Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 4

Если это конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравне- ния. Следовательно, уравнение (1.5) является общим интегралом уравнения (1.4). 1(ля того чтобы уравнение (1 б) определяло у как неявную функцию х, достаточно потребовать, чтобы гз(у) + О. Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы ~ Л(х)дх и ~ уз(у)НУ нельзя будет выразить в элемен- тарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (1.4) выполнен- ной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изу- ченной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопре- деленных интегралов — квадратур а).

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию У(ха) = Уз, то оно, очевидно, опРелелитсЯ из УРавненив У к ~ уз(у)к(у= ~ у,(х)т(х, У к, которое получим из У к ~ уз (у) г(у = ~ Л (х) ах+ с, воспользовавшись начальным условием у(хе) = Уз. Пример !. ") Так как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения, то во избежание недоразумений для интегралов функций ~ У(х) вх обычно применяется термин азвалратураы т 21 УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 21 — семейство окружностей с центром в начале координат (сравните с примером 2, стр.

16 — 17). Пример 2. г' их= —. иу 1пу ' Интегрируя. получаем ~ е" дх= ! — +с. Интегралы ! е" дх и ! — не берутся в злементариьш функциях, тем не Р ду .! 1пу менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квалратур. Уравнения вида ф, (х) ф, (у) с(х = срз (х) фт (у) Еу, в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х н только от у, называются дифференциальными ураанеииями с разделяющимися переменками, так как путем деления на фг (у) грт (х) они приводятся к уравнению с разделенными переменными: ф,(х) фг(у) чг(х) ф1(у) дх = — г1у.

Заметим, что деление на ф, (у) фт (х) может привести к потере частных решений, обращзгощик в нуль произведение ф1 (у) срт (х), а если функции фг(у) и фз(х) могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих в нуль множитель 1 ф (у) чъ (х) ' Пример 3. — = — (сравните с примером 1, стр, 16).

Фу у дх х Разделяем переменные и интегрируем: 1п1у1=1п1х)-(-1пс, с > О. Потенцируя, получим 1у(= с1Х). Если речь идет только о гладких решенияк, то уравнение ) у(= с ! х 1, где с > О, эквивалентно уравнению у = ш сх или у = сгх, где с, может принимать как положитальные, тзк и отрицательные значения, но с, чь О Если же принять во внимание, что при делении на у мы потеряли решение у=о, то можно считать, что в решении у = с,х постоянная с, принимает и значение с, = О, при котором мы получаем потерянное ранее решение у = О.

За меча нне. Если в примере 3 считать переменные хну равноправными, то уравнение — = —, теряющее смысл при х=б, надо дополнить "У У пх х' 22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ, 1 отх х уравнением — = — (см. о(у у х=б, не содержащееся в Пример 4. стр. 19), которое, очевидно, имеет еще решение найденном выше решении у = с,х.

х (1+ у') Лх — у (1 + хо) о(у = О. Разделяем переменные и интегрируем: уо(у хг(х !' У осу ) хг(х 1+уо 1+хо ',/ 1+ уз,/ 1+. '" 1и (1+ у') =1п (1+ хо) +1п сй !+ у' = с, (1+ х ). При мер 5. ех — = 4()' х. огг Найти решение х(Г), удовлетворяющее условию х(!) = 1. Разделяем перемевные и интегрируем: х 1 ==,/' о(х Г, = /'2(нб) х=то, х-«. 2)' х Пример 6.

Как уже упоминалось во введении, установлено, что око. рость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени Е если в начальный момент при ! = !о будет х = хо. Коэффициент пропорциональности к, называемый постоянной распада, предполагается вавестныи.

Дифференциальное уравнение процесса будет иметь вид — = — кх г!х Ж (1.6) (знак — указывает на уменьшение х при возрастании Г, Л>О). Разделяя переменные и интегрируя, получаем и'х — = — л ш; 1и ! х ! — 1п ! х,1= й (г — г,), х откуда — =ах, Л> О, бх о(г (1.7) =хе ор х= хое Определим еще период полураспада т (т.

е. время, в течение которого 1 1 распадается — хо ! Полагая à — Го = т, получим — хо = хое "'. отсюда 1п2 я =в л Не только радиоактивный распад, но и л|обая другая мономолекулярная реакция на основании закона действующих масс описывается уравпео(х вием — = — Лх, где х — количество еще не прореагировавшего вещества.

пг Уравнение 4 т) кялвниния с илздвляющимися пвпвмннными 23 отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (1.6), описывает многие процессы «размножениям например «размножение> числа нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение числа бактерий в предположении, что условия среды для них предельно благоприятны и поэтому скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (1.7), удовлетворяющее условию х(та) х,, имеет вид х= хэеэы п1 и, в отличие от решений уравнения (1.6),х(() не убывает, а возрастает по показательному закону с возрастанием д Пример7.

— = р (р — 2) (р — 4). б~т Иф Начертить интегральные кривые, не интегрируя уравнении; р и ф — полярные координаты. Уравнение имеет очевидные решения р О, р 2 и р 4. При О < р < 2 — >О; при 2<о<4 — <О иприр>4 — >О, г(р б~т пр а(ф Й~ г(ф Следовательно, интегральными кривыми являются окружности р 2 и р 4 и спирали, наматывающиеся при возрастании ф на окружность р=2 и разматывающиеся с возрастанием ф с окружности р 4. Замкнутые инте- гральные кривые, в достаточно малых окрестностях которых интегральными кривыми являются спирали. называются предальними циклами. В данном примере окружности р = 2 и р= 4 являются предельными циклами. П р и м е р 8.

Найти ортогональные траектории семейства парабол у =ах'. Ортогональнмми траекториями заданного семейства кривых назы- ваются линии, пересекающие под прямым углом линии данного семейства. Угловые коэффициенты уг и уз касзтельных к кривым данного семейства и к искомым ортогональным траекториям должны в каждой ~очке удовле! творить условию ортогональностн уз = — †, . Лля семейства парабол у = Уг 2у = ах' находим у'=2ах, илн так как а —,, то у'= — —. Следовательно, х'' х дифференциальное уравнение искомых ортогональных траекторий имеет Р х вид у 2у ' Разделяя переменные, находим 2у«(у+хпх=О н, интегрируя, получим семейство эллипсов хт — + уз ~ ст 2 (рис. 1.9). П р и и е р 9. Пусть и ху — потенциал скоростей плоскопараллельного течения жидкости.

Йайти уравнение линий тока. Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий ху с. Находим угловой коэффициент касательной к эквипотенциальным линиям:ху' + у О, у' — †. Следовательно, дифу х х ференциальное уравнение линий токз имеет внд у' — или упу хох; у интегрируя, получаем х' — у' с — семейство гипербол. П р и и е р 1О. Полый однородный металлический шар, имеющий внутренний радиус гм з внешний г, находится в стационарном тепловом з4 диоевявицилльиыв эплвнниия пвэвого попядкл (гл. э состоянии, причем температура на его внутренней поверхности равна Т„ а на наружной Ть Найти температуру Т на расстоянии г от центра шара.

г, < г ~( гь Из соображений симметрии следует, что Т является функцией только г. Так как между двумя концентрическими сферами с центрами в центре шара (нк ралиусы могут изменяться от г, до г,) количество тепла остается неизменным, то через каждую сферу протекает олно и то же количество тепла ().

Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вил — 4паг' — = Я, л'Т л'г где Л вЂ” коэффициент теплопроводности, Разделяя переменные и интегрируя, получим искомую зависимость Т от г: 4ла л'Т = — —; 1,) л'г 4пй ( дт= — ч) 1 "г, у гэ' г, (1 11 4пй (Т вЂ” Т,) = () ( — — — ).

|г г,)' Рис. !.й Для определения Я используем условие: при г = гь Т = Т, 4на(Т,— Т,) 4яа(Т,— Т,)г,г, 1 1 г~ — г, г, г, 5 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся. наприиер, уравнения вида — = / (ах + Ьу). Фу лх — = а+ Ь вЂ”, — = а + Ьу (г). ну Фх я'х ' лх где а и Ь вЂ” постоянные величины, которые заменой переменных з = ах+ Ьу преобразуются в уравнения с разделяющими переменными. Действительно, переходя к новым переменным х и л, будем иметь а з! вялвниния с рлздвляющимнся пиивмзннымн 25 или + ву ( ) = с!х, и переменные разделились.

Интегрируя, получим У +ау( ) +' Пример 1. = 2»+ у. «у «х Полагая » = 2х+у, будем иметь «у «» «г — = — — 2, — — 2=а «х «х ' «х разделяя переменные и интегрируя. получим «г — с!х, !и )г+2! = х+ !пс, г — 2+ се", г+2 2х+ у — 2+ се", у = се" — 2х — 2. Пример 2. — — + 1. «у «х х — у ! — — = — +1; «г 1 «х г «г 1 «х г' г«г — «х г'= — 2х+с, <х — у)' — 2»-)-с.

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференаиальные уравнения аервого порядка, имеющие вид действительно, после подстановки»= у или у=хе получим х х — „+ г=у (г) «г «у «г — =х — +а «х «х = !п(х! +!п с Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функнией переменных х и у нулевой степени однород- 1 ности. поэтому уравнение вила М(х. у)«х+!11(х. у)«у=О Полагая х — у г. получим «у «» — =! —— «х «х «г «х г(г) — г х ' «с х.=- се« г~г~-. 26 ДИЕЕВЭВНЦИЛЛЬНЫВ КИЛВНВНИЯ ПЯВВОГО ПОПЯДКЛ .