и. 44.7). Функция, интегрируемая по Риману, абсолютно интегри- руема, поэтому интеграл (55.25) конечен. (3 Для доказательства следствия 3 функцию 7; заданную на отрезке 1 — я, я3, продолжим периодически с периодом 2я с полуинтервала ( — я,я) на всю числовую ось и обозначим полученную функцию через 7. В силу определения кусочной дифференцируемости (см. определение 1 в п. 30.2) функция Г' удовлетворяет условиям следствия 2. Согласно этому следсзвию ряд Фурье функции г', очевидно совпадающий с рядом Фурье для Г.
сходится в каждой точке х к Г(. ~-О) ьГ(х-О) Если х я ( — я, я), то 7"(х+ О) =Ях+ О) и, следовательно, — При х= — я указанный ряд 2 Г( — х-';0) +Г( — х — 0) сходится к ' ', а прн х = я — к значению 26 Т(к з о) +Г( -о) В силу периодичности функции Г, 2 Д вЂ” я — 0) = ~(я — 0) =Д(я — 0), Т(я+0) = Т( — и+О) =(( — и+0) . Поэтому ' У( — к";0) Д( — к — 0) Як-~0) ~-,з(л — 0) Т( — кз-0) А-Г(к — 0) 2 2 Следствие 4 непосредственно вытекает из следствий 1 и 3. Заметим, что в формулах (55.26) и (55.27) сумма ряда Фурьефун- кции Г' выражена через саму функцию Г', заданную на отрезке ( — я, яЗ, а не через ее периодическое продолжение Тна всю числовую ось. Если функция ~' удовлетворяет условиям следствия 4, т.
е. непрерывна и кусочно-дифференцируема на отрезке 1 — я, к) и, кроме тогоД вЂ” я) = ~'(л) (т. е. ее периодическое продолжение на всю числовую ось совпадает с ней всюду на ) — я, яЗ, включая концы), то на всем отрезке ( — к, я| функция /' равна сумме своего ряда Фурье: Дх) = —," +,'у а„сох пх+ Б„х) и пх, а=1 Поэтому такая функция в каждой точке отрезка ) — я, я| может быть представлена с любой степенью точности частич- ной суммой ее ряда Фурье, т. е.
линейной комбинацией синусов и косинусов кратных дуг (говорят также, что указанная функция аппроксимируется суммой простых гармоник*'). То, что в рассматриваемом случае период равен именно 2к не существен- но: случай произвольного периода Т>0 легко сводится к рассмотренному просгой заменой переменного (см. п. 55.12). При практическом разложении функций в ряд Фурье полезно иметь в виду, что если абсолютно интегрируемая функция т' - четная, то функция г(х) сох пх также четная, а функция Т(х) яплт — нечетная, поэтому в этом случае а а а„=; — ('(х) Их = — ~'(х) е(х, — а о и а 2 ) а„= — ) Дх) соя лх етх = — ~ Т(х) сок пх с(х, л к о и Ь„= — ~ Ях) а)п пх е(х = О, ) п=1,2, ..., ы Простой тармоиикой иазывают (прсимжпествсиио в физике) выражение вида А соа акт В йп ах.
где А и В--постокииые 27 и, следовательно, для четной функции г ее ряд Фурье имеет вид ав+ ,'> а„сов пх. л= 1 Если функция /'-- нечетная, то т'(х)соапх также нечетная функция, а г'(х) а1нпх — четная, поэтому п но= — ~ Лх) ох=О. — л а„= — ~ 1(х)соапхс2х=О, и Е 1 Ь„=- — ) У(х) а1ппхпт=: ~ 1(х) сйнпгдх, — л Н п=!,2, ..., Следовательно, для нечетной функции Г' ее ряд Фурье имеет вид ,'> Ь„а1н пх. Примерьь 1. Найдем ряд Фурье функции с1зх, — л<х<к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
