Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 9

Строим ломаные Эйлера у„=уо(х, р), являющиеся непрерывными функциями р, и, повторяя рассуждения на стр. 40 — 45, получим, что последовательность у„(х, р) сходится равномерно пе только гго х, но и по р при х, е х с хо+Н, ро:.- р (1гг, так как М и Н ь не зависят от р, если Н( гп!п(а, —, — 1, где г)г()~)у(х, у, р)). Следовательно, решение у=у(х, р) уравнения л у = уз + ) 1 (х, у, р) дх, л, (1.35) являющееся пределом последовательности у„(х, р), непрерывно не только по х, но и по р. Замечание. Если применить к уравнению (1.35) метод последовательных приближений. то последовательные приближения у = =у„(х, р), являющиеся непрерывными функциями х и р, равномерно сходятся к решению у(х, р) уравнения (1.35) (так как а= =ИИ(1 не завнсиз от р).

Следовательно, н эгим методом можно доказать непрерывную зависимость решения от х и р. Очевидно, что доказательство нисколько не изменится, если правая часть уравнения (1.34) является непрерывной функцией нескольких параметров в предположении, конечно, что постоянная Липшица М от них не зависит. Тем же методом при аналогичных условиях можно было бы доказать непрерывную зависимость решения у(х, хо, уо) уравнения — =1'(х, у) от начальных значений хо и у,, при этом пришлось бы ау ах лишь несколько уменьшить Ио, так как в противном случае решения, определяемые начальными значениями, близкими к хо, уо, могли бы выйти из области О уже при аначениях х, лежащих на интервале хо — Ио С х С хо+ Ио. Однако еще проще заменой переменных свести вопрос о зависимости решения от начальных значений к уже рассмотренному выше З В1 теОРемы существования и единственности 55 случаю зависимости решения ог параметров, содержащихся в правой части уравнения (1.34).

Действительно, полагая я=у(х, хо, уо) — уо, г=х — хо, преобразуем уравнение — =у (х, у) с начальным услоиу йх вием у(хо)=уо в — „Г =у(С+хо, а+уз), е(0)=0. к которому уже люжно применить теорему о непрерывной завнснмосте решения от параметров хо и у,, если функция у непрерывна н удовлетворяет условию Липшица. Аналогичные теоремы теми же методами могут быть доказаны для систем уравнений.

гчо. Ри г Заиегиьи что непрерыв- 1:у - р ~ .'гг ю д г ная зависимость решения У(х, хо. Уо), хо~(х~(Ь (пли д ( х .:-' х,), от начальных значений х и уо означает, что для любого е) 0 можно подобрать Ь(е, Ь) > 0 такое, что из неравенств ~ хо — хо! ( Ь(е Ь) " !уо — уо! к-Ь(е Ь) следует неравенство ',у(х, хо, у,) — у(х, х,, у,) ~ (е (1.36) при хо < х <Ь (рис. 1.18). С возрастанием д число Ь(е, Ь), вообще говоря, уменьшается и при Ь -э оо может стремиться к нулю. Поэтому далеко це всегда удается подобрать такое число Ь(е) ) О, при котором неравенство (1.36) удовлетворялось бы для всех х ) хо, т. в. не всегда решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими при сколь угодно больших значениях аргумента. Рещение, которое мало изменяется при произвольном, но достаточно малол~ изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента, называется устойчивым.

Подробнее об устойчивых решгнияк см. гл. 4. Теорема 1.3 (об аналитической зависимости решения от параметра, теорема Пуанкаре). Решение х(Г, 10 диффереиииальноао уравнекил х.=г(г, х, р), удовлетворяющее условию х(го)=хо, аналитически зависит от параметра р в окрестности значения р = ро, если фукидид у' в заданной области изменении Г и х и в некотоРой окРестности тоюси гьо непРерывна по г и акалитически зависит от р и х. 56 дифевввицилльиыв ввлвипиия пвпаого повидал 1гл. г Аналогичное утверждение справедливо и для системы уравнений х,(г)=~,(г, х,, хз, .... х„.

И) (1=1, 2, ..., и), причем в этом случае предполагается, что функции 7, непрерывны по первому аргументу и аналитически зависят от всех остальных аргументов. Подробное доказательство этой теоремы, как и других теорем, требующих применения теории аналитических функций, иы не приводим, отсылая читателя к статье А. Н. Тихонова (4], где дано наиболее простое доказательство теоремы об аналитической зависимости решения от параметра. Идея доказательства А. Н. Тихонова сводится к следующему: считая, что И может принимать и комплексные значения, доказывается существова- Л„х(б и) дх ние предела Игп " = — . что и означает аналитическую зависал з ЛИ дИ масть решения от И.

Существование этого предела следует из того, что Лих отношение —" удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению Ли й Л„х У(Л х(Г, И-)-ЛИ), И+ЛИ) — У(Г, х(д И), И -1-ЛИ) Лих(Г, И) а'Г ЛИ Ли Лих (Л и) у(г х(б и), и+ли) — у(г, «(г, и) и) л„.» ~ + Ли Ли Р=б решение которого единственно и при стремлеини приращении ЛИ по любому закону к нулю стремится к единственному решению уравнения йг ду дг — = — г+ —, «(тэ) =О.

йт = дх дИ' Теорема 7.4 (о дпгррэеренцируемости решений). Если в окреслсяости точки (хз, уэ) функция 7(х, у) имеет непрерывные производные до я-го порядка включительно, то решение у(х) уравнения — =7(х, У), ту (1.37) удовлетворяющее начальному условию у(хэ) = у, в некоторой окрестности точки (хз, уэ) амеелг непрерывные производные до (а+ 1)-го порядки включительно, Доказательство. Подставляя у(х) в уравнение (1.37), получаем тождество д = — 7" (х, У(х)). ду дх (1.37,) и следовательно, решение у (х) имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную 7 (х, у (х)).

а з1 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 57 Тогла, в силу существования непрерывных производных функции у, будет существовать непрерывная вторая производная решения — = — + — — = — + — у(х, у(х)). дау дУ дУ ду дУ дУ дла дх ду дх дх ду Если к ) 1, то, з силу существования непрерывных производных второго порядка функции 7", можно, дифференцируя еще раз тождество (1.37,), обнаружить существование и непрерывность третьей производной решения даУ дЯУ дЯУ даУ я дУ / дУ дУ вЂ” = — + 2 — 7 + — У'+ — 1 — + — У) дх' дха дх ду ду' ду 1 дх ду Повторяя зто рассуждение к раз, докажем утверждение теоремы. Рассмотрим теперь точки (хз, у„), в окрестности которых решения уравнения — = у(х, у), уловлетворяюшего условию у (ха) = ув, ду дх не существует нлн решение существует, но не елинственно. Такие точки называются особыми точками.

Кривая, состоящая сплошь нз особых точек, называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым. Для нахождения особых точек илн особых кривых надо прежде всего найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, так как только среди таких точек могут быть особые.

Конечно, не кажлая точка, в которой нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, обязательно является особой, так как условия втой теоремы достаточны для сушестнования и единственности решения, но они не являются необходимыми. Первое условие теоремы существования и единственности решения (см. стр. 40] нарушается в точках разрыва функции у(х. у), причем если при приближении по любому пути к некоторой изолиРованной точке РазРыва (ха, У„) фУнкциа 7' (х, У) неогРаниченно возрастает по модулю, то в тех залачах, з которых переменные х и у равноправны. как мы условились выше.

уравнение — = у(х, у) ду дх а'х ! должно быть заменено уравнением — „= ( ), лля которого ду У(х. у) ' правая часть уже непрерывна в точке (ха, уа), если считать 1 = О. у(ла уа) Следовательно, в задачах, в которых переменные х и у равноправны, первое условие теоремы существования и единственности нарушается в тех точках, в которых и функция у (х, у) и 1 у(л у) разрывны. 58 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЛ.! Особенно часто приходится рассматривать уравнения аида Му А((х, у) Фх М(х, у) ' М(х, у) и !у'(х, у) непрерывны. В этом случае функ- и ( ' ) будут олновременпо разрывны лишь в тех Аг(х, у) Л (х, у) (1.38) где функции М(х, у) "~(х у) Рис.

1.19. Рис. 1.20. точках (хо уо) в которых М(хо, уо)=И(хо, уо)=0 и не сушествуег пределов 1!ш .И(х. У) «.+«Аг(х, у) У '+У !!щ Аг(х, у) «~«. М (х, у) ' У -УУ Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения (1.38). !!Ример 3 йу 2у ах .т кх х Правые части данного уравнения и уравнения — = — разрывны !(у 2у в точке х=О, У=О. Интегрируя уравнение, получим у=ох' — семейство парабол (рис, 1.19) и х О. В начале координат — особая точка, называемая узлом. Пример 4.

~~у у лх х 4 а) творимы сгщаствовлиия и идинстввнности 59 дх х Правые части данного уравнения и уравнения — = — — разрывны "У У с в точке х О, у = О. Интегрируя уравнение, получаем у = — — семейство х гипербол (рис. 1.20) и прямую х = О. В начале координат — особая точка, называемая седлом. Пример 5. ду х+у дх х — у дх х — у Правые части данно~о уравнения и уравнения — = — разрывны ду х+у в точке х=О, у=0.

Интегрируя рассматриваемое однородное уравнение (сравните с примером 3 ва стр. 36), получим: ассфа— У 1' х'+ у' = сл вли в полярных координатах р = сев — логарифмические спирали (рис. 1.21). Особая точка такого типа называется фокусом. П име б, р Р ду х дх дх у Правые части данного уравнения и уравнения — = — — разрывны с'у х в точке х=О, у=О. Интегрируя уравнение, получаем х'+у'=с' — семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 1.22), Особая точка Рис, 122. Рис. 1.21. такого типа, т. а особая точка, окрестность которой заполнена семейством замкнутых интегральных кривых, называется ценгиром'.

В атом примере не существует решения, удовлетворяющего условию у (0) =О. К вопросу об особых точках и их классификации мы с несколько иной точки зрения еще вернемся в главе 4. Второе условие теоремы 1.1 существования и единственности решения — условие Липшнца, или более грубое условие, требующее существования ограниченной частной производной —, чаще всего д/ ду ' 60 ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ, 1 нарушается в точках, при приближении к которым — неограни- ду 1 ченнно возрастает, т. е. в точках. в которых — =О.

дУ ду 1 Уравнение — =О, вообще говоря, определяет некоторую кри- дУ д) вую, в точках которой может быть нарушена единственность. Если в точках этой кривой единственность нарушена, то кривая будет особой, если, кроме того, эта криван окажется интегральной, то получим особую интегральную кривую. Возыо(кно, что кривая 1 ду " ду имеет несколько ветвей. тогда лля каждой ветви надо решить вопрос о том, будет ли эта ветвь особой кривой и будет ли она интегральной кривой. Ю Пример 7. Имеет ли уравие- ду ние — = у'+ х' особое решение? дх Условия теоремы существования и единственности выполнены в окрестности любой точки, следовательно, особого решения нет. П р и и е р 8.

Имеет ли уравнеРис. 1.23. ние — = !/(у — х)'+5 особое реду з дх шение? ! дУ 2 Правая часть непрерывна, но частная производная — = — (у — х) ду 3 неограниченно возрастает при приближении к прямой у = х, следовательно, на прямой у = х может нарушиться единственность. Но функция у = х не удовлетворяет рассматриваемому уравнению, следовательно, особого решения нет. ду П р и и е р 9. Имеет ли уравнение — = ~/(у — х)'+ 1 особое ре- дх шеиие? 1 Как и в предыдущем примере, уравнение — =О имеет вид у =х, но дУ ду на этот раз функция у = х удовлетворяет данному уравнению. Остается выяснить, нарушена ли единственность в точках этой прямой.