Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 7

Теорема АТ (о суи(ествовании и единственности решения). Если в уравнении у(х у) еу (1.22) фуннлия /(х, у) непрерывна в прямоугольнике О1 «а и (х (хо+а Уо д (у (уо+д и удовлетворяет в Е) условию Лиишица: Ч(х У ) — У( уэ) 1 (А(1У вЂ” у 1 где М вЂ” постоянная, то суигествует единственное решение у=у(х), хз — Н (х (х + Н, уравнения (1.22).

Удовлетворяющее условию у(хе)=уз, где Н(пня(а. м у1 а 1 М = шах Т (х, у) в О. Условия теоремы нуждаются в некоторых пояснениях. Нельая утверждать. что искомое решение у=у(х) уравнения (1.22), уловлетворяющее условию у(х ) =у„. будет существовать прн г(е — аа,„ .я;х ~',ха+а, так как интегральная кривая у=у(х) может выйтн д а) твоявмы сэщвствованмя н вдннстваннбсти 41 из прямоугольника Й через его вериною илн нижнюю стороны у = уа + Ь (рис.

1.14) прп некотором аначении х = хц хэ — а ( х, < ( хэ + а, и тогда, если х, ~ ха, при х ) х, решение уже может быть не определено 1если х, < х, то решение может быть не определено при х < х,). Можно гарайтировать. что интегральная кривая у=у1х) не выйдет за прелелы области О прн х, изменяющемся на у, .б Ьь-Ь д, =-н 1дя= И О! х,-э Ю-Ь Ю г;лай+а Рнс. 1.15. Рнс. 1.14. отрезке хэ — Н ( х < х„+ Н, где Н вЂ” наименьшее из двух чисел а, — (рис. 1.15), так как угловой коэффициент касательной к искомой Ь М интегральной кривой заключен между угловыми коэффициентами М и — Л4 прямых, изображенных на рис.

1,15. Если этн прямые, между которыми заключена искомая интегральная кривая, выходят за пределы прямоугольннкз О через его горизонтальные стороны у = уа ~ Ь, Ь то абсциссы точек пересечения этих сторон будут ха+ —, следовательно, абсцисса точки выхода интегральной кривой из прямо- Ь угольника й может быть лишь меньше или равна ха+ — и больше Ь4 Ь или равна ха — —. Ь4 ' Можно доказать существование искомого решения на отрезке Ь з х — Н (х < хэ+Н, где Н=ш!и !а, — „,), однако проще вначале доказать существование решения на отрезке х„— Н (х (ха+ Н, Ь 11 где Н( пня~а, —, — !, а в дальнейшем будут указаны условия, м ' ьг,!' при выполнении которых решение может быть продолжено.

Условие Липшнца !У(х у) — У(х. у)! <Н!у — уа! 42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. ! может быть заменено несколько более грубым, но зато обычно легко проверяемым условием существования ограниченной по иодулю частной производной у„'(х, у) в области О. Действительно, если в прямоугольнике 1У 1У„'(х, у)! (И, то, пользуясь теоремой о конечном приращении, получим )у(х. У,) — У(х, уа))=У (х, Ь))у, — у,!. где ь — промежуточное между у, и уа значение. Следовательно, точка (х, а) лежит в г1, поэтому (х ц)~ ~(М и !у (х у!) — у(х уз) ~ ~()тг ~ у1 — ут!. Нетрудно привести примеры функций у (х, у) (например, ,Г(х, у)=1у~ в окрестности точек (х, 0)), лля которых условие Липшица выполнено, но производная — в некоторых точках не дУ ду существует, следовательно, условие ~ — ~ < гтГ является более гру- дУ ду 1 бым, чем условие Липшица.

Доказательство теоремы существования и единственности. Заменим дифференпиальиое уравнение —.=/ (х, у) ду дх (1.22) с начальным условием у(ха) =Уз эквивалентным интегральным уравнением (!.23) у = у + ) .г ( ° у) д (! .24) Действительно, если некоторая функция у = у(х) при подстановке обращает в тождество уравнение (1.22) и удовлетворяет условию (1.23), то, интегрируя тождество (1.22) и принимая во внимание условие (1.23), получим, что у = у (х) обращает в тождество и уравнение (1.24). Если же некоторая функция у=у(х) прн подстановке обращает уравнение (1.24) в тождество, то она, очевидно, удовлетворяет и условию (1.23), а дифференцируя тождество (1.24), получим.

что у =у(х) обращает в тождество и уравнение (1.22). Строим ломаную Эйлера у=у„(х), исходящую из точки (х, уз) и с шагом гг„= — на отрезке хр (х ~ ха+Н, а — целое положив л в) теОРемы суп!естаовлния и единственности 43 у,'(х) = у'(х», у») при х» < х ~~ х ,. 1» = О, 1, ..., я — 1 (в угловой точке х» взята правая производная), или у,'(х)=~(х, у„(х))+~~(х», у ) — ~(х, у„(х))1 (1.25) обозначим Г" (х», У») — У'(х, Ул(х)) =т1„(х). В силу равномерной непрерывности функции Г" (х, у) в О получим 1чл(х)/ =1у(х», у„) — 1 (х, у,(х))~ <ел (1.26) при я.л Н(ел), где е„— »О при а — л со, так как !х — х»~ (Ьл, а ) у» — у,(х)/ ч, Мд„н альт — -»О при и — »со.

Н л Интегрируя (1.25) по х в пределах от хв до х и учитывая, что у,(хв)=уе, получим к к У.(х)=Уз+ / У(1 Ул(1))д1+ / т1.(1)д~. к кк (1.27) Здесь л может принимать любое целое положительное значение, сле- довательно, при целом т ) О увы (х) =уз+ ~ У(1' ул»т(~)) а(+ ~ т1»лт(1)с(1' (1'26) кк тельное число 1совершенно аналогично доказывается сушествование решения на отрезке хз — Н ( х (хз).

Ломаная Эйлера, проходящая через точку (х, ув), не может выйтн пз области 1) при хел. х ( (хв+ Н (или хв — Н (х ( хл), так как угловые коэффициенты каждого звена ломаной по модулю меньше Я. Дальнейшее доказательство теоремы разобьем на три этапа: 1) Носледовательность у =ул(х) равномерно сходится. 2) Фуннлия у(х) = 1ип ул(х) является решением интеграл»- к -«л. ного уравнения (1.24). 3) Решение у(х) уравнения (1.24) единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о 1).

По определению ломаной Эйлера 44 лнеекгвниилльныа квавнзння ивяного пояядкл [гл. ~ Вычитая нз (1.281 почленно (1.27) и взяв молуль разности, получим к )Ук„,и(х) У„(х)) — ~ (7(1. У„(1)) — ~($, У„(Е)) с(1 -1- а 1 п...ааааа ) п.ааааа< а,, а < ~ ~,7И уи, Я) —,7(г у„(1))!а(1+ к, х + ~~~„,„(1)~Я 4 ~~и.Н)((1 к, при хз ~х(хе+Н или, принимая во внимание (1.26) и условие Липшица. !) пи т (х) Уи (х)! ()а ~ ! Улит (Г) Уи (Г) ! а(Г+ (еи+т + еи) к, Слеловательно, плах /)а„.„(Х) — уи(х) ~ < к ч к~хаил к ~~Ишак ~ )у„+ (1) — уи(1)(Ж+(е„„„+е„)Н, к, откуда х, К к <' х, .а Н для любого е > О при лостаточно большом л ) И, (з).

Итак, шах )У„ит(х) — У,(х)(( е х <к бахаи Н при п) М,(е), т, е. послеловательность непрерывных функций у„(х) равномерно схолнтся при хе ~ х ~( хе+ Н: Уи(х) ь У(х) гле у(х) — непрерывная функция. Доказательство 2). Перейлем в уравнении (1.27) к пределу при л->со: к к !нпу„(х)=уз+ Вш 1,7(х, у„(х))пах+ Вгп ~ т)„(х)ах иЭт и-и л-а.в .и, «а $ Я1 ТВОРВМЫ СЯ1ПВСТВОВЛНИЯ И ЕДИНСТВЯННОСТИ или у(х)=уе+ 1ип ] г(х, у„(х))с(х+ Дш ] 1)„(х)в1Х.

(1.29) к.«ск «-« к к, В силу равномерной сходимости у„(х) к у(х) и равномерной непрерывности функпии )'(х, у) в 1) последовательность 1(х, у„(х))~~ ' г'(х, у(х)). Действительно, У(х, у(х?) — У(х, у„(х)) [ < е, гле е ) О, если [у(х) — у„(х)[ < 6(е), но ]у (х) — у„(х)! < А(е), если и ) Л11(Ь(е)) лля всех х из отрезка хв < х < хе+ гт'. Итак, [~(х, у(х)) — Г(х, у„(х) )] < е при а ) 1тг1(Ь(е)), гле 1Ч1 не зависит от х. В силу равномерной схолимости последовательности 1(х.

у„(х)) к у (х, у(х)) в (1.29) возможен переход к пределу пол знаком интеграла. Принимая, кроме того, во внимание, что ]1)„(е)] < е„, где ее †« О при и †« оо, окончательно в (1.29) получим к у(х)=у,+ ~ у'(х, у(х)) с(х. Итак, у(х) удовлетворяет уравнению (1.24). Д о к а з а т е л ь с т в о 3). Допустим существование двух несовпалающих решений у,(х) н ут(х) уравнения (24). слеловательно, гпах ]у, (х) — уя(х)[ + О. ; <к~;к,+Н Вычитая почленно ив тождества к у1(х)=уе+ ) У(х у1(х))г(х тождество к ув(х)=уе+ ~ г'(х, у (х) )с(х, к, получим к ,у1 (х) — уя (х)— : ~ [ Г (х у1 (х) ) — у (х, уя (х) )] с(х.

ке 46 дижеевенцмлльные кглвняния паевого повидал 1гл. е Следовательно, шах )у,(х) — уа(х)~ = х~ жкцк,кп к шах ~ (у'(х «о схж«~ч» ~ у, (х) ) — Г(х, ут (х) )] Их ( / )у(х, у,[х)) — у(х, уа(х))! пх ( шах .к, цхцк,+и Пользуясь условием Липшица, будем иметь п1ах (у,(х) — у,(х)~ (И 1пах ~ 1у, (х) — у,(х)) к1х к,жк <к,~-н и цкхях,-~ц < И шах 1у, (х) — у, (х)) |пах ~ с)х к,жхжк, кн ХОСК К К КН ~ ~к, = ИН шах )у, (х) — ут (х) ~.

к,жх к,~-н Полученное неравенство 1пах 1У,(х) — Уя(х)( < ИН |пах )У,(х) — У,(х)( (1.ЗО) хо<«<к+и к,цк „«,~-Н противоречиво. если шах )у,(х) — у,(х)~ Ф О, так как по услок,жкмх,ьн 1 вию теоремы Н < —, а из (1.30) следует, что ИН = 1. Ф ' Противоречие снимается лишь при шах ~ч,(х) — у,(х)( =О к, <хцхкьм т. е. если у,(х)= — ут(х) при ха (х (ха+ Н. Заме чан ив 1. Существование решения уравнения (1.22) можно было бы доказать иным методом лишь в предположении непрерывности функции у'(х, у) (без условия .'!ппшица), однако одной непрерывности функции ~(х, у) недостаточно для локазательства единственности решения.

3 а и е ч а н не 2. Существование и единственность решения у=-у(х) доказаны лишь на отрезке хе — Н ( х ( ха+ Н, однако, взяв точку (хе+ Н, у(хв+ Н1) за начальную, можно, повторив рассуждение, продолжить решение еще на отрезок длины Нн если, конечно, в окрестности новой начальной точки выполнены условия теоремы существования и елинственности решения.

Продолжая этот процесс $ а! твогвмы существоялния и елинстввнности 47 в некоторых случаях, можно нрололжить решение на всю полуось х)~ хе или лаже на всю ось — со ( х ( со, если продолжить решения и в сторону меньших значений х. Олнако возможны н другие случаи, ламге если функция 7(х, у) опрелелена для любых значенийхиу. Возможно, что интегральная кривая становится пепролол касмой авилу приближения к точке, в которой нарушены условия теоремы Рнс.

!.!6. Рис. 1.17. существования и единственности решения или интегральная кривая приближается к асимптоте, параллелышй оси Оу. Эти возможности иллюстрируются следующими примераии: лу х 1) — = — —, у(0) =1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем г(х у' к=1, у=)71 — х'. х'+ у' = с', у = ж рс' — х', Решение непродолжаемо за пределы интервала — 1 < х < 1. В граничных гГу х точках ( — 1, О) н (1, О) правая часть уравнения — = — — разрывна. Усло- г(х вия теоремы существования решения нарушены (рис.