kudryavtsev3a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 3

Определение 7. Функция 7; определенная ни всей числовой оси, называепгся финитной ступенчатой функцией, !'ели опа является линейной ко.чбинацией конечного числа характерно!т!ических функций попарно не пересеки!о!цихся полуинтервалов [ио о;), г=!, 2, .... т, т. е. если она представимо в виде (55.7) (рис. 247), где Х!(х) --.таракп!еристпическая функция инп!ервали [ао Ь!), а Хо !=1, ..., т,--и!которые действительиые числи. Нетрудно убедиться, что если не требовать, чтобы полуинтервалы [а!, о,.), !=1, 2, ..., т, попарно не пересекались, то получится равносильное определение. Это следует из того, что пересечение конечного числа рассматриваемых ограниченных полуинтервалов является также полуинтервалом того же вида.

Очевидно, всякая функция вида (55.7) финитна. " От зат. апррос!т — опора. !2 Финитная ступенчатая функция г' интегрируема на всей числовой оси, при этом если она задана формулой (55.7), то ) г(х)с~л= 2 Х, ) у,(х)сЬх= 2 Ц) Ил= 2' "вч(Ь,— а!). г=! — т г=! а г=- ! ! ') хнррср„~(а, Ь), 2') 1пп ) 17'(х) — гр„(х)) сКх=О. Доказательство.

Пусть функция г' абсолютно интегрируема на промежутке с концами а и Ь. Допустим для определенности, что она интегрируема на любом от- резке г) ], — оз (~ а < с ( т) ( Ь < + со (общий случай абсолютно интегрируемой функции, см. п. 55.1, легко сводится к этому). Тогда, согласно определению несобственного интеграла, для любого фиксированного числа а > О существуют такие числа и т), что л с ~ г(х) ~ сХх+ 17 (х)! с(х< -'. (55.8) Функция у' интегрируема по Риману на отрезке и„ следовательно, если обозначить через т, нижнюю сумму Дарбу функции ~: соответствующую разбиению т отрезка г)], то Игп г,=)у'(х)пх, в Поэтому существует разбие~акое, что если х — — нижняя " зв соответствующая разбиению где 1т~ — мелкость разбиения т.

ние то=,'т,.',';=.", отрезка (с, т)] сумма Дарбу для функции 1; то те !3 Упражнение 3. Доказать. что всякая непрерывная на отрезке функпия является прслелом равномерно сходящейся послеловательности финитных ступенчатых функпий. носители которых приналлсжат тому жс отрезку. Лемма 2. Д,гхг .побой функции 7; аосолютно июпеерируемой пи конечно.и или бесконечном промелгсутке с концими и и Ь, — оо<и<Ь<+осг, сугцестпуепг последовательность тикик финптных стгпелчапгьт функций ср„, и=1, 2, ..., что: з, = ~ т,.Ахи т,.= 1пр У'(х), Л.х,=х,— х,, 1=1, 2, ..., К ,чгкч то О < г (х) Их — т,„<-', где с фиксированное выше число.

Положим ( и,, если х,,<х<х,, 1=1, 2, ..., /с, ( О, если .х<г, илн х>ц. Очевидно гр(х) — финитная ступенчатая функция, ь апрр<рс[6, г1~с(а, Ь) и ) гр(х)хЬ= ~ и,Лл,=х,„. Следовательно, ч ч [Х(х) — гр(х))г1х=,г(х)Нх — <р(х)ах= /(х)ах — з, <-, (55.10) при этом поскольку ~р(х)<у'(х), г,<л<т), то г'(х) — <р (.х) = Ях) — <р (.х) ) > О. Из неравенств (55.8) и (55.10) имеем ь ч ь ) ~ У(х) — гр(х)! дх=) )1(х)~ ь1х+ ( [Дх) — гр(х)) ь1х+) фх)) Ых< с. 1 Полагая, например, с=- и обозначая соответствующие финитч ные ступенчатые функции ~р через <р„, л=1, 2, ..., получим последовательность фипитных ступенчатых функций <р„, для которой выполняется утверждение леммы.

Л Замечание 1. Заметим, что из определения ступенчатой функции <р, построенной при доказательстве теоремы 2 (см. (55.9)), следует, что если для всех л н [г„т)) выполняется неравенство ) у(х)!<с, !4 Для этой ступенчатой функции (поскольку для ступенчатых функций теорема уже доказана) существует такое ч„что при ~ ч1>ч, ср(х)япчхдх <-.

2 й Поэтому, используя тождество у'(х)= [1'(х) — ьр(х)]+ьр(х), при ~ч~>ч, получим ь ь [Дх)япчхдх < ([У(х) — ьр(х)] я)пчхаьх + Р а ь ь ь + ) ьр(х)япчхах «<11Г(х) — (Р(х)~й~х+ ь1)(х)ыпухььх < — + — =с. а к а ь Это означает, что !пп )у(х) япчхь1х=О. Аналогично доказывается, что 1пп ) т'(х) соя чхаьх=О.

П и 55.3. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ о„(х; ~)= — "+ 2 а сов'кх+Бья1п/сх= ь=1 я л = — ~ Я)й+ ~ — ~ у(ь)(созйьсоя)ех+яп/сьяп)ьх)й= "! ('. 2п ~ ь=1к" — г(!) -+ ,'ь сояк(ь — х) Й. к ) 12 й (55.11) 16 Пусть функция 1'(х) абсолютно интегрируема на отрезке [ — к, я]. Найдем удобное для исследований выражение частичной суммы Я„(х; )') ряда Фурье функции у'„называемой также просто суммой Фурье п-го порядка п = О, 1, 2, ..., этой функции. Подставив в о„(х; у) выражения для коэффициентов Фурье (55.6), получим Положим Ю„(г)=-+ 2 сов/сб п=О, 1, 2, л (55.12) тогда формула (55.11) перепишется в виде Я„(х; У)=- П„(~ — х)Я) й. Функция 27„(~) называется ядро.и Дирихле, а интеграл, стоящий в правой части равенства (55.13),— интегралом Дирихле. Лемма 3.

Ядро Дирихле: 1) четная непрерывная 2я-периодическая функния, причел~ (55.13) Х>„(О) = п+-; 2) удовлетворяет условию (55.14) 3) при 7~2як, к=О, +1, +2, йп пл-— В„(7)= — —, п=О, 1, 2, 2йв— 2 (55.15) л л П Р„(7)й=- й+ ,'> ~совИй=к, х=~ д ибо при )г=1, 2, ...: ) соз)с~й=О. ' Е 17 Доказательство. Непрерывность, четность и существование периода, равного 2я, для ядра Дирнхле 23„(7) непосредственно следуе~ из его определения, т.

е. из формулы (55.12). Из этой же формулы следует и равенство (55.14): чтобы его получить, достаточно проинтегрировать по отрезку ( — я, к3 обе части равенства (55.12): Докажем теперь формулу (55.15). Имеем Р„(!)= — + ~ сов)сслл — — — ! 5!и-+ ~" 2ып-сох|с! ! ! 5=1 ""2 ! Г . ! !'. 2/~+~, 2Я вЂ” ! ~ 51п-+ 2„~5!и — ! — ып су! 2,(, 2 2 2яп- 2 яп и»-- ! — — — сФ.2я)с, /с=О, +1, +2, ! 25!П— 2 поэтому л л ) Р„(!)й=2) Р„(!)й.

— л о Отсюда и из свойства 2" ядра Дирихле следует, что — Р„(!) й=!. и (55.16) Заметим еще, что правая часть равенства (55.15) имеет смысл лишь при сФ2ясс, 1с — целое. Но так как 5!и ~п»- — ! !пп 5 х = !пп Р„(!)=л+ —, 2, ! ! 2' ! 2 !сп 2 5!и — ! 2!лп 2 яп и»-— то функцию — можно доопределить при с=2клс, !с=О, 2яп— 2 +1. +2, ..., считая ее значение в каждой из этих точек по !х По существу, эта формула была нами уже доказана (см. формулу (34.89) в первом томе). Мы воспроизвели здесь доказательство лишь для удобства читателя.

Отметим, что, в силу четности ядра Дирихле, о л )' Р„(!) й=) Р„(!) й, и 5„(х; 7') = — 79„(!) ( Р(х+ !) +('(х — !)1 ап в Следствие. Для любых бн(0, к), хн( — к, к1 частичная сум.иа 5„(х;/) ряди Фурье 2п-периодической абсолютно интегрируемой функции !' обладает следующим асимптотическим интегральным представлением: ь 5„(х; 7')= — )9„(!) ( ((х+ !) +~(х — !)) дг+о(1), и- со.

(55.19) о Доказательство леммы. Выполним в интеграле Дирихле (55.!3) замену переменной интегрирования и=! — х: й л — х з„(х: !)= — 77„(! — х)р(!) а!= — )3„(и)7(х+и)аи= — 22„(и)7 (х+ и) аи. -л (55.20) !9 ! определению равным п+ -. Доопределенная указанным спосо- 2 бом функция непрерывна при г=2к)с для всех целых )з Вернемся к рассмотрению функции 7: абсолютно интегрируемой на отрезке ( — к,к).

Нас будет интересовать, в частности, предел последовательности частичных сумм о„(х;7) ее ряда Фурье. Заметим, что непосредственно перейти к пределу при и-+ со в правой части равенства (55.13), г. е. перейти к пределу под знаком интеграла, нельзя, так как предел ядра Дирихле при и- со не сугцествует. Продолжим функцию 7' с полуинтервала ( — к, к) в 2к-периодическую функцию и обозначим ее также через 7' (подробнее о периодическом продолжении см. в п. 55.1). Периодическую с периодом 2я функцию, абсолютно интегрируемую на отрезке ( — л, к), будем называть для краткости 2ппериодической абсолютно интегрируемой (на периоде) функцией. Докажем следуюгную лемму.

Лемма 4. Для частичной суммь! Фурье о„(х; 7) 2я-периодической абсолютно интегрируемой функции 7' сприведливы формулы 5„(х;У)=' ( П„(!)~(х+!) й (55.17) — и Р„( — и) = Р„(и) (см. лемму 3). В результате будем иметь о 5„(х; 1) = — Р„(и) 1(х+ и) с7и = — Р„(и) г'(х+ и) ~1и+ й — п й л л + — Р„(иЯх+и) с!я= — Р,ЯГ(х — г) й+ — Р„(иЯх+и) с3и= о о о — Р„(1) ( Г(к+ г) +~(т — !Я й.

о Формула (55.18) также доказана. ! ! Доказательство следствия. Зафиксируем число 8, О<Вся, и представим правую часть (55.18) в виде суммы двух интегралов следующим образом: к и ~„(х; 1) =- +— о к (55.2! ) 1 Поскольку функция непрерывна, а следовательно, и ( 2йп— 2 рн-ц ~ Э ! (и 20 Мы снова воспользовались здесь тем обстоятельством, что интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна ее периоду, не зависит от положения этого отрезка на действительной оси (см. п.

55.1), и применили это свойство к 2к-периодической по и функции Р„(и)1'(х+и). Итак, формула (55.17) доказана. Для доказательства формулы (55.! 8) представим правую часть равенства (55.20) в виде суммы двух интегралов с промежутками интегрирования ( — к, ОЗ и (О, яЗ; в первом интеграле выполним замену переменной и= — ! и воспользуемся четностью ядра Дирихле: ! ! 0« — 1, а функция 1'(х+!) +г'(х — !) при любом фиксиь/ 2йп — 2в!и— 2 2 рованном хе'( — к, к) 2я-периодична по ! и абсолютно интегрируема на отрезке ( — я, я), то на (б, к) абсолютно интегрируемо р(х~-!) -ьу(х — !) и их произведение ' ' .

Поэтому, согласно теоре2йпме Римана (см. теорему 2 в п. 55.2), второй интеграл в правой части равенства (55.21) стремится к нулю при п- со, т. е. к ! ) !(я+!) +Р(х — !) . р — -' — <-и!п~ и+-! !с!!=о(!), и- ээ, в 1, 2) 2 нов о 2 Подставляя это выражение в (55.2!), получим формулу (55.19). П Из формулы (55.19) следует одно важное свойство рядов Фурье, называемое принципом локализации. Сформулируем его в виде теоремы. Теорема 3 (иринцин локализации). Если г- 2к-периодическая аосолютно инпгегрир>ея!ая функция, пю существование и значение предела последовательности ее часнгичных сумм Фурье 5„(х; !') в люоой пзочгсе хо в Й зависит только от сущеаивования и значения предела при и- со интеграла ь — !)„(гЯ (х„+ !) + (х, — !)') й, о где б — сколь угодно .чалое положительное число.