Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 3

надо решить уравнение (В.2) с граничными условиями г (Гз) = гз, г (1,) = гн К этой граничной задаче сводятся многие баллистические задачи, причем очевидно, что решение здесь часто может быть не единственным, так как из точки г (1з) = гз можно попасть з точку г (1,) =.г, по настильной н по навесной траекториям. Точное или приближенное решение задач с начальными условиями и граничных' задач является основной задачей теории лифференциальных уравнений, однако иногда требуется выяснить или приходится ограничиваться выяснением лишь некоторых свойств решений.

Например, часто требуется установить, существуют ли периодические или колеблющиеся решения, оценить быстроту возрастания или убывания решений, выяснить, сильно ли меняется решение при малом изменении начальных значений. Остановимся несколько подробнее на последнем из этих вопросов применительно к уравнению движения (В.2). В прикладных задачах начальные значения га и гз почти всегда являются результатом измерения и, следовательно, неизбежно определены с некоторой погрешностью.

Поэтому естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение. Если сколь угодно малые изменения начальных значений способны вызвать значительные изменения решения, то решение, определяемое неточными начальными значениями гз и ге, обычно не имеет никакого прикладного значения, так как оно даже приближенно не описывает движение рассматриваемого тела. Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых малое изменение начальных значений гз и гевызывает лишь малое изменение определяемого ими решения г(Г). Аналогичный вопрос возникает и в задачах, в которых требуется выяснить. с какой точностью надо задавать начальные значения га и гз, чтобы движущаяся точка с ваданной точностью вышла на требуемую траекторию или попала бы в данную область.

ввадгник Столь же большое значение имеет вопрос о влиянии на решение малых слагаемых в правой части уравнения (В,2) — малых, чю постоянно действующих снл. В некоторых случаях этн малые силы, действующие в течение большого промежутка времени, способны сильно исказить решение и ими нельзя пренебречь. В других случаях изменение решения пол действием этих сил незначительно, и если оно не превосходит требуемой точности вычисления, то малыми возмущающими силами можно пренебречь. Ниже излагаются методы интегрирования дифференинальных уравнений и простейшие способы исследования их решений.

ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде лУ .г (х у) Простейший пример такого уравнения — = У(х) лу рассматривается в курсе интегрального исчисления. В этом простей- шем случае решение у = ~ у (х) а'х+ с содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение у(х„) =уз, тогла у=ус+ ~ У(х) ' ° о В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функпию у(х, у), уравнение — „=У(х.

у) лх также имеет единственное решение, удовлетворякицее условию у (хе) = =у, а его общее решение, т. е. множество решений, содержащее все без исключения решения, зависит от одной проиввольной постоянной. 16 днеЕВГВНЦИЛЛЬНЫВ ГПЛВНЕНИЯ ПВПВОГО ПОЯядил (ГЛ. 1 Пример 1. ду у а'х х' Рнс. 1.1. В каждой точке, отличной от точки (О, 0), угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению —, т. е.

совпадает с уг- У ловым коэффициентом прямой, направленной аз начала координат в ту же Рнс. 1хй Рис. 1.2. точку (х, у). На рнс. 1.2 стрелками наобрансено поле направлений, определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что'интегральными кривымн в данном случае будут прямые у = сх, так кан направления этих прямых есюду совпадают с направлением поля Пример 2.

иу х д.х у' Дифференциальное уравнение — = у (х, у) устанавливает вавилу я'х снмость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной — к графику решения в той же точке. Зная х и у, можно ау лх вычислить —. Следовательно, дифференциальное уравнение рассмачу лх' триваемого вида определяет поле направлений (рис. 1.1) и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые инлтегральными кривылги, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. 4 И гедвнения, пдзвешенные относительно неоизводнои !у Замечаем, что угловой козффициент касательной н искомым интегральным х у кривым — — и угловой козффициент касательной — к интегральным крк- у х вым примера 1 в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности: х у — — .

— = — 1. Следовательно, поле направлений, определяемое рассматри- ,у х ваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений, изображенному на рис. 1.2. Очевидно, что интегральными кривыми уравне- йу х ння — = — — являются окружности с центром в начале координат х'+ и'х у +уз = с' (рис. 1.3) (точнее, полуокружности у=)' с' — х' и у = — Уст — х'). При мер 3. — =)' х'+у'.

и'х Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются илокхинажи. Уравнение изоклин получим, считая — а, где а — постоянная; р х' + у' = а кли х + ут = йд У и и'х Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой козффициент касательной к искомым Рис. 1.4. интегральным кривым равен радиусу зтих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной Ф некоторые определенные значения (см.

рис. 1.4 слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые интегральные кривые (см. рис. 14 справа). Пример 4. 1+ ху. Изоклннами являются гиперболы «=ху+1 или ху=а — 1, причем при а = 1 гипербола распадается на пару прямых х = О и у =О (рис. 1.5).

При Ф = О получаем изоклину 1 + ху = О; зта гипербола разбивает плоскость на части, в каждой из которых у' сокраняет постоянный знак (рис. 1.6). Интегральные кривые у = у(х), пересекая гиперболу 1 + ху = О, переводят иэ области возрастания функции у (х) в области ее убывания или, наоборот, 2 л. з. зльспыьк 18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 1 из области убывания з область возрастания. и следовательнж на ветвях втой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральнык кривых.

Рис. 1.5 Рис. 1.6. Определим теперь знаки второй производной в различных областяк плоскости: у" ху'+у или у" х(1+Ау)-(-у х+(ля+1) у. Кривая л+(х'+1) у О или х у 1+к' (рис. 1.7) разбивает плоскость иа две части, в одной из которых у' < О, и следовательно, интегральные кривые выпуклы вверк, а в аругой у" > О, и значит, интегральные кривые вогнуты вверх. у При переходе через кривую (1.1), интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и следовательно, на втой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и Рис. 1.7. Рис. 1.8. убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклииа а = 1. Этих сведений вполне достаточно для того.

чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых ая вилвнзния с влзделяюшимнся пзэзмзнными 19 (рнс. !.8). но можно было бы вычерпыь еще несколько нзоклнн, что позво- ляло бы уточнить расположение интегральных кривых. Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического характера, переменные х и у совершенно равноправны. Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифференциального уравнения (1.2) естественно наряду с уравнением (1.2) рассматривать также уравнение ил 1 иу у(х, у) (1.3) Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция у=у(х) является решением уравнения (1.2), то обратная функция и=л(у) является решением уравнения (1.3), и слелозательно, уравнения (1.2) и (1.3) имеют общие интегральные кривые.

Если же в некоторых точках одно из уравнений (!.2) или (1.3) теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений. Например, уравнение — = — теряет смысл при л= О. Заменив "У У ил х дх х его уравнением — = —, правая часть которого уже не теряет смысла при х=О, находим в дополнение к ранее найденным решениям у=сх (см. стр. !6) еше одну интегральную кривую х=О етого уравнения. ф 2. Уравнения с разделяющимися перемеинымн Лифференциальные уравнения вида 7з (у) пу = Уз (х) дх (1.4) называются уравнениями е разделенными переменными. Функции у,(л) и у (у) будем считать непрерывными. Предположим, что у (х) является решением этого уравнения, тогда при подстановке у(х) в уравнение (1.4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь: ~ Уз (у) с(у = ! У, (х) дл + с, (1.

5) где с — произвольная постоянная. Мы получили конечное уравнение (1.5), которому уловлетворяют все решения уравнения (!.4), причем каждое решение уравнения (1.5) 20 пиФФеРенцилльные уРАВнения пеРВОГО пОРядкА [Гл. т х лх+ у в'у = О. Переменные разделены, так как коэффициент при только х, а коэффициент при лу является функцией Ых является функцией только у. Интегрируя, получим хах-1- ~ уму с или х*-1-у'=сз является решением уравнения (!.4), так как если некоторая функ- ция у(х) прн подстановке обращает уравнение (1.5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что у(х) удовлетво- ряет и уравнению (1.4). Конечное уравнение г1з(х, у) = О, которое определяет реше- ние у(х) дифференциального уравнения как неявную функцию х, называется интегралом рассматриваемого лифференциального урав- нения.