kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 14

е. преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье этих функций. 1:1 Теорема 4 также может быть доказана при более слабых ограничениях на рассматриваемые функции, но мы не будем на этом останавливаться. ЗВДО. ПРОИЗВОДНАЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ Теорема 5. Если функция ~'(х) непрерывна, а функции < (х), х((х), ..., х"7'(х) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси, то преобразование Фурье функции 7 является и раз дифференци- 93 руемой на всей числовой прямой функцией и РГ'"'[)1=Г[х")~, )с=О, 1, ..., п. Доказательство. Пусть сначала функция у' принимает только действительные значения. Формально дифференцируя по параметру у интеграл Г Я = —.

1(х) е ы' йх '2к,) и замечая, что ~хЯх) е ы'1 = 1хт'1х)~, получим абсолютно и равномерно сходящиися интеграл — ) х11х)е '*'ах, — х <у(+со. Следовательно (см. п. 54.3, теорема 8), в этом случае преобразование Фурье Ги функции у' является дифферепцируемой функцией и Г'И=Г[хЛ Если теперьто = и+В, где и и о — дейсгвительные функции, то Г' и =Г' [и+ 1о) = 1Г[и3 +1Г[о1)'=Г' [и)+1Г' [о1 = — 1Г[хи)+ + Г [хо~ = — 1Г [хи+ Гхв~ = — 1Г [хЯ. Далее по индукции получаем, что преобразование Фурье ГЯ функции 1 имеет производные до порядка п включительно и 1" Г а' [11 = Г [х "Я, /с = О, 1, ..., и.

Следствие. Если предполоясения теоремы выполнены, то все производные Га' [Я, /с=О, 1, ..., и, непрерывны и стремятся к нулю при стремлении их аргумента к оесконечности. В силу теорем 2 и 5, следствие непосредственно вытекает из того, что производные Га' [Я1 являются преобразованиями Фурье абсолютно интегрируемых функций. Можно показать, что если произведения вида е'~"1 у1х) абсолютно интегрируемы при определенных ограничениях, налагаемых на а>0 и а>0, то зто приводит к еще большей гладкости преобразования Фурье, а именно оказывается, что оно принадлежит к тем или иным классам аналитических функций. Формула, задающая обратное преобразование Фурье, отличается от формулы, задающей прямое преобразование Фурье (см. (5б.43) и (56.45)), лишь тем„что в показателе степени у числа е под интегралом з' заменено на — 1, поэтому для обратного преобразования Фурье справедливы свойства, аналогичные доказанным нами для прямого преобразования Фурье.

Уп рахн не ни я. 3. Доказать, что преобразование Фурье функции Лх)= 1 = — — дважды дифференцируемо на всей числовой прямой. 1+х 4. Доказать, что преобразование Фурье функции т(х) = =хе ' бесконечно диффсренцируемо на всей числовой прямой. ГЛАВА У!П ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В 57. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 574. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Определение 1.

Множество Х=!х, у, г, ...) называется метрическим пространство,и Х, если на совокупности упорядоченных пар (х, у) элементов этого множества определена неотрицательная функция р (х, у), называемая расстоянием (или метрикой) такая, что: 1'. р(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х=у; 2'. р х, у =р(у, х), хнХ, уеХ; 3". р х, у <р х, е) +р(г, у), хнХ, унХ, гнХ. Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами расстояния. Элементы метрического пространства называются точкалш. Примеры. 1. Совокупность всех действительных чисел Я, если расстояние между действительными числами определить как абсолютную величину их разности: р(х, у)=~х — у~, хе1х, уеЯ, образует метрическое пространство. 2.

Множество комплексных чисел С, расстояние между элементами которого задается по формуле р (г, г ') = )г — г '), ге С г'е С также образует метрическое пространство. 3. Евклидово пространство М" размерности и (см. п. 18.!) является метрическим пространством, если расстояние между его точками х=(х,, ..., х„) и у=(у,, ..., у„) определить по формуле (см.

(18.1)) 4. Пусть Š— некоторое множество. Рассмотрим множество всех ограниченных на Е функций, принимающих действительные (или комплексные) значения. Для двух таких функций !Р и !(! положим р (!р, !(!) = 5пр ((р (!) — !(! (е)!. (57.1) !ея Легко проверяется, что функция р(!р, !(!) является метрикой. Справедливость свойств расстояния 1" и 2' ясна непосредствен- но. Проверим справедливость свойства 3*. Пусть <р, Ф и у — ограниченные функции, определенные на множестве Е. Для любого элемента ~нЕ имеем 1(Р(Р) — Х(()/= /~ср (~) — Ф(е)~ + гФ(е) — Х (Р)1) < < !ср (~) — Ф (е)$ + 1Ф (() — х(е)3, поэтому М(~) -Х(~)~~ ацР 1~Р(~) -Ф(~)1 + кпР 1Ф(~) — Х(~)3, Е Е ацр М(~) — х(г)~< я р ~~р(~) — Ф(~)~ + ацр 1Ф(г) — х(1)~, Е Е Е откуда т. е 97 а(р, х)<р(р, Ф)+р(Ф: х).

5. Пусзь 6 — измеримое по Жордану открытое множество л-мерного евклидова пространства И". Множество Х непрерывных на замыкании 6 множества 6 функций образует метрическое пространство, если расстояние между функциями днХ и ФнХ определить по формуле РМ Ф)=(~Ф(х) — Р(х)~а'6 Действительно, если р(ср, Ф~=О, т. е. ) 1Ф(х) — <р(х)|Н6=0, то в силу следствия из свойства 9 кратных интегралов (см. и. 44.6) ~р(х)=Ф(х) для всех хн6 и„следовательно, для всех хн6. Свойство 2' расстояния в этом случае очевидно, а свойство 3' легко проверяется: если ср„Ф и х непрерывны на 6, то р(<р, Ф)=) ~<р(х) — Х(х)~ ЫС=) (~<р(х) — Ф(х)1 + (Ф(х) — Х(х)11 пгг'< <))ср(х) — Ф(х)~ Ыб+ )1Ф(х) — х(х)| Ыб= р(ср, Ф) +р(Ф, у).

В случае п=), 6=(а, Ь1 введенная метрика для непрерывных на отрезке (а, Ь1 функций имеет вид р(<р, Ф)=) ~~р(х) — Ф(х)~ Ых. (57.2) О Естественным образом аналогичное пространство вводится и для функций, определенных на бесконечном промежутке. Например, в случае а= — со, Ь=+со для двух непрерывных абсолютно интегрируемых на всей числовой оси функций Ф и Ф расстояние определяется по формуле р (<р, Ф) = ) ~~р (х) — Ф (х)~ Нх. (57.3) 6.

Рассмотрим множество всевозможных последовательностей х=(х„) денствнтельных чисел, для которых р(х, у) =,! (х„— у„)'. ч=! (57.5) Это определение имеет смысл, так как из сходнмости рядов ,') хг и 2 у! следует сходимость ряда, стоящего в правой «=! я= ! части формулы (57.5). В самом деле, при любом натуральном т в пространстве И для точек (х„..., х„), (у„..., у„), (я„..., г„), справедливо неравенство треугольника (х„— у„)г < ! (х„— к )г + ~> (г у )г (57 6) я= ! я=! л=! Перейдя в этом неравенстве к пределу при т- со и положив г =(), т=1, 2, ..., получим, что ряд (57.5) сходится и, более того, что ,'! (х„— у„)'< 2 х„' + ,'! у„'. Свойства расстояния для функции р (х, у), определенной формулой (57.5), легко проверяются.

Например, неравенство треугольника для нее следует из неравенства (57.6): достаточно в нем перейти к пределу при гп сс. Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (57.4), с метрикой (57.5) называется гильбертовым *' пространством последовательностей и обозначается Упражнения. 1. Проверить аксиомы раотояния лля функции р(Е, ф), определенной формулой (57.3) лл!1 пространства абсолютно интегрируемых непрерывных на всей числовой оси функций. 2. Привести пример послеловатсльности непрерывных функций, сходящейся на некотором отрезке в смысле расстояния (57.2), но не сходя- шейся на этом отрезке в смысле точечной схолимости 1т. с. в смысле опрелеления 3 п. 36.!).

3. Привести пример поспелова тельности, схоляшсйся на некотором отрезке в смысле точечной схопимости, но не сходящейся на этом отрезке в смысле метрики (57.2). ы Д. Гильберт (1862 — 1943) немецкий математик. 98 ~," х г < + ос. (57.4) ч=! Каждая такая последовательность будет называться точкой пространства, а числа х„, п=1, 2, ..., --ее координатами. Расстояние между двумя такими точками х = (х„) и у = (у„) определим по формуле 4. Пусть Х вЂ” метрическое пространство. Определим отклонение между его двумя подмножествами у и Е согласно формуле р(у, 2) = ?пг р(у, ).

ге у. ее Будет ли метрикой функпия р ( у, И) на множестве всех подмножеств метрического пространства ХЗ Всякое подмножество метрического пространства Х, в свою очередь, является метрическим пространством относительно той же метрики и называется яоднространством пространства Х. Определение 2. Два метрических пространства Х и Х' называются изометричными, если между их точками существует взаимно однозначное соответствие ~; сохранягощее расстояние, т. е, такое, что если х'=?'(х), у'=?'(у), хпХ, уаХ, х'пХ', у'вХ', то р(х, у)=р(х', у') (такие соответствия также называются изометричными).