Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 8

1.16). 2) — = у'. 7(1) =1. Разделяя переменные и интегрируя, получим ггу пх ! ! у= — —, с='2, у= — —,, х — с' ' х — 2' и интегральная кривая продолжаема лишь до асимптоты х = 2 ( — со < х < 2) (рис. 1.17). В настоящее время теоремы существования и единственности решеНий не только дифференциальных уравнений, но и уравнений иных типов очень часто доказывают методом неподвижных точек. 48 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ.

! Простейшей теоремой о неподвижных точках является принцип сжатых отображений. Принцип сжапгым опзобразсений. Если в метрическом «) полком«") пространстве М задан оператор А, удовлетворяющий условиям: 1) оператор А переводит точки просгпракства М в точки того же пространства: если У~М, то А[у[~М; 2) оператор А сближает точки, точнее, р(А[у[, А[«1) <ар(у, «), где у и « — любые точки пространства М, и С 1 и не зависит от выбора у и «, р(у, «) — расстояние между точками у и « в пространстве М, то существует единственная неподвижная точка у пространства М, А[у[ =у, и зта точка может быть найдена методом последовательных приближений, оп.

е. у= Пш у„где У„=А[уз,[ (п=!, 2, ...), причем точки уо выбирается е пространстве М произвольно, Й о к а з а т е л ь с т з о. Докажем, что последовательность Уо У1 Уз ° ° ° Ул фундаментальна. Оценим расстояние межлу соседними членами этой последовательности: Р(уз У1)=Р(А[У~[ А[уо1)~(ар(У1 Уо) Р(уз уг)=р(А[уз[, А[уг[)(ар(уг уь) <пгр(у уо) Р(У «Р У„)=Р(А[У„1, А [У„,1) ( (1.31) < "Р(У ° У -ь)~<п Р(уь Уо) ") Пространство М называется метрическим, если в нем определена функция р(у, «) пар точек етого пространства, удовлетворяющая длн любых точек у и « рассматриваемого пространства условиям: 1) Р (у, «) Р О, причем р (у, у) = 0 и из р (у, «) = 0 следует у = «; 2) р (у, «) = р («, у); 3) р (у, «) < р (у, и) + р (и, «) (правило треугольника). функция р называется расстоянием в пространстве Аг. ««) Метрическое пространство А( называется полным, если каждая фундаментальная последовательность точек пространства М сходится в етом пространстве.

Напомним, что последовательность уь у,, ..., у„, ... называется фундаментальной, если для каждого е > О можно подобрать число Аг(е) такое, что при п,и ж(г) расстояние р(ул, у„«ы) < з при любом целом т > О. а щ теснимы стшествования и единственности 49 Применяя теперь т — 1 раз правило треугольника и используя неравенства (1.31), получим Р(уа' Уо ~ м) <Р(ув' Уи>1) ! Р(улш Уььо)+ ... +Р(у„ь н у„, ) <[и" +а"''+ ... +а"" -'[р(ун у,)= вл ильм а" Р(уз Уо)< 1 ар(уз Уо)<е при достаточно большом и.

Следовательно, последовательность уо, уи у,, ..., у„, ... фундаментальна и, в силу полноты пространства М, сходится к некоторому элементу того же пространства: 1нп у„= у, у <= М. в "ь Докажем теперь, что у является неподвижнои точкой. Пусть А [у[ =у. Применяя двз раза правило треугольника, получим Р(У У) <Р(У* У,)+Р(У, У, . )+.Р(У У). Для любого е > б можно выбрать М(е) такое, что при и.- И(е) 1) р(у, у,! < о, так как у = !!ш у„; ч.кс е 2) Р (У Уо+,) 3, так как последовательность у„ фундаментальна; 3) Р(у„ен у)=р(А[У„1, А [У1) <ао(ун, у)< —, откуда р(у, У) <е. где е можно выбразь сколь угодно малым.

Следовательно, р(у, у)=0 и у=у, А[у[=у, Остается доказать, что неподвижная точка у единственна. Если бы сушествовала еше одна неподвижная точка а, то р(А[У[, А[я[)=о(у, а), что противоречит условию 2) теоремы. Применим принцип сжатых отображений к доказательству теоремы существования н единственности решения у (х) (хо — !го < < х (хо+йо) дифференциального уравнения — „=у (х, у), удои'у влетворяюшего условию у(хо) = уо, в прелположении, что в области О «о — а <х< хо+в Уо и <У <Уз+о фуннция ~ непрерывна и, следовательно, ограничена [у[ < М и удовлетворяет условию Лнпшица [У(х, У) — У(х, я)[ <дг[У вЂ” я[. Ь ! Число йо (ш!п(а, — ! н будет точнее выбрано ниже.

'4 л. э. эоьсгольц бб диффаяанцилльныа квлвнання ивяного повадка 1гл. ~ Рассмотрим полное метрическое пространство С, гочками которого являются всевозможные непрерывные функции у(х), определенные на отрезке хз — )гз.4 х ~ ха+ йз, графики которых лежат в области В, а расстояние определяется равенством р(у, л) = гпах [у — л[, где максимум берется при х, изменяющемся на отрезке х„— л„( х -., х„+дз. Это пространство часто рассматривается в раз,чииык вопросах математического анализа и носит название нространсгиаа равномерной сходимосгли, так как схолимость в смысле метрики этого пространства означает равномерную скодимость. Заменим дифференциальное уравнение — =)'(х, у) с начальным лу л'х условием у(хз)=уз эквивалентным интегральным уравнением у = у, + ~ г' (х, у) 1х.

к, Рассмотрим оператор (1.24) р(А [у], А[а]) ч,.ар(у, г), а < 1, где Х 1 р(А[у], А[а])=щах ] [г'(х, у) — у(х, л)]г(х к, А [у]=у, + ~ г'(х, у(х)) с7х, ставящий в соответствие каждой непрерывной функции у(х), задан- ной на отрезке хе — ггз(х~(ха+Ля н не выходящей из обла- сти с), непрерывную функцию А [у], определенную на том же от- резке, график которой также не выходит из области й, так как к г" (х, у) г(х ~(М/ге (д.

Оператор А [у], следовательно, удовлетво- к, ряет условию 1) принципа сжатых отображений. Уравнение (1.24) при этом запишется в виде у= А [у], н следо- вательно, для доказательства теоремы существования и единствен- ности остается доказать существование в пространстве С единствен- ной неподвижной точки у(х) оператора А, так как в этом случае у = А [у] и уравнение (1.24) удовлетворяется. Для доказательства теоремы остается проверить, удовлетворяет ли оператор А условию 2) принципа сжатых отображений: $ е! твоявмы сшцвствовлния и единственности Г!ользуясь неравенством Лнпшица, получим р(А(у), А)х)) <Ишак ~ !у — з) г(х < с <Ишак (у — з! шак ~ г)х =Ийешах (у — а! = И/гяо(у, з). Выбирая йе так, чтобы Ийе~(а < 1, получим, что оператор А удо- влетворяет условию р(А(у), А(з)) <ар(у, з), а < 1.

'г!так, согласно принципу сжатых отображений сушествует единстве.шая неподвижная ~очка у(х) оператора А, или, что то же самое, единственное непрерывное решение уравнения (1.24), и оно может быть найдено методом последовательных приблшкеннй. Совершенно аналогично можно доказать теорему существования и единственности решения у,(х), уя(х), ..., у„(х) для системы уравнений лу —,'-=у',(х, ун ум .. * у ) у (хе)=уз ((=1 2 "и) (132) н!тн у,=уж+ ~ г(х, у,, ум ..., уя)г(х (1=1, 2, ..., и) (!.33) л в предположении, что в области ГЭ, определяемой неравенствами хе — а~(х<хе-)-а, уе — Ь,<у,<уз+а, (1=1, 2, ..., п), правые части уравнений (1.32) удовлетворяют условиям: 1) все функции ~,(х, ун уя, ..., у„) (1=1, 2...,, а) непрерывны, а следовательно, и ограничены, 1,г",~ < М; 2) все функции ~, (1=1, 2, ....

и) удовлетворяют условию Липшица: !У )У,(х, ун у,...., у„) — У,(х, гн зя...., ая)! <И ~'„)у, — г,!. ~=! Точкой пространства С будет теперь система и непрерывных функций (уг, ую ..., у„), т. е. а-мерная вектор-функция у (х) с координатами у,(х), у,(х), ..., у„(х), определенная на отрезке хе — !ге < х ц' х„ + !ге, где Ьз < ш!и ~а, — , ..., — 1 и бУдет точнее Ь~ бл! О - ДГ,Д) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ РРЛВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1 52 выбрано ниже. Расстояние в пространстве С определяется равенством к р()'(х), Л(х)) = ~~,глах !У1 — аг~, 1=1 ГДЕ Лн гт, ..., ал — КООРДИНатЫ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ Л (Х).

Нетрудно проверить, что при таком определении расстоясия множество С л-мернын вектор-функций )'(х) превращается а полное метрическое пространство. Оператор А определяется равенством к . !сс = Г(лл. + ( с,с.. л,. лт л.) ". к, к с Уто+ ~ Гт(х г! !' " Усл)ах " Улла с ~ Ук(х ° У1 ° Ул " Ук)лтх) л л' т. е. при лействии оператора А на точку (Ун У,, ..., У„) получаем точку того же пространства С с координатами, равными правым частям системы (!.33).

Точка А(Г) принадлежит пространству С, так как все ее координаты являются непрерывными функциячи, не выхолтящими из области В, если координаты вектор-функции У не выходили из области О. Действительно, с к ~ гг(х, у,, уа, ..., Ук)ах (М / сгх ( 1ЧЬе к, Ь1, к к и следовательно, )у! — уге( .((11. Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых отображений: р(А [)'), А (к.)) = к к %ч = 7 исая ! ~ (т'1(Х, Уи УЯ...,, Ук) — т'1(Х, гн а,, ..., ал)) ПсХ!.( 1=1 к чт < 7„ГПаХ ( ) ) (1(Х, Ун УЯ, ..., У„) — Л(Х, ан а,,..., ал) ) Г(Х ( к к (и ~~ гпах! ~ ~ (ус — гл!гхх! ( 1=1 кл 1=1 л !л к (И ~ щах)уг — гг! ~ап1ах ~ / ах ~ =Ипл,р()с, л).

1=1 З а1 твопвмы сящвствовлння и пдннстввнностн 53 Следовательно, если выбрать )зо ( — ", где О ( а < 1, или Мило (а < 1, то условие 2) принципа сжатых отображений будет удовлетворено и будет существовать единственная неподвижная точка Г, причем ее можно найти методом последовательных приближений. Но условие г' = А (Р) по определению оператора А эквивалентно тождествам у,==усе+ ~ у,(х, уо уз, ..., у ) озх (з'= 1, 2, ..., п), где уг(1=1, 2, ..., является единстненным п) — коорлинаты вектор-функции )к, то есть )к решением системы (1.33). несколько последовательных приблн яений уь уь Пример 1.

Найти уз к рсшснию уравнения — = х'+ уз; Йх У(О)=О, — 1(. (1, — гк.»<1. у= / (х'+у') Нх, Л, = изШ~1, —,) = —,. 11 ! ' г) 2' о Полагая у,(х) — = О, получим к к хз , т хз1 хз хг у, = / хззтх= —. у,= 1 (хз+ — ) згх= — + —, 3' ' / (, 9) 3 б3' о о к о П р и м е р 2. При каких ограничениях линейное уравнение — + р (х) у = у (х) зту удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Лля выполнения первого условия теоремы достаточно, чтобы на рассматриваемом отрезке изменения х, а, (х (аз, функции р(х) и у(х) были бы непрерывны.

Прн этом будет выполнейо и второе условие теоремы существования н единственности, тан хах частная производная по у от правой части уравнения — = — р(х] у + у(х) равна — р(х) и вследствие непрезту лх рывности функции р(х) на отрезке а, (х (а, ограничена по модулю (см. стр. 42). Итак, если р(х) и /(х) нейрерйвны на отрезке а,(х(аз, то через каждую точку (х,, у,), где а, < х, < а,, а у, задается произвольно, проходят единственная интегральная кривая рз гмзтриваемого линейного- уравнения. 54 ЛГГФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВГГЕИИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. Г Теорема 1.2 (о непрерывной зависимости решения от параметра и от иачальньгх зггачений), Если правая часть дифференциального уравнения еу „— '=1(х У Р) (1.34) непрерывна ио р при ро.< и ~( р, и удовлетворяет условиям теоремы сушествования и единслгвенности, прггчем постоянная Лггпигигга ггГ не зависит от р, то решение у(х, р) расслгатриваемого уравнения, удовлетворяюигее условию у(хо) =у„, непрерывно зависит от р.