Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 6

(х„у,) За начальную точку (ха, у,) выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования — изображенную на рис. 1.11 ломаную. Тогда (х, 0) (а,у'' и(х, у) = ~ (х+!) а(х+ / (х — уз+3) Пу = — + х+ ху — — -(-Зу ха у 2 (о, о) (х, 0) и общий интеграл имеет аид ~а уа — + х+ ху — — + Зу = с 2 или как в (1. 17) В некоторых случаях, когда левая часть уравнения М (х, у) е)х + 37 (х, у) с)у = 0 (1.1 4) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию р (х, у), после умножения на которую левая часть уравнения (1.14) превращается в полный дифференциал с(и = )(М с)х )- )а)(( с(у, кпавнения в полных диееееенииаллх 35 х «х+ у ау + (х'+ у') х' дх = О.

1 Очевидно, что после умножения на множитель й =,, левая часть орех'+ у' врзщаетса в полный дифференциал. Действительно, после умножения на 1 Н = , получим хг+ уг +У У +хаил=О хг („уг хз нли, интегрируя, —,1п(х'-1-у')+ — =1пси Умножая на 2 н потенцируя, 2 3 будем иметь 2 — х' (х'+ у') е = с. Конечно, далеко не всегда интегрирующий множитель подбирается столь легко. В общем случае для нахождения интегрирующего множителя надо подобрать хотя бы одно не равное тождественно нулю частное решение уравнения в частных производ- ных ду дх или в развернутом виде — М+ Гг — = — ЛГ+ дн дМ д1г дУ ду ду дх дх Рнс.

!.11. которое после деления на Гг и переноса некоторых членов в другую чзсть равенства приводится к виду д1пи д!пи ой дМ вЂ” М— йГ = — — —. ду дх дх ду (1.18) В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.18) не представляет затруднений. Кроме того, считая, что интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только х+у или только ха+уз, или функцией только х, или только у и т. д.), можно уже беа труда проинтегрировать уравнение (1.18) и Такая функция р называется интегрирующим множителем.

Заметим, что умножение на интегрирующий множитель р(х, у) ьюжет привести к появлению лишних частных решений, обращающих этог множитель в нуль. Г!ример 2. Зб ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ,! дМ д2У ду дх о~куда, считзя непрерывной функцией х, получим дМ дйг 1и и = ) г(х+1и с, Р ду дх с.н дм ц = сед '~ дх.

П.19) Можно считать с=1, так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель. дМ дйг ду дх Если является функцией только х, то интегрирующий множитель, зависящий лишь от х, существует и равен (!.19), в противном случае интегрирующего множителя вида И(х) не существует. Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х, выполнено например, для линейного уравнения — «+ р(х)у=у (х) или'[р(х) у — У(х)) дх+ ду =О.

дМ дд' ду дх Действительно, = р (х) Совершенно аналогично могут быть интегрирующих множителей вида и, следовательно, р=ез с""Лх. найдены условия существования ц(у), р(х+ у), р(ха+ у'), )А(х ° у), И~ — ) и т. д. П р и м е р 3. Имеет ли уравнение х дх+ у Ыу+ х Ыу — у ах =0 (1.20) интегрирующий множитель вида И= И(ха+у')2 Обозначим х'+у'=х. Уравнение (1.18) при И =И(х'+уз) =и(л) принимает вид д(п И дИ дМ 2 (Му — )ох) — = — — —, Ыг дх ду ' указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден.

Например, найдем условия, при которых уравнение М дх+)У' Ыу=О имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, р = 1г(х). При этом урзвнение (1.18) упрощается и приобретает вид д1п и дй дМ ' И= —— ах дх ду ' Е И УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕННИАЛАХ откуда !п ! и ! = —, ! у (х) дл -(- !и с р = 2./ или т .г — ч га] га И=се (1.21) где д)У дМ дк ду Ч(')= Му — Усх )(ля существования интегрирующего множителя заданного вида необходимо ддг дМ дх ду и в предположении непрерывности чг(л) достаточно, чтобы Му — )Ух была функцией только х'+у'. В данном случае дг"аг дМ дк ду 2 Му — А!х ха+ уа следовательно. интегрирующий множитель р=р(ха+у') существует и ра- вен (1.21).

При с = 1 получим Умножая уравнение (1.20) на и=... нривелеы его к виду ! х' + у' ' к дх + у ду х ду — у дх 0 ха+ уа + та+ уа или — д(х'+у') д ~ — ~ ха+у ! ! (у)з — д !П(Ха -!- у') + д аГС!и — =О. 1 2 х Интегрируя, получим !пр'ха+уз = — агс!е — +!па, у и после потенцирования будем иметь -агагя— г )Гха+ уа 38 диофигинцг!лльныи кнлвниння пипвого попядкл !гл. ! нли в полярных координатах р се ч — семейство логарифмических спиралей. При мер 4. Найти форму зеркала, отражающего параллельно ланному направлению все лучи, выходящие из заданной точки.

Поместим начало координат в заданную точку н направим ось абсцисс параллельно заданному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает на зеркало в точке М (л, у). Рассмотрим изображенное на рис. !.!2 сечение зеркала плоскостью Оху, проходящее через ось абсцисс н точку Л!. Проведем касательную Мдг к рассматрпваемому сечению поверхности зеркала в точке М (х, у). Так как угол падения луча равен углу отражения, то треуголышк Л!МО равнобедренный.

Следовательно, х+ 1'х'+ у' А Полученное однородное уравнение легко интегрируется заменой переменных Рис. 1.12. к — = а, у но еще проще. освободившись от иррациональности в знаменателе, переписать его в виде лИх-(- у ну = 1' л'+у' Их. Уравнение имеет очевидный интегрирующий мнозситель лдл+уггу =Лх, Р х'+у' =к+с, у'=2сх+сз 1' х'+ у' 1' х'+ у' йл=сср, р л+с. Можно доказать существование интегрирующего множителя, или, что то же самое, сушествование ненулевого решения уравнения в частных производных (1.18) (см. стр. 35) в некоторой области, если функции М и М имеют непрерывные производные и по крайней мере одна из этих функций не обращается в нуль.

Следовательно, метод интегрирующего множителя можно рассматривать как обший метод интегрирования уравнений вида гг! (х, у) с(х+ М (х, у) с(у = О, однако ввиду трудности нахождения интегрирующего множителя этот метод чаше всего применяется лишь в тех случаях, когда интегри- рующий множитель очевиден. (семейство парабол). Замечание. Эта задача еще проще решается в координатах х и р, где р = 1 л' + у'.

при этом уравнение сечения искомых поверхностей приобретает внд э в! твоивмы схшвствовлиия н единственности 39 5 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения — =У(х, у) ау ах Класс интегрирующихся в квадратурах дифференциальных уравнений весьма узок, поэтому уже со времени Эйлера приближенные методы в теории дифференциальных уравнений приобрели большое значе1ше. В настоящее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники приближенные методы приобретают еше несравненно большее значение.

Теперь часто целесообразно применять приближенные методы дзже в тех случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах. Более того, если даже решение может быть несложно выражено в элементарных функциях. то нередко использование таблиц этих функций окззывается более трудоемким. чем приближенное интегрирование уравнения на быстродействующей машине. Однако, для того чтобы применять тот или иной метод приближенного интегрирования дифферен- у !уг циального уравнения, надо прежде уг всего быть уверенным в существовании искомого решения, а также и в .г~ хг хг единственности решения.

так как при отсутствии единственности остается неясным, какое именно решение требуется приближенно определить. Чаше всего доквзательство теорем существования решения одновременно дает и метод точного или приближенного нахождения решения, что еше более увеличивает значение теорем существования.

Например, доказываемая ниже теорема 1.! дает обоснование хгетода Эйлера приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, который заключается в том, что искомая интегральная кривая дифференциального уравнения — =у(х, у), прохоляшая через точку ау ах (хе, у„). заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков (рис. 1.13), каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек. При применении этого метода для приближенного вычисления значения искомого решения у(х) в точке х = Ь, отрезок хе ( х ( Э (если д ~ хе) делится на л равных частей точками хе, х,, хг, ..., х„ и х„, где х„ = Ь. Длина каждой части х,, — х,=й называется шагом вычисления. Приближенные значения искомого решения в точках хг обозначаем у,. 40 ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЛ.

1 ))ля вычисления у, заменяем на отрезке хз ~,х (х, искомую интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (хз, уа). Следовательно, у, уо+йуо. Где уо — — У(хо, уо) (см. рнс. 1.1З). Аналогично вычисляем: уг= у,+ йу,'. где у,'=Т(х1, у,); Уг= Уг+ "Уг где Уг=У(хг Уг): У,= у„, +АУ„' 1, гле у„', = Т'(х„1, у„,). Если 1 ( х,, то схема вычислений остается прежней, но 1пзг й отрипателен. Естественно ожидать, что при А-ьб ломаные Эйлера приближаются к графику искомой интегральной кривой. и следовательно, с уменьшением шага й метод Эйлера дает все более н более точное значение искомого решения в точке д. )(оказательство этого утверждения одновременно приведет нас к следующей фундаментальной теореме о существовании и единственности решения уравнения — = Т (х, у) иу йх с начальным условием у(х„)=ус при весьма общих достаточных условиях, наложенных на функпию Т(х, у).