kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 8

Сштема целых неотрицательнык степеней х, т. е. система !,х,х~,...,х",..., (55.60) полна в смысле равномерного приолижения для множества всех нспрерывныг >са .зоб>ом заданно.н о>презке функций. Определение 12. Пусть функции /'и е определены на отрезке [а, Ь (. Чггс:го называется средним квадрагпичным отклонением на отрезке [а, />( функции / от функции ряг. Определение 13.

Система функций (55.59) называется полной в с.иысле среднего квадратичного приближения для некоторого лтожества Х функций, определенных на отрезке [а, Ь1, ес.ги, каково бы ни была функция /сеХ, для каждого еъ 0 существ> ет такая конечная линейная комоинация функций систелгы (55.59), что ее среднее квадрапгичное отклонение на отрезке [а, (г) от функцпи / меньше гь Теорема 9. Система тригонометрическгсх функций (55,2) полна в смысле среднего квадратичного приближения во л>ножестве непрерывны.т на отрезке [ — и, п| функций, принима>ощих в >почках и и — и одно и то же значение. Доказательство.

Пусть / непрерывная на отрезке [ — к, и( функция, причем /(и)=/( — к). Согласно теореме 7', для любого е)0 существует такой тригонометрический полипом Т(х), что (/(х) — Т (х) ( ( — — я < х < я. ~зя *' Можно сказать и котклонение функпии я от функпии /». поскольку рассматриваемое выражение не меняет своыо значения. если / и К поменять мсстамн. Отсюла лля среднего квадратичного отклонения этого поли- нома от функции Т имеем ч л /и ~/(х) — Т(х) З'с(х < ( ) с(х = е.,"Л 22х В дальнейшем мы увидим (см. п.

58.6), что ограничение /(я) =Т( — я), использованное нами при доказательстве теоремы 9 (только в этом случае можно было сослаться на теорему 7'), не является существенным. Именно, тригонометрическая система (55.2) полна в смысле среднего квадратичного во всем множестве непрерывных на отрезке ( — я„яЗ функций и, более того, можно показать, что она полна в смысле среднего квадратичного и во множестве всех функций с интегрируемым на отрезке ( — к„к) квалратом. Заметим, что тригонометрическая система (55.2) завеломо не полна во множестве всех непрерывных на отрезке ( — к, яд функций в смысле равномерного приближения, т.

е. в смысле определения ( !. Действительно, если функция Т такова, что для любого а)0 сущее гвует такой тригонометрический полипом Т„что (Т(х) — Т,(х)~<е, — я<х<я, то из условия Т,(я)= Т,( — к) при а- 0 следует, что Г(я)=г( — я). При приближении функций в смысле среднего квадратичного тригонометрическими полиномами особую роль играют частичные суммы ряда Фурье приближаемой функции. В следующем пункте будет показано, что частичная сумма и-го порядка имеет наименьшее среднее квалратичное отклонение от данной функции по сравнению с любым тригонометрическим полиномом степени и.

Наконец, можно показать, что если функция Т обладает интегрируемым квалратом на отрезке ( — л, яЗ, то отклонение от нее в смысле срелнего квадратичного ее частичных сумм Фурье о„(х) стремится к нулю, когда и- ос, или, как говорят, функция р с интегрируемым квадратом является пределом в смысле среднего квадратичного своих частичных сумм Фурье (см. об этом в п. 58.6). Все эти обстоятельства говорят в пользу изучения приближения функций в смысле среднего квадратичного отклонения.

Аналогично теореме 9 локазывается следующая теорема. Теорема 10. Система неотрицательных целых степеней х, т. е. система (55,47), полна в смьнле среднего квадратичного приближения во княжестве непрерывных ни .иобо.м заданном отрезке функций. Доказательство. Пусть функция Т непрерывна на некотором отрезке (а, Ь). Тогда лля каждо~о с>0, согласно теореме 8', существует такои полином Р, что 49 !Т(х) — Р(х))< — — ' —, а<х<К ,~ь — и откуда ь ) ) Г(х) — Р(хауз е(х < с. 0 а 5К9, МИНИМАЛЬНОЕ СВОйСГВО КОЭЕЕИЦИЕНТОВ ЕЕРЬЕ. НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ В этом пункте мы рассмотрим ряды Фурье для интегрируемых функций, квадрат которых также интегрируем (здесь иптегрируемость понимается, вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке ) — л, л1.

Существенно заметить, что если функциями'такова, что для нее существует правильное разбиение отрезка — л, л1 (см. п. 55.!), и ее квадрат Те интегрируем на отрезке -л, л1, то из неравенства 2 следует, что функция ! Т! интегрируема на этом отрезке. Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют положительные ! функции (например„функция — — =-), интегрируемые на отрезке ,(! ( — л, л], квадрат которых, однако, уже не интегрируем на нем.

Таким образом, указанное множество функций с интегрируемым на отрезке ! — л, л) квадратом сосгавляет собственное подмножество множества всех абсолютно интегрируемых на отрезке ( — л, л) функций. Заметим, что аналогично вводится понятие функции с интегрируемым квадратом и для любого конечного промежутка. Теорема 11. Пусть квадрат функции /' интегрируем на отрезке ! — л, л). Тогда если о„(х)- — ее сумма Фурье порядка и, то Я к !! [/(х) — 5„(х)З~ах=щ(п ) ~Т(х) — Т„(х)1~ах, (55.6!) — к те ч — и где минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам Т„степени не вьпие п.

Если ао, а„, Ь„, и= !, 2, ..., суть коэффиииенты Фурье функиии то справедливо неривенсп1во 50 (55.63) и л — 2~ — ' ~ йс(х)с!х+ 2 А, Т(х)сов/схойх+ й=й л — и и л /йй +Вй Т(х)8)п/схт)х = Тй(х)т/х+я~ — '+ ,'~ Айй+Вйй й=й л л — 2я! ' '+ 2 а„А,— Ь„В„= Тй(х)с!х+ 2 й=й — л г 1 Г + ( с О) + 2 (! )2+(В Ь)2 вл+ 2 2+62 (55.64) Из полученного выражения видно, что величина (55.63) принимает наименьшее значение, когда Ао = аш А„= ай, В„=Ь /с= !, 2, ..., т. е. тогда, когда Т„(х) является суммой Фурье Я„(хй) порядка и функции /: Первое утверждение теоремы доказано.

Если Тл(х)=Ил(х) — сумма Фурье порядка л, то из (55.64) следует, что *' Ф. Бессель (!784--!84о) нсмсцкий астроном и математик. 5! — '+ 2' а„'+Ьа( — '!)'(х)т/х, — л называемое иеравенетаволйт Бесселя *'. Доказательство. Пусть л Т„(х)лл — '+ ~ Айсоа/сх+Вйяп/сх, л " 2 й тогда, открывая квадратные скобки в выражении ) ~Г(х) — Т„(х)]а Ых — л и используя лемму ! из и. 55.1 (в частности, ортогональность тригонометрической системы).

получим и л 8 / й л ~Т(х) — Тл(х)]'//х= Т'(х)в!х+я — 8+ ,'й" А„'+В,' л л л г ~/ (х) — 5 (х)) г дх = ~г (х) сКх — я — "+ ~ а з+ Ь з,(55.65) 2 откуда л 7'(.т)г1х — я~ — '+ ~ а~~+6~21>0. ~2 Л Это неравенство справедливо прн любом натуральном гг. Переходя в нем к пределу при и-+со, получим неравенство л г„ 7'г (х) г/х — я — '+ ,'г а з+ о з > О, л=! — л очевидно, равносильное неравенству (55.62), г.) Из неравенства Бесселя следует, что для функции с интегрируемым квадратом ряд "л+ т; аг+бг 2 сходится. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю, поэтому в рассматриваемом случае йгп ал= 1гш Ьл=О.

л х л — к Таким образом, мы еще раз установили стремление к нулю коэффициентов Фурье (см. п. 55.2), однако на этот раз для более узко~о (как это отмечалось в начале этого пункта) класса функций, чем раньше, а именно для класса функций с интегрируемым квадратом, В п. 60.6 будет показано, что на самом деле соотношение (55.62) справедливо со знаком р а в е нет ва.

Здесь мы докажем этот факт лишь для случая, когда функция неп ерывна и 2я-периодична. ео рема 12. Пусть 7 непрерывни на отрезке ( — я, я), з( — к)=з(я) и ав, ал, Ьл, и=1, 2, ...,— ее коэф4иг7ненты Фурье. Тоеди справедливо ривенство л — гг(х)ггх= — +,1 а„+гэ„„ 2 -л называемое ривенство.и Парс евалл *'. " М Лвреевкль 11755 1Х36 г.) фрвнггузекий математик. 52 Доказательство. Для каждого в>0, в силу полноты в смысле среднего квадратичного приближения системы, тригонометрических функций (55.2) в классе непрерывных функций, принимающих одинаковые значения на концах отрезка [ — я, я), для функции Г существует тригонометрический полипом Т(х) некоторого порядка 1г такой, что л — [г'(х) — Т(х) ) ах<а.

(55,66) Согласно же теореме 11 (см. (55.61)), для суммы Фурье Яь(х) того же порядка Й выполняется неравенство л л ( [/(х) — 5,(хЦзИх< ) [г(х) — Т(х)]'ь(х. Отсюда и из формул (55.65) и (55.66) получим; — (~(х)ах — — + 2 а~+Ь~ < Л л=! — л л л Гол <-'- г2(х)с(х- — ""+ „'> а„'+Ь„' =-' [Т(х) — 5„(х)~'~(х« л=! л <- [)(х) — Т(х)1 <в. — л Поскольку это неравенство справедливо при любом с>0, то его левая часть равна нулю.

П Следствие. Если выполнены предположения теоремы, ьчо 1пп )' [Т(х)-5„(хЦ'Их=О. л — л Действительно, в силу теоремы 12, при п- со правая часть равенства (55.65) стремится к нулю. П 53 55ЛВ. ХАРАКТЕР СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ. НОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ Изучим связь рядов Фурье функции и ее производной.