Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 5

(ГЛ,! Полагая у= ха, — = х — +х я подставляя в ах ах ах лучнм лх сез з Лх х — +х=х+!дх, ах Мпх исходное уравнение по- з!и — = сх. у х !п(мах) = и!! х!-)-1пс, з!их = сх, Пример 4. (х+ у) ах — (у — х) лу = О. Полагая у= ха, ау = хая+а ах. получим (х+ хх) г(х — (хх — х) (х ах+ х ах) = О, (1+ 2х — г') ах -)- х (1 — х) ах О, (1 — х) ах ах 1 1+2х — х' х ' 2 + — О, — 1п11+2г — х'!+!п! х( 1 !па, х'(1 +2х — х') = с, х'-(-2ху — у' = с. 2 Уравнения вида лу ( а,х+ ь,у+ с, '1 Их (а,х+Ь,у+с,/ преобразуются в однородные уравнения путем переноса начала каор» линат в точку пересечения (хн 'у,) прямых а!х+Ь,у+с,=О и а х+Ьзу+се=О. Действительно, свободный член в уравнениях этих прямых в новых координатах Х =х — хн У=у — у, будет равен нулю, коэфау ау финиенты при текущих координатах остаются неизменными, а — =— ах лХ' и уравнение (1.8) преобразуется к виду аХ У (а,Х+З У) или и является уже однородным уравнением.

° будет однородным, если М(х, у) и И(х, у) являются однородными функциями х и у одинаковой степени однородности, так как в этом случае Пример 3. — — + !8 —. ау у у ах х х' ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 27 % 4! Этот метод нельзя применить лишь в случае параллельности прямых а,х+ Ь,у+ с, = О и аах+5,у+ с, =О. Но в этом случае аа коэффициенты при текущих координатах пропорционзльны а, = — '=и, и уравнение (1.8) может быть записано в виде 54 3 иу ( о х+ Ь у+ с, йх 4 л(а,х+ э,у)+са ) — = 7' ( ) = Р" (а,х + Ь,У), и следовательно, как указано на стр.

24, замена переменных х = = а,х + д,у преобразует рассматриваемое уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Пример 5. Ну х х — у.+ ! Нх х+у — 3 Решая систему уравнений х — у+1 О, х+у — 3=0, получим х,=!, у, = 2, Полагая х = Х+ 1, у = У+ 2, будем иметь ау Х вЂ” 1' иХ = Х+У 1 — — 1п!1 2 (1 — 2е — г') Х' = с, Х' — 2ХУ вЂ” У4 = с, х' — 2ху — у'+ 2х+ Оу = сг ф 4.

Линейные уравнения первого порядка Линейным дифферениггальныл4 уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Линейное уравнение имеет вид — + р (х) у = г' (х), (1.9) где р (х) и у (х) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями х в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1.9).

Если г(х)= О, то уравнение (!.9) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются: — У+ р(х)у= О, откуда — = —.р(х)44х, иу йх у 1' Замена переменных е =— Х мися переменными а+Хв их или У = еХ приводит к уравнению с разделяющн- 1 — е (1+а) ие иХ 1+е' 1 — 2е — е' Х * — 2е — е' ! =1п! Х! — — 1пс, 1 2 28 диеегвзнцилльныв гялвнвния пивного пояядкл (гл. ) и, интегрируя, получаем 1п1у! = — ~ р(х)((х-1-1пси с, > О. — ( г(х)сх у=се ' .

с+О, (1.1 0) При делении на у мы потеряли решение у=О, однако оно может быть включено в найденное семейство решений (1.10), если считать что с может принимать и значение О. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения — +р(х)у= у(х) (1.9) может быть применен так называемый л(ел)од вариации постоянной, При применении этого метода сначала интегрируется соответствующее (т. е. имеющее ту же левую часть) однородное уравнение — + р (х) у = — О. цу общее решение которого, как указано выше, имеет вид Р (х) ех у=се (х) ех При постоянном с функция се является решением однородного уравнения.

Попробуем теперь удовлетворить неолнородному уравнению, считая с функцией х, т. е. по существу совершая замену переменных у=с(х)е где с(х) — новая неизвестная функция х. Вычисляя производную Иу цс 1 л(х)ех — ! х(х) ех — — — с(х) р(х) е .' и подставляя в исходное неоднородное уравнение (1.9), получим Фс -1 щх) сх — 1' и(х)сх -) р (х) Ех — е — с(х) р(х) е +р(х)с(х)е ' =у(х) или с)с ) лах) (х — = г(х)е цх откуда, интегрируя, находим с(х) = ~ у (х) е с)х + сц ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА а следовательно, — ! р)х)'ах -) Рсх)сх -! Рге) сх Г ( р(х) ах у=с(х)е =се +-е ~ у(х)е а(х. (1.11) Итак, общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения -) р!х) ех с,е и частного решения неоднородного уравнения -( р)х)хх р ) р)х)сх е ) ) (х)е а'х, получающегося из (1.11) при с,=О. Заметим, что в конкретных примерах нецелесообразно пользоваться громоздкой и трудно запоминаемой формулой (1.11), значительно легче каждый раз повторять все приведенные выше вычисления.

П р им ер 1. у у а — — — = ха. а)х х Интегрируем соответствующее однородное уравнение — — — = О, — = —, 1В1у ( =1о1х!-(-!ос, у = сх. ду у лу лх лх х ' у х' а)у а(с Считаем с функцией х, тогда у= с(х) х,— = — х+с(х) н. подставляя ' с)х лх в исходное уравнение, после упрощения получаем а)с ха — х=х' или Лс=хлх, с(х)= — +с). )гх Следовательно, общее решение ха у = с,х+ —..

2 ' Пример 2. а)у — — у с!е х = 2х з)и х. а)х Интегрируем соответствующее однородное уравнение — — ус)йх=о, — = — а)х, лу а!у соз х а)х у з!их !В(у1=1п)з!лх(+!Ес, у=се)пх. Варьируем постоянную у = с (х) з!и х, у' с' (х) з)о х+с (х) соз х. 30 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЛ,! Подставляя в исходное уравнение, получим с (х) 5!их+ с (х) созх — с(х) соз х= 2хйпх, с'(х)=2х, с(х)=х'+сь у = х'з!их+с, з!пх. П р и м е р 3. В электрической цепи с самоиндукцней происходит процесс установления переменного тока.

Напряжение У является задзнной функцией времени У = У (Е), сопротивление ЕЕ и самонндукция Е постоянны, начальная сила тока Е(0) = Ео задана. Найти зависимость силы тока Е = Е(С) от времени. Пользуясь законом Ома для цепи с самоиндукцией, получим и'Е У вЂ” Š— = И.

пг Решение этого линейного уравнения, удовлетворяющее начальному условию l (О) = Ео, согласно (1.11) имеет вид А' я Л Е е Ео+Е / У(!)е И! о (1П2) При постоянном напряжении У Уо получим н и . У Е !(Ео )с о о! с ЕЕ 1 ЕЕ Е' Интересен случзй синусоидальиого переменного напряжения У А з!пмт. Прн этом согласно (1.12) получим и Е' л — Е ! Р Е=е ~ЕС+ — Е' е з!пегйй Е .l о Стоящий в правой части интеграл легко вычисляется. ваменой переменных у ~=и сводится к линейному уравнению. Дей„ку лх ствительнс, дифференцируя у'-" =х, находим (1 — л)у " ~ йх вх и, подставляя в (1,13).

Получим линейное уравнение — — + р (х) з = /(х). ! и'з Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. Например. уравнение Бернулли, имеющее вид — +р(х)у=Е'(х)у", ать 1, илн у а — +р(х)у' "=У(х), (1.13) линеиные явлвнення пвявого пояядкл Пример 4 ду у Хл — — +— Их 2х 2у ' с'У У' ну 2у — =~ — + х', у' с, 2у — =* —, Их х Ых Их' с'л — — + х' дх х и далее.

как в примере 1 стр, 29. Уравнение л. + Р(х)у+О(х) уз=у(х) называемое уравнекиех Риххати. в общем виде не интегрируется в квадратурах, но может быть заменой переменных преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение у, (х) етого уравнения. )(ействительно, полагая у = у, + х, получим у,+ х +Р(х)(у, +я)+)(х)(у,+х) =.у(х) 1 частное решение у, —. Полагая В атом примере нетрудно подобрать ! 1 У л + —, получим У' = л' —— Х х' = '(а+ — 1 — —., или х' ( х) х1' л'+ 2 — — уравнение Бернулли.

2 1 си — = — +1, и= —, х' хл ' л' Их г'' ди 2и Ыи 2нх — =~ — — — 1, Их х ' и х с (х) и= —, х с !п(и)= — 2!п|х!+1пс, и= —,, с' (х) хз хя — 1, с(х)= — — +с 3 1 с~ х 1 с~ х х' 3 ' 1 х' 3 У х 1 Зх' У + а х с,— х с, х и хс 3' или, так как у,'-1-Р(х)у, + у(х)ут!=У(х), будем иметь уравнение Бернулли а' -)- (р (х) + 2о (х) у,! г + д (х) г' = О. Пример 5. Иу, 2 У'— с'х хя ' 32 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА /ГЛ. Г й 6.

Уравнения в полных дифференциалах Может случиться, что левая часть дифференциального уравнения Л4(х, у)с(х+М(х, у)ду=О (1.14) является полным дифференпиалом некоторой функпии и(х, у): аи(х, у)= л4(х. у)с(х+М(х, у)ду и, следовательно, уравнение (1.14) принимает вид аи(х, у)=О. где с — постоянная, и наоборот, если некоторая функция у(х) обращает в тождество конечное уравнение (1.15), то, дифференцируя полученное тождество, получим ди(х, у(х))= О. и следовательно, и(х, у) = с, где с произвольная постоянная, является общим инте. гралом исходного уравнения. Если даны начальные значения у(хр) = у, то постоянная с определяется из (1.15) с= и(хр, ур) и (1.15 ) и(х, у)=и(х, у ) ди является искомым частным интегралом.

Если — = М(х, у) чь О ду в точке (хр, ур), то уравнение (1.!5,) определяет у как неявную функцию х. Для того чтобы левая часть уравнения (1.14) М (х, у) с(х + М (х, у) ду являлась полным дифференциалом некоторой функции и(х. у), как известно, необходимо и достаточно. чтобы дМ(х, у) дМ(х, у) ду д» (1. 16) Если зто условие, впервые указанное Зйлером, выполнено, то уравнение (1.14) легко интегрируется, Действительно, ди=Мдх+Мду.

С другой стороны, ии ии йа = — с(х + —. г(у. д» ду Если функция у(х) является решением уравнения (!.14), то ди(х, у(х))= — О, и, следовательно, и(х, у(х))=с, (1.15) УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНПИАЛАХ в 5) Следовательно, д ду ии — = М(х, у); ,у откуда и(х,у)= ~ М(х, у)с(х+с(у). интеграла ~ М(х, у))(х величина у рассматривается поэтому с(у) является произвольной функцией у. При вь)численин как постоянная, Гх у/ ьеи У,У УЛУУ '0 Рнс. 1.10. — (~ М(х, у))(х)+ с'(у) =1)1(х, у).

Из этого уравнения определяем с'(у) и, интегрируя, находим с(у). Как известно из курса математического анализа, еще проще можно определить функцию и(х, у) по ее полному дифференциалу ))л = М (х, у) с)х + ) ) (х, у) )(у, взяв криволинейный интеграл от М (х, у) с)х+ ))) (х. у) оу между некоторой фиксированной точкой (х,, ус) и точкой с переменными координатами (х, у) по любому пути: ьь у) и(х, у) = ~ М(х, у) дх+-)))(х, у)с(у. )ии у,) Чаше всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломаную, составленную из двух звеньев, параллельных осям координат(рис.

1.10); в этом случае РЬ Ю оь у) И, У,) ы,у ьо уа) Иьу) Лля определения функиии с(у) дифференцируем найденную функцию ди и(х, у) по у и. так как — =)))(х, у), получим ду 34 диФФеРенциАльные уРАВнения пеРВОГО пОРядкА (Гл. а ИЛИ ,х. ю У> х, у) М )ух+ Л) ((у = ~ 1)7 с)у + ~ М ((х. (хь Уд )ха У) *«„У Пример 1. (х+ у+ 1) г(х+(х — у'+ 3) ду О. Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функ- ции и (х, у), так как д(х+у+ П д(х — уа+3) ду дх дп х' — = х+ у+ 1, и = — + ху+ х+ с (у), дх 2 Ри — =х-(-с'(у), х-1-с'(у)=х-уз+3, ду с'(у)= — у'+3, с(у)= — у +Зу+си 3 ха уа и = — + ху + х — — + Зу + сь 2 3 Следовательно, общий интеграл имеет вид Зха+ бху+ бх — 2уа+ 18у сь (1.17) Можно применить и другой метод определения функции и (х, у): (х, у) и(х, у) ~ (х+у+1)Пх+(х — у'+3)((у.