Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 2

Зльсголь~) ЧАСТЬ Г ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВВЕДЕНИЕ При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами.

При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции или вектор-функции под знаком производной или дифференциала. Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Г!риведем несколько примеров дифференциальных уравнений: ах 1) — „= — Ггх — уравнение радиоактивного распада Гй — постоян- дГ ная распада, х — количество неразложившегося вещества в момент дх времени Е скорость распада — пропорциональна количеству рас- дГ падаюшегося вещества). двг ( дет 2) лг — =Р~Е г, — ) — уравнение движения точки массы гн дс'= ~' ' дГ) под влиянием силы г', зависящей от времени, положения точки. опредг деляемого радиусом-вектором г, и ее скорости —. Сила равна дт ' произведению массы на ускорение.

д'и д'и дги' 3) —, +,—, + —, = 4пр(х, у, г) — уравнение Пуассона, которому, например, удовлетворяет потенциал и(х, у, г) электростатического поля. р(х, у, г) — плотность зарядов. Зависимость между искомыми величинами будет найдена, если будут указаны методы нахождения неизвестных функций. определяемых дифференциальными уравнениями, Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является основной задачей теории дифференциальных уравнений.

Есля в дифференциальном уравнении неизвестные функции или вектор-функции являются функциями одной переменной, то дифферен- вввлвнив циальное уравнение называется обыкновенным (например, уравнения 1) и 2)). Если же неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных (например, уравнение 3)). Порядном дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в уравнение производной (нли дифференциала) неизвестной функции. Решением лифференциального уравнения называется функция, которая при полстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, Например, уравнение радиоактивного распада (В.1) имеет решение х=се-ь', (В.

1,) тле с — произвольная постоянная. Очевидно, что дифференциальное уравнение (В.!) еще не полностью определяет закон распада х = х (Г). для его полного определения надо знать количество распадающегося вещества хь в некоторый начальный момент ге. Если хь известно, то, принимая зо внимание условие х (8е) = хь из (В.1,). нахолим закон радиоактивного распада: х — х е-ьи-ш ь Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. В рассмотренном примере мы легко нашли точное решение, однако в более сложных случаях очень часто прихолится применять приближенные методы интегрирования лифференциальных уравнений. Эти приближенные метолы еще недавно приводили к утомительным вычислениям, но теперь быстродействующие вычислительные машины способны выполнять эту работу со скоростью в несколько лесятков или даже сотен тысяч операций в секунду. Рассмотрим несколько подробнее упомянутую выше более сложную задачу о нахожленни закона движения г=г(Г) материальной точки массы т пол действием валанной силы Р(г, г, г).

По закону Ньютона тг = Г (г, г, г). (В.2) Следовательно, задача сводится к интегрированию этого дифференциального уравнения. Очевидно, что закон лвижения еще не вполне введение определяется заланием массы т и силы Р, надо еще знать начальное положение точки г (гз) га (В.2 ) и начальную скорость г ((е) = г,. (В.2з) Укажем весьма естественный приближенный метод решения уравнения (В.2) с начальными условиями (В.2,) и (В.2з), причем идея этого метода ггомсет служить н для доказательства существования решения рассматриваемой задачи. Разделим о~резок времени (е ( г ( Т, на котором требуется определить решение уравнения (В.2), удовлетворяющее начальным услот — г,. виям (В.2,) н (В.2,), на п равных частей длины л = —: л ["О' 11!' ['1' 12!' ' ' ' ' !г -1' Т!' Гл —— Гр+ Иг (гг = 1, 2, ..., а — 1).

где Каждое векторное уравнение в трехмерном пространстве может быть заменено путем проектирования на оси координат тремя В пределах каждого из этих малых (при больших значениях а) отрезков врелгени сила Р(1, г, г) мало изменяется (вектор-функция Р предполагается непрерывной), поэтому приближенно се можно считать на каждом отрезке [Г» и 1„! постоянной, например, равной ее значению в леной граничной точке каждого отрезка.

Точнее, на отрезке [(з, (г! сила Р(г, г, г) считается постоянной и равной Р((з, гр, гэ). При этом допущении из уравнения (В.2) и начальных условий (В.2,) и (В.2,) легко определяется закон движения г„(г) на отрезке [(з, Г,! (движение будет равномерно переменным) и, следовательно, в частности, известны значения г„(гг) и г„(гг). Тем же методом приближенно определяем закон движения г,(Г) на отрезке [(г, гз], считая силу Р на этом участке постоянной и равной Р(ги г,(гг), г„(гг)). Продолжая этот процесс, определим приблиягенное решение г„(Г) поставленной аадачи с начальными значениями для уравнения (В.2) на всем отрезке [гз, Т!. Интуитивно ясно, что при и — ь са приближенное решение г„(г) должно стремиться к точному решению.

Заметим, что векторное уравнение (В.2) второго порядка может быть заменено эквивалентной системой двух векторных уравнений первого порядка, если рассматривать скорость т как вторую неизвестную вектор-функцию: — =т, — =Р(1, г, т). гг'г и'т (В.З) введения !2 скалярными уравнениями, Следовательно, уравнение(В.2) эквивалентно системе трех скалярных уравнений второго порядка. а система (В.З) эквивалентна системе шести скалярных уравнений первого порядка. Наконец, можно одно векторное уравнение (В.2) второго порядка в трехмерном пространстве заменить одним вакторным уравнением первого порядка в шестимерном пространстве, координатами в котором служат координаты г, г, г, радиуса-вектора г(() и координаты о, и, и, вектора-скорости ю Такое пространство физики называют фазовым.

Радиус-вектор К(г) в этом пространстве имеет координаты (г„. г, г,, п„о, и,). В таких обозначениях система (В.З) имеет вид: — = Ф(г', К(~)) лй (В.4) (проекциями вектора Ф в шестимерном пространстве служат соответствующие проекции правых частей системы (В.З) в трехмерном пространстве).

При такой интерпретации начальные условия (В.21) и (В.2я) заменяются условием (т ((о) = ню. (В. 4,) Решением уравнения (В.4) К = К (г) будет фазовая траектория, каждой точке которой будет соответствовать некоторое мгновенное состояние движушейся точки — ее положение г(г) и ее скорость ч(г). Если к уравнению (В.4) с начальным условием (В.4,) применить изложенный выше приближенный метод, то на первом отрезке [гв, 1,) вектор-функцию Ф(г', К(г)) надо считать постоянной и равной Ф(~а )(((о)). Итак, при ~о< ~~< го+Ь г = Ф ((о )~ ((е) ) л'й л'г откуда, умножая на Ш и интегрируя в пределах от 1е до 1, получим линейную вектор-функцию К(г): Й(~)=В(ге)+Ф(гв ВЖ)(( — ~е).

В частности, при Г = г, будем иметь "(г1)=В((о)+ЗФ(~о Й(го)) Повторяя то же рассуждение на следующих участках, получим В((з) =В(~,)+ЗФ((н ((((,)). й (( ) = К (г„,)+ ЗФ ((л,г((((,,) ), Применяя эти формулы и раз, дойдем до значения К(Т). ввидзнии В этом 'методе искомое решение й (~) приближенно заменяется кусочно линейной вектор-функцией, графиком которой служит некоторая ломаная, называемая ломакой Эйлера. 'Для уравнения (В.2) нередко в приложениях встречается и иная постановка задачи — дополнительные условия задаются не в одной, а в двух точках. Такая задача, в отличие от задачи с условиями (В.2,) и (В.2г), называемой задачей с начальными условиями или задачей Коши, носит название краевой или граничной. Пусть, например, требуется, чтобы материальная точка массы лг, движущаяся под действием силы Г(Г, г (1), г (Г) ), находившаяся в начальный момент Г=~з в положении г= ге, попала бы в момент Г=Г, в положение г= го т, е.