kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа)

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ТРЕХ ТОМАХ Том 3 Издание второе, переработанное и дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника лля студентов физико-математическик и инженерно-физических специальностей вузов Дв МОСКВА кВЫСШАЯ ШКОЛА» 1989 Рецензент; проф. В. А. Ильин (зав. кафедрой общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова) Кудрявцев Л.

Д. К88 Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. — 2-е изд., перераб. и доп.— Мл Вмсш. шк., 1989.— 352 сл ил. 18В)ч) 5 — 06- .00!516 5 (т. 3) В третьем гоме излвгаюзся элементы гармонического анализа: сначала основы теории тригономегрических рялов и цреобразомние Фурье абсолютно интегрируемых функций, а затем теории разложений ло ортонормированным системам в гнльбертовых цространствах н преобразования Фурье обобщенных функций Рял теорем классического анализа обобщается иа случай различных цросзрансзв метрических. нормированных и линейных со скалярным ироизведением.

ББК 22.1б 517.2 К вЂ” —— 1702050000 !4309000000) — 042 38 — 88 001 !(Н) — 89 ББК 22.16 К88 УДК 517)0.75.8) 18В)ч) 5 06 — 0015!6 — 5 (т. 3) !ЯВ)Ч 5 - 06 — 000444 — 9 г ' Изд пельство «Высшая школа», !98) гг" Издательство «Высшая школа», )989, с изменениями ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. ГЛАВА ЧН РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 8 55. Трнгпнометрнчесиие ряды Фурье 55.1.

Определение ряда Фурье. Постановка основных задач....... 55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 55.3. Интеграл Дирнхле. Принцип локализации 55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 55.5'. Сходимость рядов Фурье для функций, уловлетворяющих условию Гельдера 55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 55.7, Приближение непрерывных функций многочленами 55.8.

Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций 55.9. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 55.10. Характер сходнмости рядов Фурье. Почленное дифференцирование рядов Фурье 55.11, Почленное интегрирование рядов Фурье 55.12, Ряды Фурье в случае произвольного интервала 55.13. Комплексная запись рядов Фурье 55,14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 55.15.

Суммирование тригонометрических рядов й 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 56.1. Предо~веление функций в виде интеграла Фурье 56.2. Различные виды записи формулы Фурье 56.3. Главное значение интеграла 56.4. Комплексная запись интеграла Фурье .. 56.5. Преобразование Фурье 56.6. Интегралы Лапласа 56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций 56.8. Преобразование Фурье производньж 56.9. Свертка и преобразование Фурье 56.10.

Производная преобразования Фурье функции ГЛАВА ЧН! ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 8 57. Метрические пространства 57.1. Опрелелення и примеры 57.2. Полные пространства 573. Отображения метрических пространств 57.4. Принцип сжимающих отображений 57.5. Пополнение метрических пространств 57.6. Компакты 57.7. Непрерывные отображения множеств 57.8.

Связные множества 57.9. Критерий Арцела компактности систем функций 8 58. Линейные нормированные и нолунормираваиные пространства 58.1. Линейные пространства 58.2. Норма и полунорма 58.3. Примеры нормированных и полунормнрованных пространств 6 6 11 !6 22 35 38 44 50 54 58 62 63 65 66 69 69 78 79 81 81 84 86 88 90 93 96 96 $01 $07 $11 $16 $20 $32 $33 $34 $37 137 $48 $50 58.4.

Свойства полунормированных пространств 58.5. Свойства нормированных пространств 58.6. Линейные операторы 58.7. Билинейные отображения нормированных пространств ... 58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных пространств 58.9. Формула конечных приращений 58.10.

Производные высших порядков 58.11. Формула Тейлора 8 59. Линейные пространства со скалярным произведением 59.1. Скалярное и почти скалярное произведения 59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением. Гильбертовы пространства 59.4.

Пространство Бз б 60. Ортонормнроваииые базисы и разложении по инм 60.1. Ортонормировавные системы 60.2. Ортогонализация 60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежанлра 60.4. Ряды Фурье 60.5. Существование базиса в сспарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств 60.6.

Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье . 60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в прямую сумму 60.8. Функционалы гильбертовых пространств 60.9*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля б 61. Обобщенные функции 61.1. Общие соображения 61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства 61.3. Определение обобщенных функций. Пространства 27 и 27 ' 61.4.

Дифференцирование обобщенных функций 61.5. Пространство основных функций 5 и пространство обобщенных функций 6' 61.6. Преобразование Фурье в пространстве 5 61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций ДОПОЛНЕНИЕ б 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений 62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления значении функций и интегралов 62.2.

Решение уравнений 62.3. Интерполяция функций 62.4, Квадратурные формулы 62.5. Погрешность квадратурных формул 62.6. Приближенное вычисление произволных 63. Разбиение мно|кества на классы зквивалентиых элементов 64. Предел по фильтру 64.!. Топологические пространства 64.2. Фильтры 64.3. Предел фильтра 64.4. Предел отображения по фильтру Предметно-именной указатель Указатель основных обозначений 156 !6! 168 176 181 185 187 189 191 191 195 197 202 220 220 224 226 230 244 249 255 258 268 268 275 279 285 289 292 295 305 305 309 316 318 321 326 329 331 331 333 337 338 344 351 ПРЕДИСЛОВИЕ В первой половине третьего тома «Курса математического анализа» излагается теория тригонометрических рядов Фурье: сначала изучается их поточечная сходимость и сходимость в среднем, а затем классическая теория преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций.

Изложена также теория интегралов, зависящих от параметра (собственных и несобственных) и рассматривается вопрос о вычислении определенных интегралов с помощью дифференцирования и интегрирования интегралов по параметру. Во второй половине третьего тома изучаются некоторые вопросы теории метрических, нормированных, гильбертовых просгранств и пространств обобщенных функций, идейно связанные с задачами классического анализа. Эта часть курса существенно расширена по сравнению с первым изданием «Курса».

В ней, в частности, установлен ряд свойств отображений метрических пространств, обобщающих свойства числовых функций, получена формула Тейлора для отображений нормированных пространств, изложены основы теории разложений элементов гильбертовых пространств в ряды Фурье по ортогональным системам и дана теория преобразования Фурье обобщенных функций. В конце тома имеется «Дополнение», в котором рассмотрены некоторые вопросы численных методов анализа (приближенное вычисление значений функции, ее производной и интеграла от нее, приближенное решение уравнений) и теория предела отображения по фильтру, которая включает в себя как частный случай пределы, изучавшиеся в «Курсе» ранее.

Нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает нумерацию первых двух ~омов курса. ГЛАВА УП РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Я 55. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 55Л. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ (55.3) ) совах яптх Ых=О, т, п=О, 1, 2, ...,; 2) ( сов'пх ах= ) япзпх с(х=к, л=1, 2, .... (55.4) — « « Доказательство. При любых целых неотрицательных т, п, таких, что т~л, имеем « л ) яп пх яп тх с(х =- ) '(сох (л — т) х — соя (и+ т) х~)с(х = 2 — =О.

Нп(» — ы) х «1п(п-Вги) х 2(п — ю) „2(«ьт) *' Происхождение зермина «ортогональность» будет разъяснена в и 58.1. Определение 1. Ряд вида — '+ 2 а„сох лх+ б«а)п пх (55.1) 2 называется тригонометрическим рядом. Его частичные суммы являются линейными комбинациями функций, входящих в систему созх, япх, соз2х, яп2х, ..., сових, яплх.... (55.2) Определение 2. Мнозссество функиий (55.2) называется три- гонометрической системой.