Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 11

Поэтому обычно применяют следующий практически достаточно надежный метод: выбрав, исходя из указанных выше неточных 5 л. э. эльсгольц 66 днфэвявнци»льные яялвняния ивяного погядкл <гл соображений, некоторыИ шаг Л, проводят вычисления по одной из формул Л Штермера с шагом Л и —, и сравнивают результаты в общих точках. 2 Если в пределах заданной точности результаты совпадают, то считают, что шаг Л обеспечивает заданную точность вычисления; если же результаты в пределах заданиоИ точности не совпапают. то снова Л Л уменьшают шаг влвое и проводят вычисления с шагом '— н — я Л »ил '~ т,=г'(х», у»), т,=У(х»+ —, у»+ —,— (1.49) ~з 21~»+ 2 У»+ ) л»4 У(~»+Л' У»+в»»Л) и тогда Л у»4! — У» + 6 (/Н~ + 2Ж2+ 2ша + ш4)' (1.50) Обычно метод Рунге применяется лишь для вычисления нескольких первых значений ун у2, ..., необходимых для начала вычисления по методу Штермера, однако можно этим методом вычислять и остальные значения.

Метод Рунге, так же как и метод Штермера, основан на аппроксимации искомой интегральноИ кривой сОприкасающейся параболой. Если сравнить правую часть формулы Рунге (1 60) с разложением по формуле ТеИлора 2 "~ 3 1 !Ч 4 »+У» + 21У» +61У» +41У» + то окажется, что члены со степенями ниже пятой совпадают. Поэтому при вычислении нескольких начальных значений по методу Рунге опять сравнивают результаты и т.

л. Л Вычисления с шагом Л и —,, целесообразно проводить параллельно, чтобы как можно раньше заметить несовпадение результатов и не производить лишней работы. Этот способ двоИного счета имеет еще то пренм)чцество, что при его применении почти полностью исключаются ошибки в вычислениях, так как они, как правило, немедленно обнаруживаются при сравнении результатов вычислений Л с шаго»1 Л и —. 2 Для нахо;кдения нескольких первых значений уп необходимых для начала вычислений по методу Штермера, кроме указанных выше способов (метод Эйлера с уменьшенным шагом с итерациями или без итераций илн метол разложения по формуле Тейлора).

можно рекомендовать еще метод Рунге. По методу Рунге лля нахождения у»4, нало вычислить четыре числа: % П ПРР!ЕЛИЖЕННЫЬ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 87 с переходом затем на вычисление по методу Штермера по формулам (1.42), (1.43) или (1.44) можно вычисление вести с тем же шагом Ь; если же в дальнейшем применяется формула Штермера (1.45), то начало вычисления по методу Рунге надо вести с уменьшенным шагом, так как при одном и том 1ке шаге формула (1.50) не гарантирует той точности вычислений, какую гарантирует формула (1.45).

Впрочем, нередко даже при использовании формул Штермера (1 АЗ) и (1.44) начало вычислений все н<е ведут по формулам Рунге с уменьшенным ша~ом, так как даже небольшая погрешность в вычислении исходных для формул Штермера значений может резко уменьшить точность дальнеИших вычислений "). Современныс быстродействующие вычислительные машины дискретного действия позволяют выполнить указанные выше вычисления по методу Штермера или Рунге с необычайной быстротой (многие десятки н лажа сотни тысяч операций в секунду), причем и процесс программирования может быть значительно упрощен применением стандартных программ, разработанных для методов Штермера и Рунге. При этом прн приближенном интегрировании дифференциального уравнения у'=у (х, у), у(х„) =уз, пало составить лишь подпрограмму для вычисления значениИ у„' = у (хь, у ) и включить ее в стандартную програл1му.

П р н м е р. у' = х'+уз; у(0) = — 1. Найти значение у(0,5) с точностью до 0,01. Воспользовавшись разложением по форл1уле Тейлора у" (0) х' у"'(0)х' у (х) = у (0) + у' (0) х+, + + вычисляем значение у(х) в точках х, =О,! и ха=0,2: у (0,1) = — 0,9(68 и у (0.2) = — 0,8309 (нли вместо у(0,2) вычисляем у( — 0,1), что даже предпочтительнее, так как точка х, = — О,! лежит ближе к начальной точке хз — — О, чем точка л,=0,2). дальнейшие значения вычисляем по формуле Штермера (1.43) с шагом Л = 0,1, а результаты вычисления заносим в таблицу (без разностей е'(Г).

После этого илв параллельно проводим вычисления с шагом в — = 0,05. В результате получим: 2 у (0,5) м — 0,83. ') Более подробно о приближенных методах интегрирования дифференциальных уравнений можко прочесть в книгах А. Н. Крылова [6] и И. С. Березина н Н. П. Жидкова [7] (см. рекомендуемую литературу). 53 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Г Дифференцизльное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид г". (х, у, у')=О. (1.51) Если это уравнение удается разрешить относительно у'. то получаем одно или несколько уравнений у'= У, (х, у) (1 = 1, 2, ...).

Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найдем решения исходного ураву нения (!.51). Проинтегрируем, например, уравнение (у')а — (х+ у) у' + ху = О. (1.52) Разрешая зто квадратное уравнение относительно у', будем иметь: у' = х н у' у. Интегрируя каждое из полученных уравнений, находим; х» у — +с 2 (1,53) и у = се* (1.54) (рнс. 1.24). Оба семейства решений удовлетворяют исходному уравнению. Гладкими интегральнымк кривичи уравнения (1.52) будут также кривые, составленные нз дуги интегральной кривой семейства (1.53) и дуги интегральной кривой семейства (154), если в общей точ.

ке онн имеют общую касательную. Иа рис. 1.25 изображена интегральная кривая уравнения (1.52), составленная из графи- 1 прн с= —, — сосх(1, и у се* при 2' рис. 1.26 — интегральная кривая уравнения (1.52). ха решений у — при х~ о и у — О ярн х > О. 2 Рис. !.24.

ха ков решений у — + с 2 с е ', 1~х<со, а на составленная нз графиков ' Итак, уравнение Р'(х, у, у')=-О (1.51) может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и интеграции полученных прн этом уравнений у'= у,(х. у) (1=1, 2, ...), уже разрешенных относительно производной. й 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной э а1 уравнении. нв развешенные относительно пРОизводнои 69 Однако далеко не всегда уравнение (1.51) легко разрешается относительно у' и еше реже полученные после разрешения относительно у' уравнения у' = у'; (х, у) легко интегрируются, поэтому / / / / / Рнс 1.25. Рис.

1.26, часто приходится интегрировать уравнения вида (1.51) иными методами. Рассмотрим следующие случаи. 1. У раз пение (1.51) имеет вид Р'(у') = О, (1.55) причем существует по крайней мере один действительныйы й корень у'=/с, этого ура в пения. Так как уравнение (1.55) не содержит х н у, то Ес, — постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение у' = лн получим у = Ес;х+ с, у — с или Ес,=, но Ес/ является корнем уравнения (1.55), следовах Е у — сЛ тельно, г'( ) =О является интегралом рассматриваемого урсвх нения. Пример 1.

(у)с — (у)л+у +З=Ю. Интеграл уравнения (у — с)7 (у — с~с+ у — с+З 2. У раз пение (1 51) н лле ет вид с'(х, у')=О.. (1.56) Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то целесообразно ввести параметр Е и заменить уравнение (!.56) лвумя уравнениями: х=ср(Е) и у'=лР(Е), Так как с(у=у'с(х, то в данном случае есу=лР(Е)ср'(Е)лсЕ, откуда у= ~ лу(Е) ср'(Е)с(Е+с и, следовательно, интегральные кривые уравнения (1.56) определяются 70 диеегвгнцилльиые твлвнеиия первого порядка !гл.

! в параметрической форме следующими уравнениями: х = ф (г), у = ~ Ч (г) р'(г) с(г х с. Если уравнение (1.56) легко разрешимо относительно х, х = ф(у'), то почти всегда удобно в качестве параметра ввести у' = д Тогда у=- / пр (!) ж+ с.

х = ф (1), с!у = у' г!х = — )гр'(г) сК Пример 2. х=(у )' — у — 1. Положим у'= Д тогда х= Г' — à — 1, (1,57) Лу = у Кх = г (Зà — 1) ЛД ЗР Е' у= — — —,+с. + (1.58) я и. Полагаем у' = !и й — —, ( Г ~ —; тогда 2 2' х=ыпй 4у = у' их = !и г соз г лт = а!п г кд у = — соз Г+ с, (!.60) или, исключая Г нз уравнений (1.59) и (1,60), получим ха+(у — с,)' = 1— семеистзо окружностей. (1.59) 3. У раз пение (!.51) имеет в ид 7:(у, у')=О. (1.61) Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр г и заменить уравнение (1.6!) двумя уравнениями: у=гр(!) и у'=ф(г). Так как с(у=у'Фх, то Фх= — у=-, откуда х=л! ' +с. чу ~р' (!) и'С ! <р' (!) с!г "р (г) ./ ф(!) Следовательно, искомые интегральные кривые в парал~етрической форме определяются уравнениями х= ! +с и у=гр(г).

/ ~р' (г) л ф(О В частности, если уравнение (1.61) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр удобно взять у'. Уравнения (1.57) и (1.58) определяют з параметрической форме семейство искомых интегральных кривых. Пример 3. х 7 1+ у" = у'. 4 81 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОИ 71 Пейстиительно, если у=ср(у'), то, полагая у'=с, получим иу ср' (С) дг у=ср(с), с(х= —,= У' Пример 4 у — (у')с+ (у )3 + у' + 5. Полагаем у' С; тогда у Сс+ Сз+С+ 5, их= —,=— их (дс -1- 3с'+ 1) дс с, 11 у' 5Р+3С+ — ) стг.