kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 11

Подставляя (56.2) и (56.3) в интеграл (56.1), преобразуем его следующим образом: ( а (у) соа ху+ Ь (у ) яп ху 3 с1у = о (56.7) где ).1 — числа. Поэтому если мы докажем, что для каждой функции т) существуют такие непрерывные финитные функции яь что впррд~(Г0 т),)~(а, Ь) (56.8) )'(,"~)(х) — е)(х)~<а, )'=1, 2, ..., и, (56.9) то, положив д(х) =' 2 )члн(х), 1=! а ).=~ 1),,~, (56.10) (56.11) будем иметь л 51 а а ~~0)(х) — Я(х)~51х = (~ ~ )„т,(х) — ,')" Х,.Рн(х) а)х< а (5б.7) 150.10) < 2 ~)ч! ()Уи(х) — Рн(х)/а)х < а ,')„))ч1 = )е. (56.12) )=1 15б.9) 70 Лемма 1. Д,гя любой функ)сии 7'; абсолютно со)тегрируемой на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь, — со <а<Ь<+ со, и для) любого с>0 суи)есп)вует такая финитна.я непрерывная функция е, что л ) !Дх) — у(х)(а)х<в, вирра(х)~(а, Ь).

(56.5) а Доказательство. Нам уже известно (см. лемму 2 в п. 55.2), что для любой функции 7", указанной в формулировке леммы, и для любого а>0 существует такая ступенчатая функция )р, что ) 37'(х) — )р(х))а)х<а, ьцрр)р~(а, Ь). (566) а Как всякая ступенчатая функция, она является конечной линейной комбинацией характерис)ических функций ~, понуинтеРвалов ~~н ин)~(а, Ь), 1= 1, 2, ..., и: а р(х) = Х );Х (х) (56.13) если х<» или х>71, если»<х<»+8, если»+б<х<)1-8, если 11 — Ь<х<)).

О, х — » б 1, ) — х 8(х) = Для этой функции РР8 (» Ч), (56.15) т. е. функция я — финитная с носителем в интервале (», 71) и для всех хн)ь' выполняется неравенство 0 <)((х) — д(х) < 1. Выберем 8>0 так, чтобы 8<ш)п (56.17) тогда получим ь ) )у(х) — у(х))(1х = ) )у(х) — 8(х))(7хОО ) ()((х) — 8(х))())х+ О 71 Из неравенств (56.6) и (56.12) следует, что ь ь ) фх)-8(х)~ ((х=()~7(х) — (р(х))+((р(х)-8(хЦ ~((х< а О ь ь <) )г(х) — (р(х)1()х+(1(р(х) — 8(х)~(1х < (1+1)а. (56.6) (56.12) Кроме того, из соотношений (56.8) и (56.10) вытекает, что апРР8~(а, ())). (56.14) Ввиду произвольности числа а>0 условия (56.13) и (56.14) равносильны условиям (56.5).

Итак, достаточно доказать утверждение леммы для характеристических функций конечных полуинтервалов. 1 1 Пусть а >О„)( — характерис- 1 1 тическая функция полуинтервала (», 7)), — со<а<»<т)< <6<+со. Рассмотрим непрерывную на всей числовой оси функцию 8(х), график которой изображен на рис. 254: П=((х, у): — со<х<+со, с<у<(1), (56.18) то: 1) интеграл ( 7(х) (р(х, у) с(х .является непрерь(вной на отрезке [с, (('1 функцией пара петра у; 2) д сж -~ х л ) Иу ) 7'(х)ср(х, у)с~х= ) 7'"(х)Их)(р(х, у)Ыу. (56,!9) с — н. — ю С Доказательство. Покажем непрерывность интеграла Ф(у)'=" ) 7'(х)(р(х, у)Ых, (56.20) — к зависящего от параметра уе[с, с('1. Зададим произвольно а>0.

В силу ограниченности функции (р 1х, у), в полосе П существует такая постоянная М>0, что для всех (х, у)еП выполняется неравенство ~ (р (х, у) ! < М )7(х) ср(х, у))<М!7(х)) (56.21) и. следовательно Согласно условию леммы, функция 7'(х) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, поэтому, по признаку Вейерштрасса, интеграл (56.20) равномерно сходится на отрезке [с, с( ). Отсюда вытекает существование такого числа т)„что для всех точек уе [с, (2З' выполняется неравен- ство !) (х) (р(х, у)! ах<-.

с (56.22) ~!ич Функция ср(х, у), будучи непрерывной функцией на конечном прямоугольнике П, ~в ((х, у): — г),<х<()„с<у<(7), 72 (чб + ) (Х(х) — р(х))асх < ( 6(х+ ) (2х=2б < е. я — б (56.161 56.15 Лемма доказана. П Лемма 2. Если функция 7'(х) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, а функция (р(х, у) непрерывна и огриничека в полосе равномерно непрерывна на нем. Поэтому существует такое б,>0, что для всех б, удовлетворяющих неравенству 0<6<6„ будет выполняться неравенство ас(б: ср)<,„ (56.23) з(~у(хП х где сл(б; ср) — модуль непрерывности функции ср на прямоугольнике П,. Зафиксируем какое-либо б>0, удовлетворяющее условию (56.23). Теперь при произвольно выбранных уе(с, ссср' и у+Луп е(с, сс1, лишь бы выполнялось условие )Лу~<Ь, (56.24) будем иметь ~Ф(у+Лу) — Ф(у)~ < ) 11(х)(ср(х, у+Лу) — ср(х, ую от= ))(х)) ( ср(х„у+Лу) — ср(х, у)1ссх+ + ) (с'(х)~ )ср(х, у+Лу) — ср(х, у)~ ссх< ~со(б; ср) ( 'гс'(х)~ с(х+ 1с фх)/ Цср(х, у+Лу)1+ -ч, '»~'-к ч, +~ср(х, у)~1сЬ=со(б; ср) ( ( Г(х)1с(х+ + ) фх) ср(х, у+Лу)/ сЕх+ пйч + ( К(х)ср(х, у)(Их < -+-+-=с.

Это и означает„что функция Ф(у) непрерывна на отрезке (с, с(3. Докажем теперь формулу (56.19). Прежде всего заметим, что, в силу доказанной непрерывности функции (56.20), интеграл в левой части равенства (56.19) существует (как интеграл от непрерывной функции по отрезку). Существование интеграла в правой части равенства (56.19) следует из того, что функция Ч'(х) % г'(х))ср(х, у)с(у с (56.27) является произведением абсолютно интегрируемой на всей числовой оси ?? функцииу"(х) на непрерывную ограниченную на .?? функцию ) ар(х, у) ау с параметра х (см. и.

33.5). Далее, в силу леммы 1, для произвольного а>0 существует такая непрерывная финитная функция ?и что ~/;(х) — у(х)~ а?х<е. (56.25) Для этой функции ?;, согласно теореме 3 и. 53.1, справедлива формула б '-о .с со б ) с?у ) /;(х)ар(х, у)а?х= ) 7,(х)а?х) ар(х, у)с?у (56.26) с с (здесь, в силу финитности функции ?:, можно бесконечные пределы заменить конечными, поэтому здесь и применима теорема 3 из п. 53,1). Покажем, что предел левой части равенства (56.26) при е- 0 б .~- о + о б равен ) а?у ) 7'(х)ар(х, у)а?х, а правой ) /'(х)а?х) ар(х, у)с?у.

с — о о с Для этого оценим отклонения левой и правой частей равенства (56.26) от их предполагаемых предельных значений. Имеем ! ) а?у ( ?;(х) ар(х, у) о?х — ) «?у ( ?'(х)ар(х, у) о?х < с — о с — о <)а?у ) ~?,(х) — ?(х))(ар(х, у)|о?х < <М(а?у ( ) ?;(х) — 7'(х)~а?х= с — со =М(а? — с) ) )у,(х) — ?(х)~ о?х (56.25) <М(Ы вЂ” с)а. Соответственно для правой части имеем + оо а +о а ) 7; (х) а?х ) ар (х, у) а?у — ) ? (х) а?х ) ар (х, у) а?у < 74 - ) Ы(х) — 1( )~г( )!гР(х р)1 1у < р х д < М ) г.г'.(х) —.1(х)~г1- Иг'= гх =М(г1 — с) ) гг",(х) — г'(х)гг)х < М(г1 — с)г. (56.28) г5 в.2 5г Полагая в (56.26) е; О, получим, в силу (56.27) и (56.28), равенство (56.!9).

Б Теорема 1. Еглггг функция 1' абсолютно ишпеерируема на всей чие,гавай огтг Я, то в кггжг)ой точке хе И. в которой еггцеггпвугопг 1(х+О), 7(х — О), 1', (х) и 1х (х), имеепг место равепспгво хх — г)г' 1(1) сов в(х — г) г(1='--'--- . (56.29) о Эта формула называется формулой Фурье. Доказательство, Зафиксируем произвольно точку хеИ, в которой существуют 1(х+О), 1'(х — О), 1'„(х), 7' (х), и рассмотрим интеграл р ех 5(г)) ~и — г1у Я) сову(х — г) г)г. (56.30) О Функция 5(г)) является для интеграла Фурье аналогом часгичной суммы ряда Фурье периодической функции. Так как функция сову(л — г) непрерывна и ограничена на всей плоскости переменных у и г, то, согласно формуле (56.19), в интеграле (56.30) можно поменять порядок интегрирования. Проделав это, получим р о(т)) = — 1(г)г!г сову(л.— г)г(г = (5гх30) к 1(г) — г(г = — )(х+и) г(и. (56.3!) Получившаяся формула является впало~ ом формулы, выражающей частичную сумму ряда Фурье с помощью интеграла Дирихле (см.

(55.17)). Поэтому есгественно попробовать про- 75 вести дальнейшие рассуждения по той же схеме, которая применялась в рядах Фурье при доказательстве теоремы 4 в п. 55.4. Представив интеграл в виде суммы двух интегралов: +«, о +« |=1+1 — и выполнив в первом из них замену и= — ~, получим ~(г)) =-' (~(х+ с)+Д(х — С) ] """'й. о Вспоминая (см. п. 54.4), что при г)>0 ох получим ««1 5(т)) — — — =- ( /(х+~)+Дх — ~)] — й— о — ~~(х+О)+)(х — О)]- """'й= л о л« | ~(-' — ) з1п г)1й+- (х ) (' ) яп ~уй. (56.32) л ) о о Рассмотрим, например, первый интеграл, стоящий в правой части этого равенства. Разобьем его на' два интеграла: Поскольку /(хч-!)-/'(х->0) 1пп ' =/',(х), г -~о 11~ 1/( ) /(' )япг)/г//=О.

о (56.33) /(х !.!) Функция ' также кусочно-непрерывна на любом отрезке полуоси />1 и так как ./(' ) <( /( . 1 /)( то ч х. З3 .~. х х О сй< (/(х+/))й= (/(х))й< ! ! < ( (/'(х))й<+со, х Г(х ~в !) т. е. ' абсолютно интегрируема на этой полуоси и, ! следовательно, в силу той же теоремы, чх в!и!)/Й=О.

/'(х-~ !) ! 1 !пп (56.34) " яох Наконец, из сходимости интеграла ~ — й (см. и. 33.6), х о выполняя замену переменного и=т)/, получаем 77 то — ' — является кусочно-непрерывной функцией /'(х-г !) — /'(хьо) ! переменной / на о~резке (О, 13, поэтому в силу теоремы 2 из и. 55.2, 1пп 1 )япт)гй=г(х+О) 1пп ~ — ди=О. г +х ) и г Из (56.33), (5634) и (56.35) следует, что 1пп — ' .— — я'пт)(дг(=О. ( 7(хч-г) — у(т+О) . +х к о (56.35) Аналогично доказывается, что о э !Ы вЂ” ( -)- ' (' )я~т)уггг=О. о Отсюда, в силу (56.32), получаем у(к во)ч-у(..-- о) 2 — — — сояукгу у(г)созугг(г, ((хоо(+Г( -о( г о о для нечетной /(г+О(одг — О) г — — я(п уж гул Г(г) з(ну(гуг. г' о о 56.2.