Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 66

3. у = = Лх'+ С,х+ Сь где Сь С, и Л определяются из граничных условий и из иэопериметрического условия. 4. — (р (х) у') + [) г (х) — 4 (х)[ у = О' кх у (0) = 0; у(х,) = О. Тривиальное решение у = 0 не удовлетворяет изопернметрическому условию, а нетривизльные решения, нак известно, существуют лишь прн некоторых значениях Л, называемык собственными значениями. Следовательно, Л должно быть собственным значением. Одна произвольная постоянная общего решения уравнения Эйлера определяется нз условия 5 7 у (0) = О, другая — из изопериметрического условия.

5. у = — — хт -[ — х; г = х. 2 2 К главе 10 5 1. л, = — (х' — а')(ут — ат). Бели необходима большая точность, то 16а' решение можно искать и виде з — — (х' — л') (у' — бт) [а, + а, (хт+ ут)[. З1п х 2. у, =(х — 1)'(0,124+0,218х). 3. Точное решение у = —.— х. 4. Решеып! ние уравнения Эйлера у=-3,60722,(х)+0,75195Г,(х) — х, где l, и У,— 2зйх функции Бесселя. 5.

Точное решение у = — — х. 6. Бели искать решеЗЬ2 ние в виде: уз= х(х — 1)(а,+азх), у,=х(х — 1)(а,+а,х-[-азх'), то у, = х (х — 1) (0,1708 -1- 0,17436х), у, = х (х — 1) (0,1705 -1- 0,1760х — 0.0018хт). Ь заданных точках значения ут и у, с точностью до 0,0001 совпадают. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА К части ! 1. И. Г. П е т ро в с к и й, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 5-е, «Наука», 1964. 2, И. ! М а л к и н, Теория устойчивости движения. Гостехизлат. 1952 (к ~л !Ч). 3.

И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат. 1956 (к 8 8 гл. 2). 4. А Н. Т и х о н о в, 0 зависимости решений днффе)тснциальных уравнений от малого параметра, Математический сборник, т. 22 (64): 2 (1948) и т. 31 (72): 3 (1952) (к 6 6 гл. 4), 5.

В. В. С те ив н о в, Курс дифференциальных уравнений, изд. 8-е, Физматгиз, 1959. 6. А. Н. К ры лов, Лекции о приближенных вычислениях, нзл, 5-е, Гостехиздат, 1950 (к 6 7 гл. 1 и 6 6 гл. 3). 7. И. С. Березин и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. !1, Фнз. матгиз, 1960 (к ф 7 гл. 1 и 8 6 гл. 3).

К части П 1, И. М. Ге л ь фа ил и С. В. Ф о и и н, Вариационное исчисление, Физиатгиз 1961. 2, М. А Лаврентьев н Л. А Люстерник, Курс вариационного исчисления, изд. 2-е, 1'остехиздат, !950. 3. В. И. Смирнов, В. И. Крылов и Л. В. Канторович, Варнацнонное исчисление, КУБУЧ. 1933.

4. В. И. С и и р н о н. Курс высшей матеиатики, т. 4, изд. 4-е, Фнзматгиз, 1958. 5. Н. М Г ю втер, Курс вариационного исчислении, Гостехиздат, 1941. 6. Н. И. А х и е з е р. Лекции по зариационноиу исчислению, Гостехнздат, 1955. 7. М. А. Ланрентьев н Л. А. Люстерник, Основы варизционного исчислении, ч. 1 и 2, Гостехиздзт, !935. 8. Л. С Г!он трвгин.

В. Г. Болтянский, Р. В. Гам креп идзе, Е. Ф. М и шеи ко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961. 9. Р. Бе л л и а н, Линаиическос программирование, ИЛ, 1960. 10. Л. В. К а н тор о в и ч и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, изд. 5-е, Физматгнз, 1962. П, С. Г. Ми хл ин, Прямые методы в математической физике, Гостехнздат, 1950. ПРЕДМЕТНЪ|И УКАЗАТЕЛЬ дсимптотически устойчивое решение 204 Бернулли уравнение 30 Бесселя уравнение 139 — функции 141 — 143 Бигармоническое уравнение 317 Близость кривых 285, 286 Брахистохронз 281, 304, 332, 364 Вариации постоянной метод 28 Вариационная задача 281 — — в параметрической форме 317 †3 — — на условный экстремум 375— 393 — †,прямые методы решения 394— 413 — — с подвижными границами 327— 350 Вариационное исчисление 281 — †,основная лемма 295 Вариационный принцип 281, 320 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 Веисрштрасса функции 359 Векторная линия 245 — поверхность 244 Взаимности принпип 388 Влияния функция 123, 161 †1 Вронского определитель 97, 185 Галеркина метод 410 Гамильтона — Якоби уравнение 370 Гвыма.функция 140 Геодезическая линия 282, 381 Голономные связи 382 Граничная задача 13, 159 Грина функции 161 — 165 Гурвица теорема 227 Дикритический узел 2!1 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 30 — — Бесселя 139 — — в полных дифференциалак 32 Дифференциальное уравнение з ча стных производных 10 — — — — — первого порядка 241— 279 — — высшего порядка 85 †1 — †, интеграл 20 — †, интегрирование 10 — —, — с помощью рядов 137 — 146 — — Клеро 73 — — Лагранжа 73 — — линейное вьшшего порядка 93 — !06, 113 — 124 — — — неоднородное с постояннычи коэффициентами 124 †1 — — — однородное с постояннымн коэффициентами 107 — 110 — — — первого порядка 27 — — †, фундаментальная система решений 100 — †, не решенное относительно производной 68 — —, общее решение 15, 86 — —, общий интеграл 20, 32 — — обыкновенное 1Π— — однородное 25 — †,операторный метод решения 129 — 136 — —, особое решение 57, 78 — —, периодические решения 143— 146 — †,порядок 1Π— — Пфаффа 255 — —, решение 1О, 169 — — Риккати 31 — — с разделенными переменными 19 — — с разделяющимися паременными 2! — —, теорема существования и единственности решения 39 — 61, 75— 82, 85 — 87 — — Эйлера 110 — 113, 136 Изоклины 17 Изопериметрическая задача 282, 317, 385 Изопериметрические условия 282, 386 ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ 423 Интеграл дифференциального уравне.

ния 20 — первый 89, !79 — полный 261 Интегральная кривая 16, 169 — — особая 78 — поверхность 261, 268 Интегрируемая комбинация 178 Интегрирующий множитель 35 Канторовича метод 406 †4 Квазилинейное уравнсаие в частных производных 243 Клеро уравнение 73 Ковалевской теорема 242 Коши задача 13 — метод 121, 268 Краевая задача !3, !59 Лагранжа уравнение 73 Лагранжа — Шарпн метод 264 Лагранжнан 324 Лапласа уравнение 315 Лежандра условие 362 Лннейнаи зависимость 96, 185 — система дифференциальных урав пений 181 †1 — — — — с постоявнымн коэффн.

циентами 192 — 199 Линейное дифференциальное уравие нне 27 — — — в частных производных не. однородное 243 — — — — — — однородное 243 — — — высших порядков 93 — 106, 113 †1 — — — с постоянными коэффнпчецтамн 107 — 110, 124 — 135 . — — †, фундаментальная система решений 100 Линейный дифференциальный опера. тор 94 †1 — функпионал 287 Липшипа условие 40 Липуновз второй метод 215 — теорема 215, 217 — функция 215 Максимуи функционала 289 — — сильный 290 — — слабый 290 — — строгий 289 Малкина теорема 235 Малого параметра метод 147 †1 Метрическое пространство 48 Минимум функционала 289 Минимум функционала сильный 290 — — слабый 290 Наклон поля 351 Наложения принцип 114, 189 Начальная задача 13 Неголономные связи 382 Непрерывный функционал 285, 286 Неустойчивое решение 204 Неустойчивый предельный цикл 226 — узел 208. 211 — фокус 209 Общее решение дифференциального уравнения 15, 86 Общий интеграл дифференциального уравнения 20 Обыкновенное дифференциальное уравнение 1О Огибающая 74 Оператор линейный днфференциаль.

ный 94, !83 Операторный метод решения днфферендиальных уравнений 129 — 136 — многочлен 129 Определитель Вронского 97, 185 Оптимальная функция 391 Оптимальное управление 391 Особая интегральная кривая 78 — точка 57 Особое решение дифференциального уравнения 57, 78 Остроградского уравнение 314 Остроградского — Гамильтона принцип 320 Остроградского — Лиувилля формула 106 Первого приближения система уравнений 221 Первый интеграл 89, 179 Периодические решения дифференциального уравнения 143 †1 Периодичности условия 157 Плотность функции Лагранжа 324 Покоя точка 171, 205 Поле собственное 351 — центральное 351 — экстремалей 352 Полная интегрируемость уравнения Пфаффа 256 Полное пространство 48 Полный интеграл 261 Полуустойчивый предельный цикл 226 424 пиндмптныж эклзлтпль Порядок дифференциального уравне.

ния 10 Г!оследовательных приближений че. тод 199 Предельный дикл 23, 226 — — неустойчивый 226 — — полуустойчивый 226. — — устойчивый 226 Пространство метрическое 48 — полное 48 — равномерной сходимости 50 — фазовое 12, 170 Прямые методы в вариационном исчислении 394 †4 Пуассона уравнение 315 Пфаффа уравнение 255 Равномерной сходимости пространство 50 1эасстояние 48 Резонанс 145, 152 Риккати уравнение 31 Ритца метод 397 — 406 Рунге метод 64, 201 Связи голономиые 382 — пеголономньге 382 Связный экстремум 282 Седло 59, 208 Сжатых отображений принцип 48 Сильный экстремум 290, 360 Системы дифференциальных уравнений 168 †2 — линейных дифференциальных урав.

пений 181 †1 — — — — с постоянными коэффн. циентами 192 — 199 Слабый экстремум 290, 359, 360 Собственное поле 351 Специальные решения 253 Стационарного действия принцип 320 Строгий экстремум 290 Суперпозиции принцип 114, !89 Трансверсалшюсти условие 331, 336 Узел 58 — дикритический 211 — неустойчивый 208, 211 — устойчивый 207, 211 Управление оптимальное 391 Управляющая функция 391 Уравнения в частных производных 10 — — — — первого порядка 241— 279 Уравнивание 61 Условный экстремум 282, 375 †3 Устойчивое' решение Гпо Ляпунову) 204 — — по отношению к постоянно действующим возмущениям 236 Устойчивый предельный цикл 222 — узел 207, 211 — фокус 209 Фазовая траектория 170 Фазоиое пространство 12, 170 Фокус 59 — неустойчивый 209 -; устойчивый 209 Фун;шмсптальная снстеча решении 100 Функционал 280, 284 — линейный 287 — непрерывный 285, 286 Характеристик метод 268 Характеристики 245, 248, 254, 268, 269, 273 Характеристическая полоса 269, 273 Характеристическое уравнение 107, 194 Центр 59, 210 ГГенгральное поле 351 Г)икл предельный 23, 226 Четасва теорема 218 Штермера метод 62, 200 Эйлера дифференциальное уравнение 110 †1, 136 — конечно-разпостный метол 395— 397 — ломаная 13, 40 — метод 39, 61, 199 — уравнение (в вариационном исчнс.

ленни) 297, 306, 368, 377 Эйлера — Пуассона уравнение 310 Зкстремаль 297, 310 Экстремум саязаный 282 — условный 282, 375 †3 — функционала 290 — — сильный 290, 360 — — слабый 290, 359, 360 Якоби первый метод 277 — уравнение 356 — условие 355 .