kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 12

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЗАПИСИ ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ В дальнейшем для простоты записи будем считать, что функция 7" абсолютно интегрируема на всей числовой оси 1к и во всех ее точках непрерывна и имеет односторонние производные. 78 Предел, стоящий в левой час~и равенства, равен интегралу Фурье (56.4), поэтому равенство (56.29) доказано. (3 Требования, накладываемые на функцию в этой теореме, можно ослабить, потребовав, например, чтобы функция была абсолютно интегрируемой на всей числовой оси и удовлетворяла в каждой точке обобщенному условию Гельдерн. Мы не стали этого делать ради некоторого упрощения доказательства (ср. с доказательством теоремы 4 и ее следствий в п.

55,4). У и р а ж н е н и е Ь Доказать. что если функция У в дополнение к наложенным на нее в теореме ! ограничениям является четной или нечетной, то справедливы формулы; лля четной функции В этом случае для всех хна, согласно теореме 1, справедлива формула Фурье Дх)=- с(у Д(Г)сову(х — 7)й, Π— т. и так как подынтегральная функция четная относительно переменной у, то 1(х)= — ~1 с(у 7'(7) сову(х — 7) й. (56.36) В силу очевидного неравенства ~ 7 (7 ) я п у (х — 7) ~ < ) 7 (1) (, при ограничениях, наложенных на функцию /, существует также интеграл ли )' ('(7) япу(х — 7) й, ) Ыу ) Я)япу(х — г)й. (56.38) Чтобы получи~ь нужные формулы, нам придется ввести еще одно обобщение понятия интеграла. 56.3.

ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА Введем следующее определение. Определение 2. Пусть оуункция (р интегрируема на любом конечном отрезке. Если существует конечный предел 79 причем, в силу признака Вейерштрасса (см. п. 54.1), он равномерно сходится на всей числовой оси переменного у и, следовательно, является непрерывной функцией от 'у. Поэтому для любого числа г) существует интеграл ч ) Ыу ) 1'(7)э(пу(х — 7)с7(, (56.37) -ч причем в силу нечетности подынтегральной функции относительно переменной у этот интеграл равен нулю. Однако при сделанных предположениях относительно функции 7' нельзя гарантировать существование несобственного интеграла 1пп ) гр (х) г1х, г) > О, ч то он нсгзывиется главным зничением интегрили ) гр(х)ггх и обозначиепгся буквами о.

р.*г Х о. р. ) гр(х) Ых Ф 1пп ) гр(х) с1х. (56.39) г-' ' Подчеркнем, что отличие этого определения от определения несобственного интеграла ) гр(х) с1х, и. 33.1, состоит в том, что там для функции гр, интегрируемой на любом конечном отрезке, интег рал ) гр (х) Ых определялся как предел интегралов ч ) гр(х) дх при независимом стремлении Г, к — оэ и г) к + со. Здесь же требуется существование лишь предела указанных интегралов ) гр(х) Фх для частного случая, когда с = — г) и г1- + со.

Подобным жс образом определяется и главное значение несобственного интеграла в точке: пусть и<с<Ь и функция гр при любом а > 0 интегрируема, по Риману, на отрезках ) а, с — е) и (с+а, о) (естественно, предполагается также, что а<с — е й ь с+с<6); тогда главное значение интеграла ) гр(х) дх в точке с с определяется формулой ь Гс-с ь о. р. ) гр(х) с1х=!пп ~ ) гр(х) Ых+ ) гр(х)игх а с Ь с Иногда, там, где это не может привести к недоразумениям, интеграл в смысле главного значения обозначается просто символом интеграла без букв г, р, Если для некоторой функции существует несобственный интеграл, то у этой функции существует и главное значение интеграла и оно совпадает с ее несобственным интегралом.

Обратное неверно; у функпии может существовать (и, следовательно, быть конечным) главное значение интеграла, а несобственный интеграл быть расходящимся. *' Главное значение от франц, ча!ецг рпнегра1е. 56Л. КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ Вернемся к формуле Фурье (56.29) и запишем ее, используя понятие главного значения интеграла, в другом виде. В силу нечетности по у подынтегральной функции в интеграле (56.38) имеем, согласно сформулированному определению главного значения интеграла о.р.

( 61у | 1(1)ыпу(х — 1)й=О. 1 ранено~на на — и сложив с 2в Умножив обе части этого интегралом (56.36), получим ю 2 (! ) е 1"'" о 111, Дх) = — ~у (56.41) где внешний интеграл понимаешься в смысле главного значения. Формула (56.19) и называется комплексной записью интеграла Фурье.

56.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если положить Ф(у)=- — г(1)е '~'й, , 12в то формула (56.19) примет вид 1(х)=е. р. - ~ Ф(у)е'*хдух /2в (56.42) Определение 3. Функция Ф, которая ставится в соответствие функции 1' формулой 81 1 о Г лх Например, интегралы ) хах и ~ — ' не существуют как — 1 несобственные, однако существуют в смысле главного значения, которое в обоих случаях равно нулю. Ф (у) = о. р.

— г (г ) е гп гйц ~2« (56.43) пизывается преобризовинием Фурье функции 2' и обозначается с '(/ или агом определении г'(с), вообще говоря, комплекснозначная функция действительного аргумента. Отметим, что функция Ф= =Г'(Д может принимать существенно комплексные значения и в том случае, когда функция ~ принимае~ только действительные значения. Преобразование Фурье определено, в часгпости, для всех абсолютно интегрируемых функций.

Употребив, например, для преобразования Фурье функции с' обозначение г", формулу (56.42) можно записать в виде Як)=о. р, т' (у)енпс/у. (56,44) г2х Эта формула позволяет восстановить саму функцию у, если известно ее преобразование Фурье у. Она называется формулой обращения. Определение 4. Функция Ч', которая ставится в соответствие функции Л' формулой Ч'(у)=о. р. — — ~(г)е"'агб г2х (56.45) 82 называется обратным преобразованием Фурье функции т' и обозначается Г ' '(.г 1. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определены на множестве функций, для которых интегралы (56.43) и (56,45) существуют в смысле главного значения.

Это множество содержит в себе, в частности, множество всех абсолютно интегрируемых на всей вещественной оси функций, для которых интегралы в формулах (56.43) и (56.45) можно понимать как обычные несобственные интегралы, а не ~олько как интегралы в смысле главно~о значения. Термин «обратное преобразование Фурье» оправдывается тем, что преобразование Г " обращает преобразование Фурье Г. Более точно, справедлива следующая лемма. Лемма 3. Если непрерывния ибсолюпгно интегрируемая ни всей оси функция г' имеет в каждой точке конечные односпюронние производные, то Доказательство. Первая формула обращения, т.

е. формула Р ' [Р[з ]] =з, является просто другой записью уже доказанной формулы (56.4!). Покажем справедливость второй формулы обращения. Поскольку косинус — четная функция, то в (56.36) можно переставить местами г и х: ею '-д Ях)=- Ыу т(г)сову(г — х)й, в силу же нечетности синуса (ср. (56.40)) цр. ] агу ( Я)а(пу(г — х) ггг=О. Поэтому наряду с формулой (56.4!) имеем также т'(х) = — сгу г'(г) егза "г сгг, 2гг или з(х)= )(г)еьхаг е ' "сгу, где внешнии интеграл понимается в смысле главного значения.

Эта формула может быть переписана в виде Р[Р-'[Л]=.Т =) Отметим, что справедливость формул обращения может быть доказана и при более слабых ограничениях на функцию, чем существование у нее в каждой точке односторонних производных. Л ем м а 4. Пусть для функции )г и з г существует преобразование Фурье (соответственно обратное преобразование Фурье). Тогда, каковы бы ни были числа Хг и Хз, для функции Ъ.г)г+Щ также сущеспгвует преобризование Фурье (соответственно обратное ему), причем Р[) А,+2 Я=),Р[Л]+),р[Л] (соответственно Е ' [Хг(г +)гЛ з(= гг р ' [гсг ]+) гр ' [Л ) Это свойство называется линеиностыо преобразования Фурье (соответственно обратного преобразования Фурье).

Оно непосредственно следует из линейности интеграла и из формул (56.43) и (56.45). аз Следствие. Г[0)=Г '[01=0. Действительно, например Г[01 =Г[0 0~ =0 Г[0~ =О. Впрочем, это свойство следует, конечно сразу и из формул (56.43) и (56.45). Л ем ма 5. Преобразование Фурье Г, так же как и обратное преобразование Фурье Г ', являются линейными взаимно однозначпыми отображеничми множества непрерывных абсолютно интегрируемых па всей вещественной оси функций, имеющих в каждой точке односторонние производные, во множество функций, для которых интегралы (56.43) и (56.45) существуют в смысле главного значения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать лишь взаимную однозначность отображений Г и Г ' — остальное уже доказано выше.

Докажем, например, взаимную однозначность отображения Г. Пусть Г[Я=Г~ у 3'; то1.да Г-' [Г[Г, )) = Г-' [Г[1, Ц. Отсюда согласно лемме 1, следуе~, что Преобразование Фурье во всяком случае определено для абсолютно интегрируемых функций. В следующих пунктах будут изучаться свойства э~ого преобразования.

В дальнейшем же будет показано, как преобразование Фурье обобщается на более широкие классы функций, а именно на функции с интегрируемым квадратом (п. 60.96) и на так называемые обобщенные функции (и. 61.7). 66.6. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА Найдем преобразование Фурье у четного продолжения функции е "", а)0, с полупрямой х>0 на всю числовую прямую, т. е. попросту ~оворя, преобразование Фурье функции Г(х)=е '1"1,— со<х<+со: у (у) е — ыые — их с7х 1 ,я1 о е""е ' Убх+ — е '"е '"У61х= /2к я~ ~2л,),„~ 2л о е — (а -)- о) л и) х о Вспоминая, что е)"у = сов ху+ ) а)п ху и замечая, что в силу яоху нечетности подынтегральной функции ~,,с~у=0, получим а ) сох ху, 2а ~ сооху л ~ а+у л ) а'-)у~ о х>0.

Найдем теперь преобразование Фурье у нечетного продолжения функции е "", и>0, с положительной полуоси х>0, т. с. преобразование Фурье функции -))х)= — '" х<0. е '" х>0, Имеем о е а~ ~(х)= — ~ — е'")е )"'Ых+ — е ""е)"")Ь= '2л,) ' 2л,) о — + Применив снова формулу обра)пения преобразования Фурье, получим е '"= — — —,У,)' е)"УЫу= — У, гну, х>0.

85 Применение обратного преобразования Фурье к полученной функции дает исходную функцию Эти интегралы называются интегралами Лапласа. збл. сВОЙстВА пРеОБРАзОВАния ФуРье АБсОлютнО ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В этом и следующих пунктах будут рассмотрены некоторые свойства преобразования Фурье функции 1; которое, как и выше, будет обозначаться через 7 или Е [7 ). При этом будет предполагаться, что функция у принимает, вообще говоря, комплексные значения, а ее аргумент, как всегда, действителен. Теорема 2.