Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 13

Согласно известной теореме о существовании неявной функции можно утверждать, что условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки (х,, у„) функции у' =Г"(х, у), определяемой уравнением (1.78) и удовлетворяющей условию у„'=/'(хс, у). Остается проверить, будет ли функция г" (х, у) уловлетворять условию Липшица илн более грубому условию ~ — ~.ч.М в окрестности точки др ду (ха, уа), так как тогда можно будет утверждать, что уравнение у'=Пх, у) (1.79) удовлетворяез условиям теоремы существоаания и единственности (см.

3 б, стр. 40) и, следовательно, существует единственное решение уравнения (1.79), удовлетворяющее условию у(хе)=ус, а вместе с тел1 существует единственная интегральная кривая уравнения (1.78), проходящая через точку (хз, уе) и имеющая в ней угловой коэффициент касательной у' Согласно известной теореме о неявных функциях можно утверждать, что при выполнении условий 1), 2), 3) производная — су- дУ ду ществует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявных функций.

Дифференцируя тождество Р (х, у, у') = О по у н принимая во внимание, что у' = у (х, у), получим дг , оР ду — + —,— =О, Оу ду' ду или дР дУ ду оу дР ' оу' откуда, принимая во внимание условия 2) и 3), следует, что — ! <И в замкнутой окрестности точки (х,, уа). дУ ду Мноясество точек (х, у), в которых нарушается единственность решений уравнения Р (х, у, у') = О. (1,78) называется особым множеством.

78 ДИФФЕРЕНЦПАЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯЛКЛ 'ГЧ В точках особого множества должно оыгь нарушено по крайней мере одно из условий теоремы 1.5. В дифференциальных уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, условия 1) и 3) обычно дг выполняются, но условие 2) —,, ~ 0 часто нарушается. ду' Если условия 1) н 3) выполнены, то в точках особого множества лолжны одновременно удовлетворяться уравнения р(х, у, у') =0 и —,= О. дГ (1.80) ду' Исключая из этих уравнений у', получим уравнение Ф(х, у)=0, (1.81) которому должны удовлетворять точки особого множества.

Однако не в ка1кдой точке, удовлетзорщошей уравнению (1.81), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1.78), так как условия теоремы 1.5 лишь достаточны для единственности решения, но не являются необходимыми, и следовательно, нарушение какого- нибудь условия теоремы не обязательно влечет за собой нарушение единственности. Итак, только среди точек кривой Ф(х, у) = О, называемой р-днскрямлнлнглноб кривой (так как уравнения (1.80) часце записыгв ваются в виде Р(х, у, р]==0 и —,=0), могут быть точки осодр бого множества. Если какая-нибудь ветвь у=у(х) кривой Ф(х, у)=0 принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется огобоб пнглегральной кривой, а функция у =ф(х) называется особы.н рел1ением.

Итак, для нахождения особого решения уравнения Р(х, у, у')=0 надо найти р-дискрнминантную кривую, определяемую уравнениями Р(х, у, р)=О, —,=О, дб др выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1.78), есть ли среди ветвей р-дискриминантной кривой интегральные кривые, и, если такие кривые есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет.

Если единственность нарушена, то такая ветвь р-дискриминантной кривой является особой интегральной кривой. Пример 1. Имеет ли уравнение Лагранжа у=2ху' — (у')' особое решение) Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполнены. р-днскрнминантная кривая определяется уравнениями: у = 2хр — рз, 79 осокые Реп!к1!т!я тх — 2р= 0, или, исключая р, у =х'. Парабола у=ха не является интегральной кривой, так как функция у х' не удовлетворяет исходному уравнению.

Особого решения нет. П р и м е р 2. Найти особое решение уравнения Лагранжа х — у = — (у')' — — (у')'. 27 (1.82) Условия !) и 3) теоремы существования н едикственности вьщолнены. р-дискриминантиая кривая определяется уравнениями 4 . 8, 8 ,э,з (,,г) 0 !) 27 ' 9 Из второго уравнения находим р = 0 нли р = 1; подставляя в первое уравнение, получим: 4 у=х яли у=х — — „. 27 Лишь вторая из этик функций является решением исходного уравнения. Рис. 1.31.

Рис. 1.30. 4 Для того чтобы выяснить, будет лн решение у =х — — „особым, надо 27 проинтегрировать уравнение (1.82) и выяснить, проходят ли через точки пря. 4 мой у = х — — по направлению этой прямой другие интегральные кривые. 27 Интегрируя уравнение Лагранжа (1.82), получим: (у — с)' = (х — с)з. (1.83) 4 Из уравнения (1.83) н рис. 1.30 видно, что пряыая у = х — — является 27 огибающей семейства полукубичсскик парабол (у — с)т =(х — с)з и, следо- 4 вательно, в каждой точке прямой у = х — — нарушена единственность — ио 27 одному и тому же направлению проходят две интегральные кривые: прямая 4 у = х — — и касающаяся этой прямой в рассматриваемой точке полукуби- 27 ческая парабола. 80 ДИЕФЕРЕНЦИАЛЬНЬГЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ~ГЧ 4 Итак. особым решением является у =х — —.

27 ' В зточ примере огибающая семейства интегральных кривых является особым решением. Если огибающей семейства Оз(х, у, с) =.О (1.84) называть кривую, которая в каждой своей точке касается некото- рой кривой семейства (1.84) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых рассматриваемого семейства, то огибающая семейства интегральных кривых некоторого уравнения Р (х, у, у') = О всегда будет особой интегральной кривой.

Лействительно, в точках огибающей значения х, у и у' совпа- дают со аначенпямп х, у и у' для интегральной кривои, касающейся огибающей в точке (х, у), и следовательно, в каждой точке оги- бающей значения х, у и у' удовлетворяют уравнению Р'(х, у, у') = О, т. е. огибавшая является интегральной кривой (рнс. 1.31). В каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огнбающеИ по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: огибающая и касающаяся ее в рассматрива- емой точке интегральная кривая семейства (1.84). Следовательно, огибающая является особой интегральноИ кривой.

Зная семейство интегральных кривых Ф(х, у, с)=О некоторого дифференциального уравнения ГР (х, у, уЧ = О, можно определить его особые решения путем нахождения огибающей, Как известно из курса дифференциальной геометрии или из курса математиче- ского анализа, огибающая входит в состав с-дискримннантной кри- вой, определяемоИ уравнениями чз(х, у, с) =О и — =О, дФ дс однако, кроме огибающей, в состав с-днскриминантной кривой могут входить и другие множества, например множество кратных дФ дФ точек кривых рассматриваемого семейства, в которых — = — =О. дх ду Чтобы некоторая ветвь с-днсьупмгигагыном кривой заведомо былз огибающей, достаточно, чтобы на ней: 1) существовали ограниченные по модулю частные производные ~дФ~ )дФ~ 2) — + О или — ~ О.

дФ дФ дх дг Заметим, что этн условия лишь достаточны, так что кривые, на ко- торых нарушено одно из условиИ 1), 2), тоже могут быть огибаю- шими. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 81 При лгер 3. Лано семейство интегральных кривых (у — с)'=(х — с)з некоторого дифференциального уравнения (см. пример 2 на стр. 79). Найти особое решение того же уравнения. Находим с-дискриминантную кривую: (у — с)т =(л — с)' и 2(у — с) = 3(л — с)'. Исключая параметр с, получим 4 у=х и х — у — — =О.

27 4 Прямая у = х — —, янляется огибающей, так как иа ней выполнены все 27 условия теоремы об огибаюн1ей. Функция у = л не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Прямая у= л является геометрическим местом точек возврата (см, рнс. 1.30). В точках этой прямой нарушено второе условие теоремы об огнбшощей. П р и и е р 4. Лано семейство интегральных кривых 1 у' — л+ с=О (1.85) некоторого дифференциального уравнения первого порялка. Найти особое решение того же уравнения. Задача сводится к нахождению огибающей рассматриваемого семейства.

Если непосредственна применить указанный выше метод нахождения огибающей, то получим противоречивое уравнение 1 = О, откуда казалось бы естественно сделать вывод, что семейство (1.85) не имеет огибающей. Однако дср в данном случае производная от левой части уравнения (1.85) по у, ду ч 1 = — у , обращается в бесконечность при у = О, и следовательно, не 5 исключена возможность того, что у = 0 будет огибающей семейства (1.85), которую не удалось найти обтцилс методом ввиду нарушения на прямой у = 0 условий теоремы об огибающей. Слелует преобразовать уравнение (1.85) так, жабы длн преобразованного уравнения, эквивалентного исходному, уже выполнялнсь условия теоремы об огибаюгце(с Например, запишем уравнение (1.85) в виде у — (х — с)э=О.