kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 13

Если функция 7' абсолютно интегрируема на всей числовой оси И, то ее преобразование Фурье ЕУ' ограничено и непрерывно на и, причем у (у)(» (— 1.у(х)1ссх, 'оуелс, (56.46) 1пп /(у) =О. С л е д с т в и е. Если последовательсность (у'„) интегрируемых на всей числовой оси лс функций и интегрируемая функция 7 таковы, что 1ип ~ (у„'(х) -7(х)~с1х=О, и- со то последовательность образов Фурье /„) сходится ни всей числовой оси к с — образу Фурье функции (56.47) абсолютно абсолютно (56.48) равномерно Итак, нам не только удалось найти преобразование Фурье рассматриваемых функций, но и получить сразу из формулы обращения (56.44) значения двух интегралов: аж О сов ху, к а +у' -2а о , ду= — е '", х>О. а'-уу' 2 о Доказательство теоремы. Заметим, что рассматриваемые в теореме функции принимаю~, вообгце говоря, комплексные значения.

Для доказательства неравенства (56.46) заметим, что 1е ""1=1, и потому (г'(у)1= г'(х)е '""с1х Ях)е '"'/йг= 2е ~2е Ю (г (х)1 г(х. Пл Неравенство (56.46) доказано. Для доказательства свойства (56.47) обозначим через и и е соответственно действительную и мнимые части функции 7: 1'(х)=и(х) +1е(х).

Имеем ("(у)= ~7(г)е о'й= '2х (и (1) + 1а Я) (соз уг — (яп уг) й = /2п 1 — (и(1)СОЗ у1+Е(1) яау1) й— ,/2х,1 — — (и (1) яп уг — е (1) соя уг) й. ~2х Каждый из интегралов ) (и(г) сов у1+ е(1) яп у1) й, ) (и(г) яп уг — е(1) соя уг) й, в силу леммы 2 (см. п. 56.1), является непрерывной функцией (так как функции и (г) и е (1) абсолютно интегрируемы, а функции созуг и яп у1 ограничены и непрерывны) и стремится к нулю в силу теоремы Римана (см.

теорему 2 в п. 55.2) при „1' — ~ со. ~( И)(у) — (рИ)(у)~=~(ТК-Л)(у)~- (56.4в) < ( 1'„(х) — Т(х)) ах. гг2х,) (56.49) Правая чань этого неравенства по условию стремится к нулю при и- со (см. (56.48)), поэтому и левая его часть стремится к нулю. При этом, поскольку правая часть неравенства (56.49) не зависит от у, стремление к нулю разности (г" 1т"„1) (у) — (с И)(у) происходит равномерно на Й, а это и означает равномерную сходимость на Й последовательности (Г(у„) ) к функции Р(Т1. и 56.8.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНЫХ Т е о р е м а 3. Пусть абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция Т имеет и абсолютно интегрируе,иых и непрерывных на всей оси производных. Тогда Г~'"'1=(1у)" Г~Я, й=О, 1, ..., и, (56.50) и существует постоянная М)0 тикая, что 1РИ~ ~ (56.51) Доказательство.

Пусть сначала функция Т принимает только действительные значения. Если Т абсолютно интегрируема на всей оси вместе со своей производной ~' и эта производная непрерывна, то .1 (х) =л* (О) + ) .Г (') а' о Интеграл ) (~'(г)~сй по условию теоремы сходится, значит, .~- оэ сходится и интеграл ) ~'(1)гй; поэтому, в силу определения х сходимости интеграла, существуют пределы 1пп ) Т'(2)с~2 и, х асов Таким образом, мнимая и действительная части функции т' непрерывны и стремятся к нулю при у- со; следовательно, эти свойства присущи и самой функции Т.

Теорема доказана. П Следствие вытекает из неравенства (56.46): следовательно, пределы !пп Ях). При этом из сходимости х ~и, инте~ рала ) ф) й следует, что указанные пределы равны нулю: 1пп 7(х)=0. Применив интегрирование по частям к х-~ ~- ас формуле преобразования Фурье, получим У~Я=---- ) 7'(х)е '""г(х= 2(х)е '"' + ег2х,/ 2х + . /(х)е'"~гй=1уР[г'З. Г2х Таким образом, дифференцирование функции приводит к умножению ее преобразования Фурье на множитель гу.

Если теперь )'=и+(е, где и и е — вещественные функции, и снова 7' абсолютно интегрируема вместе со своей производной )'=и'+г' и эта производная непрерывна, то Г[('1=Г[и'+1е'~=Г[и'~ +(Г[а'1=(кР[а~ — уГ[е~= = Гуг [и+ Ге~)=(уГ[Я . Формула (56.50) при и=! доказана. Для произвольного и она получается отсюда по индукции. Функция Г [(х"' З ограничена (см. теорему 2), поэтому верхняя грань М = ьнр Е [7'"'~ конечна и, следо— х(у<~-и: вяз ельно, оценка (56.51) следует из формулы (56.50) при /с=и. П Итак, чем больше абсолютно интегрируемых производных имеет функция 7; тем быстрее стремится к нулю на бесконечности ее преобразование Фурье. Заметим, что теорема 2 вместе с ее доказательством остается справедливой и в случае, когда производная и-го порядка рассматриваемой функции является не непрерывной, а имеет конечное число разрывов первого рода (см.

п. 5.13) при сохранении остальных предположений. Действительно, в этом случае указанная производная на любом конечном отрезке является кусочно-непрерывной функцией (см. п. 27.10 е) и 89 поэтому проводимое в доказательстве интегрирование по частям законно (см. п. 30.2 и 33.2). У п р а и не н не 2. Доказать, что преобразование Фурье г" (у) функции / 1'г у(х)= з равно Π—,) при у х. 1+И' (эуз) ббть СВЕРТКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Пусть функции гр и ф определены на всей действительной оси. В различных вопросах математики часто используется так называемая свертки функций гр и Чг, которая обозначается граф, или, если х — — аргумент свертки, через (граэр)(х), и определяется равенством (грацг)(х)= ( гр(г) э)г(х — у) гзг.

(56. 52) Для простоты в этом пункте будем предполагать, что рассматриваемые функции гр(у), ф(г), Е(у) принимают только действительные значения. Интеграл (56.52) заведомо существует, если обе функции ограничены и абсолютно интегрируемые'. При этом интеграл (56.52) и, более того, интеграл ( ~гр(~)э)г(х — у)~ей равномерно сходятся на всей действительной оси. В самом деле, в силу ограниченности функции эр, имеем ~эи«М, где М вЂ”вЂ” постоянная, поэтому для всех х и 2 ~гр(у) ф(х — у)~«М~гр(ф и сделанное утверждение в силу абсолютной интегрируемости функции гр вытекает из признака Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов (см.

п. 54.1). Из приведенных рассуждений следует также, что если функции гр и $ ограничены, абсолютно интегрируемы и непрерывны, то и их свертка Гтакже непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема. Действительно, непрерывность функции у следует из равномерной *' Супзествование иите1рала (56.52) можно гарантировать и при более обгпих условиях, однако мы на этом не будем здесь останавливаться. оо сходимости интеграла (56.52), а ограниченность — из оценки )(ер «ф) (х)) ~ ~) )ер (е) ф (х- е)( еЕе(» М ) )ер (е)( «ее. Докажем абсолютную интегрируемнсть свертки.

Пусть Е"=еряф; имеем (е(х)~ «Ех= ) «Ех ) ер(е) ф(х — е) «Ее < +ю -«о ( ) «Ех ) (ер(Е)ф(х — Е)(«ЕЕ= .«х '«Я = )' )ер(е))сЕе ) /ф(х — е)~«Ех= — !ер(е)/ «Ее ) (ф(з)| «Ь. (56.53) Далее, производя в ниже написанном интеграле замену переменного Е=у — г„меняя порядок интегрирования и делая 91 Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу того (см. теорему 7 п. 54.3), что интеграл ) ~ер(е)ф(х — е)~еЕе равномерно сходится на всей оси, интеграл ) ~ер(Е)ф(х — е)~ еЕх= =~ер(е)~ ) ~ф(х — е)(«Ех равномерно сходится на любом конеч- С .« ~с ном отрезке, а повторный интеграл ( «Ех ) (ер(е)ф(х — е)(«Ее, как это следует из последнего равенства формулы (56.53), существует.

Таким образом, при сделанных предположениях к функции Е"=«р*ф можно в свою очередь применять операцию свертки с некоторой непрерывной ограниченной и абсолютно интегрируемой функцией (причем снова получится функция того же класса) или преобразование Фурье. Операция свертки функций комзеутативна и ассочиитивна в рассматриваемом классе функций. Действительно, выполнив в интеграле (56.52) замену переменного х — е=т, получим ер*ф = ) ер (е) ф (х — е) «Ее = ) ер (х — «) ф (т) еЕЕ = фмр. замену х — у+Р=Ч, получим (~р*ф)яу= ( )((у — х)Ых ( ~р(~)ф(х — 1)й= чх ч ° = ) ~(у-х)Ых ) <р(у-~)ф(х-у+6)~Е,= — х Ю <р (у — г,-) Й~ ( ф (х — у+ г,) т (у — х) Ых = ) р(у — 1)~ ) ф(ч)х(1 — )Мч=(ф*х)*р=ф (ф*х) Возможность перестановки порядка интегрирования и в этом случае следует из теоремы 7 и. 54.3.

Действительно, исследуем на равномерную сходимость интегралы у (у — х) ) <р(у — Р) ф(х — у+~) Щ, (56.54) ~р(у — ~) ) ф(х — у+~)Х(у — х)Их. (56.55) В силу ограниченности функций ф и )(, имеем (ф(» М, ф < М, где М вЂ” постоянная, и поэтому ~~ (у — х) ~р (у — Р) ф (х — у+ ~)! < М ' ~~р (у — ~)(, йр (у — Е) ф (х — у+0) у (у — х)( <М' /",((у — х)/.

Из этих неравенств и абсолютной интегрируемости функций д н у, следует, согласно признаку Вейерштрасса, что интегралы (56. 54) и (56.55) равномерно сходятся соответственно относительно переменных х и г, (переменная у фиксирована) на любом конечном отрезке (почему?). Наконец, существует повторный интеграл ~-х ~-а 1х )' (((у — х) ср(у — 6) ф(х — у+~)( аЕ,=()(р) *)ф() *))((. Таким образом, все условия указанной теоремы 7 из п. 54.3 выполнены.

Следует заметить, что при рассмотрении сверток функций можно существенно ослабить ограничения, накладываемые на свертываемые функции. Однако доказательство свойств сверток в этом случае потребовало бы прежде всего более тонких теорем о перемене порядка интегрирования. Для простоты изложения мы не стали этого делать. Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток двух функций. Для удобства видоизменим определение свертки 92 <Р ь ч<, добавив дополнительный множитель 1,< г<2я: <р * <(< = — <р (г) <(< (х — г) й. 2к,/ Теорема 4. Лусть функции <р и ч< ограничены, непрерывны и аб<олютно интегрируемы на числовой оси, Тогда Е [<р ь <(<1 = Е [<р) Г [<(<) . Доказательство.

Функции <Р и <(< ограничены, непрерывны и абсолютно интегрируемы, поэтому функция <р * ф обладает теми же свойствами, в частности, она абсолютно интегрируема, и для нее можно рассматривать преобразование Фурье Г[<р ь <(<) = — е '"' а<х <р (<) ф (х — <) й. Меняя здесь порядок интегрирования (что возможно в силу теоремы 7 п. 54.3) и производя замену переменного .к=<+в, получим Г[<р ц= — <р(<)й ф(х — <)е <зха<х= ) <р(Г)е ьяа<Г <(<(в)е ьхаз=с [<р ~г'щ т.