Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, страница 12

— с) 5СР Зр х= — + —, + ~сП с(+с. 4 2 (1.62) (1.63) Уравнения (1.62) и (1.63) являются параметрическими уравнениями семейства интегральных кривых. Пример 5. рс(+ у' Полагаем у' ЗЫ, тогда (1.64) (1.66) В результате получено уравнение первого порядка, уже разрешенное относительно производной, и тем самым задача сведена к уже у си с, ду знгдг дх ~ —, =э — =Ф с(С, зв к=с+с илн, исключая из (1.64) и (1.65) параметр с, получаем у сй(х — с).

Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения ст(х, у. у')=0 (1 51) зависит от всех трех аргументов х, у. у'. Заменим уравнение (1.51) его параметрическим представлениеи: х=ср(и, о), у=$(и, о), у'=а(и, о). Пользуясь аависимостью с(у = у'с(х, будем иметь — с(и + — исо = у (и, о) ~ — пи + — исо1, сИР сКР Г де др ди де ' (ди де ив откуда, разрешая относительно производной —, получим сги ' де дф ссе " ' ди ди х(и, е) — —— сси дф дср — — х(и, о)— де ' ' до 72 диеевгкнцилльныв килвнвния пвявого погадка (гл.| рассмотренной в предыдущих параграфах, однако. конечно, полученное уравнение (1.66) далеко не всегда будет интегрироваться в квадратурах. Вели уравнение Р(х, у, у')=0 легко разрешимо относительно у, то за параметры и и о часто удобно брать х и у'.

действительно, если уравнение (1.51) приводится к виду у = у(х, у'), (1.67) то, считая х и у' = р параметрами. получим у =7 (х, р), г(у= — с(х+ —, др д/ дх ор или ду дУ дУ др — = — + —— их дх др дх ' дУ др р= — + —— дх др дх' (1. 68) если оно легко разрешимо относительно х: «=У(у у) (1.69) В этом случае, взяв за параметры у и у'=р и пользуясь зависимостью с(у=у'дх, получим = Яду+ф 1 или 1 дУ дУ др — = — + —— р ду др ду ' (1. 70) Интегрируя уравнекие (1.70), получим Ф(у, р, с)=0. Это уравнение совместно с х = 7 (у, р) определяет интегральные кривые исход- Интегрируя уравнение (1.68) (конечно. оно далеко не всегда интегрируется в квадратурах), получим Ф(х, р, с)=0. Совокупность уравнений Ф(х, р, с)=0 и у=у" (х, р), где р — параметр, определяет семейство интегральных кривых.

Заметим, что уравнение (1.68) может быть получено дифференцированием уравнения (1.67) по х. Действительно, дифференцируя (1.67) по х и полагая у'=р, получим р=-о--+ — —, что совдр дУ др =Ж др дх падает с (1.68). Поэтому этот метод часто называют интегрированием дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования. Совершенно аналогично часто интегрируегся уравнение г (х, у, у)=0, ного уравнения.

Уравнение (1.70) может быть получено из уравнения (1.69) дифференцированиел1 по у, В качестве примера применения этого метода рассмотрим линей- ное относительно х и у уравнение У=Х1Р(У')+ф(У'), называемое уравнением Лагранжи. Дифференцируя по х и пола~ая У = Р, получим Р=гй(Р)+ хгР'(Р) Р + ф'( ) 'ГР (1.71) (Р— 1Р(Р)) — „= хгР'(Р)+ф'(Р). ар (!.72) а'х Это уравнение линейно относительно х и — и, слеловательно, ар легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив интеграл Ф(х, р, с) = О уравнения (1.72) и присоединяя к нему у=лгу(р)+ф(р), получим уравнения, опрелеляющие искомые интегральные кривые.

При переходе от уравнения (1.71) к уравнению (1.72) пришлось делить на —, Но при этом мы потеряем решения, если они сущеар их ствуют, для которых р постоянно, а значит — ==О. Считая р поар ах стоянным, замечаем, что уравнение (1.71) уловлетворяется лишь а том случае, если р является корнем уравнения р — 1р(р) =О. Итак, если уравнение р — 1р(р) =О имеет действительные корни р = рн то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еше добавить у = хгр(р)+ ф(р), р = рн или, исключая р, У = хгр(рг) +ф(р;) — прямые линии.

Отдельно надо рассмотреть случай, когда р — 1р(р)= — О, и слеир довательно, при делении на — теряется решение р = с, тле с— 1!Х произвольная постоянная. В этом случае гр(у') = у' и уравнение У= хгР(У )+ф(у') принимает вид У =хУ +ф(у') — уравнение Клеро Полагая у' = р, будем иметь: получим У = хР+ ф(Р). Дифференцируя по х, р= р+х — "+ф (р) — ", или (х+ф'(р)) Я= О, откула или — = О и, значит, р= с, или х-1-ф'(р) =О, :1 Р йх % З1 УРАВНЕНИЙ НЕ РАЗРЕ1ПЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОП 73 74 ДИФФЕРЕИПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ.

1 В первом случае, исключая )[, получим: у = сх + !р (с) (1.73) — однопараметрическое семейство интегральных прямых, Во втором случае решение определяется уравнениями р+Ф(р) + ~'(р) =о. (1.74) Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (1 74), является огибающей семейства интегральных прямых (1.73). Рис. 1.28.

Рис. 1,27. 11ействителш[о, огиба[ои[ал некоторого семейства Ф(х, у, с)=0 определяется уравнениями 0)(х, )ч с) — 0 и — О, дФ (1.75) которые для семейства у =сх+ Ч!(с) имеют вид у=ск+[р(с), х.+[У(с)=0 н лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (1.74) (рис.

1.27). Замечание. Как известно, уравнения (1.75) могут определять, кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда дф и другие кривые, однако если хотя бы 'одна из производных дх дФ и — отлична от нуля и обе ограничены в точках, удовлетворяюду щих уравнениям (1.75), то эти уравнения определяют только огибаю- дФ дФ щую. В данном случае зти условия вмполненьп — = — с, — = 1. дх ' ду Следовательно, уравнения (1.75) определяют огибающую, которая может выродиться в точку, если семейство (1.73) является пучком прямых. 75 ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ Пример 6 у = 2ху' — у'" — ураваенне Лагранжа. у =р у = 2хр — ра. дифференцируя, получаем (1.76) р = 2р+ 2х — — Зр. "— лр Дх Дх лр и после деления на — приходим к уравнению с'х (1.

77) и'х р — = — 2х+ Зрд и'р Интегрируя зто линейное уравнение, получаем х = — + — р'. Следовас, 3 р' 4 тельно. интегральные кривые определяются уравнениями у = 2хр — р', с, Зр' х= — '+ р' ' 4 гтр При делении иа —, как указывалось выше, теряются решения р = рп гГх ' где рг — корни уравнения р — э(р) =О. В данном случае теряется решение р = О уравнения (1.77), которому, в силу уравнения (1.76), соответствует решение исходного уравнения у =- О. $9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения В й 6 была доказана теорема существования и единственности решения у(х) уравнения — = — 7 (х, у), удов.летворяющего условию лу лх у(ха) = ус.

Аналогичный вопрос возникает и для уравнений вида Р'(х, у, у') = О. Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку (хс, уа), вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение с (х, у, у') = О относительно у', мьи как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений )р = 7;(х, у) (т = 1, 2...,), и если каждое из уравнений у' = у,(х, у) в окрестности точки (ха, ус) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности 2 6, то для каждого из этих уравнений найдется единственное у = ху' — у" — уравнекие Клеро. ' Одкопараметрнческое семейство интегральных прямых имеет вид у=сх — с'. Кроме того, интегральной кривой является огибающая этого семейства, определяемая уравнениями у= сх — ст и х — 2с= о.

Исключая с. хя получаем у = — (рис. 1.28). 4 Пример 7. 26 ДИЕЕЬЯННПИЛЛЬНЫВ ГЯЛВНГНИЯ ПгяВОГО ПОЯЯДКЛ ШЛ, ! решение, удовлетворяющее условию у (ха) = уз Поэтому свойство единственности решения уравнения Р(х, у, у')=О, удовлетворяющего условию у(хе) = ус, обычно понимается в том смысле. что Рнс. 1.29. через данную точку (хз, уе) по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения Р(х, у, у') =О. г ду;г Например, для решений уравнения ! — ) — ! =О свойство единствен- (,дх) ности всюду выполнено, так как через каждую точку (х,, у,) проходят дне интегральные кривые, но по различным направлениям.

Действительно, — = ю1, у=х+с н у= — х+с. ду дх Для уравнения (у')' — (х+ у) у'+ ху = О, рассмотренного иа стр. 68, в точквл прямой у = я свойство единственности нарушено, так как через точки втой прямой проходят интегральные кривые уравнений у' =х н у' = у по одному н тому же направлению (рис.

1.29). Теорема 1.5. Существует единственное решение у = у (х). хз — )гз~х (хз+)гс, гдв 1гз достаточно мало, уравнения Г(х, у, у') =О, (1. 78) удовлетворяющее условию у(ха) = уе, для которого у'(х ) = уз, гдв у' — один из действительных корней уравнения Р (хе, у„, у')=О, если в замкнутой окрестности точки (ха, у„, уа) функция Г(х, у, у') удовлетворяет условиям: 1) Р(х, у, у') непрерывна по всем аргументам; др 2) производная —, существует и отлична от нуля; оу' осовыв Решения дР 3) сущесшвуеа ограни ченная по модулю производная оу ' ( дР ~ Доказательство.