Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 7

26 0.25 0.24 0,23 11 22 0,22 0,21 0,21 0,23 О. 25 0,24 О. 24 0,23 О Эт 0,24 О. 24 0.23 0,25 0.24 0,24 0 тЭ 0,25 0,25 0,24 76 77 78 79 80 81 Вт 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 8 9 9 5 8 7 10 9 6 10 10 9 7 7 10 8 8 10 8 11 9 9 10 7 7 18 19 20 20 20 20 20 21 21 22 22 22 22 тт 22 22 23 24 24 24 4 О. 24 025 0,26 0,26 0,25 0,25 0,24 0,25 0,24 0,25 0 24 0,25 0,25 0,25 0.24 0,24 0,24 0.24 0.23 0,23 О. 24 0,25 0„25 0,24 0,24 34 Гл. 1, Случайные события н нх вероятности Таким образом, имеем: 18! - 18' е аа~/2л 18, 9! - 9 е ' х/22я . 9, 36! 36зе е эеч% 36, и значит, (х/Вя п° 18.

18' е ' ) Р= ,/2а 36 36'е е эа(х/эя 9 9 е ')" После несложных преобразований находим, что 2 4 Р= = — = 0,26. х/Г8~т 13 Естественно возникает вопрос: какое отношение имеют найденные вероятности к реальным явлениям? Чтобы наглядно зто ошутнть, на одной из лекций был проведен такой эксперимент: студенты принесли несколько колод карт по 36 карт каждая и затем сто раз было произведено разделение колод наудачу на две равные части. В таблице " приведены результаты этого эксперимента. В первом столбце указан номер испьпания, во втором — число появившихся в одной из полуколод красных карт, в третьем— число случаев пеления красных н черных карт пополам среди уже произведенных испытаний и.

наконец. в четвертом столбце даны значения частот. Приводимый на рис. 2 график наглядно представляет изменение частоты д/л в зависимости от числа испытаний. Вначале, когда число опытов невелико, ломаная линия порой значительно уклоняется от прямой у = р = 0,26. и Рнс.

2 й 3. Примеры Затем с увеличением числа опытов ломаная в общем все ближе и ближе подходит к этой прямой. Н р и м е р 6. Имеются л частиц, каждая из которых может находиться 1 с одной и той же вероятностью — — в каждой из Ж(Ф) л) ячеек.

Найти Ф вероятность того, что: 1) в определенных я ячейках окажется по одной частице, 2) в каких-то л ячейках окажется по одной часпще. Р е ш е н и е. Эта задача играет важную роль в современной статистической физике, н в зависимости от того, как образуется полная группа равновероятных событий, приходят к той или иной физической статистике: Больцмана, Бозе — Эйнштейна, Ферми — Дирака. В статистике Больцмана равновероятными считаются любые мыслимые размещения, отличающиеся не только числом, но и индивидуальностью частиц: в каждой ячейке может помешаться любое ~испо частиц от 0 до л. Общее число возможных размещений мы подсчитаем следующим способом: каждая частица может находиться в каждой нз 1л' ячеек, следовательно, л частиц можно разметить по ячейкам Лл различными способами.

В первом вопросе число благоприятствующих случаев будет, очевидно, л! и, значит, вероятность того, что в опрепеленные л ячеек попадет по одной частице, равна л! Р1 = ул л Во втором вопросе число благоприятствующих случаев будет в С раз больше и, значит, вероятность того, что в какие-то л ячеек попадет по одной частице, равна С, л! Л'! 1ул мир~ В статистике Бозе — Эйнштнейна считаются тождественными случаи, когда частицы меняются местами между ячейками (важно только, сколько частиц попало в ячейку, но не индивидуальность попавших частиц), и полная группа равновероятных собьпий состоит из всевозможных размещений л частиц по Ф ячейкам, причем за одно размещение принимается целый класс больцмановских размещений, отличающихся не числами соцержашихся в определенных ячейках частиц, а только самими частицами.

Для наглядного представления о различии статистик Больцмана и Бозе — Эйнштейна рассмотрим частный пример: Л' = 4, л = 2. Всевозможные размещения в этом примере можно записать в виде следующей таблицы, в которой а н Ь вЂ” наименования частиц. В статистике Больцмана все 16 возможностей представляют собой различные равновероятные события, в статистике же лб Гл !. Случайные события и их вероятности Бозе — Эйнштейна случаи 5 и 11,6 н 12, 7 и 13,8 и 14, 9 и!5, !О и 16 попарно отождествляются и мы имеем группу из 10 равновероятных событий.

Таблица 3 Вычислим теперь общее число равновероятных случаев в статистике Бозе — Эйнштейна. С этой целью заметим, что всевозможные размещения частиц по ячейкам мы можем получить следующим путем: расположим ячейки на прямой вплотную друг к другу, расположим далее рядом одну возле другой на той же прямой наши частицы. Рассмотрим теперь всевозможные перестановки частиц и перегородок между ячейками. Таким образом, как легко сообразить, будут учтены всевозможные заполнении ячеек, отличающихся как порядком расположения частиц в ячейках, так и порццком расположения перегородок.

Число этих перестановок равно (л! + и — 1)!. Среди этих перестановок имеются и тождественные: каждое распределение по ячейкам считается (уу' — 1)! Раз„так как мы различали, какие перегородки были между ячейками, а кроме того, каждое распределение по ячейкам мы снова считали по л! раз, так как мы учитывали не только число частиц в ячейке, но и то, какие это частицы и в каком порядке они расположены. Таким образом, каждое распределение по ячейкам мы считали л! (Ж вЂ” 1)! раз, отсюда число различных в смысле Бозе — Эйнштейна размещений частиц по ячейкам равно (л + Л' — ! )! л!(М- 1) .' Таким образом, число равновероятных событий в полной системе событий нами найдено.

Теперь мы легко можем ответить на вопросы нюней задачи В статистике Бозе — Эйнштейна вероятности р, и р, равны 1 л . '(М вЂ” 1)! (л+Л~- !)! '' л!(Ж вЂ” 1)! й 3. Примеры зт С" ЛЧР— 1)1 Рэ = (л +?у — 1)! (Л? — л)! (?у+ л — 1)! л1 (Л? — 1)! Рассмотрим, наконец, статистику Ферми — Дирака. Согласно этой статистике в ячейке может находиться либо одна частица либо не находится ни одной: индивидуальность частиц уничтожается. Обшее число различных размешений частиц по ячейкам в статистике Ферми — Дирака подсчитать легко: первая частица может быль расположена Л' различными способами, вторая — только Л' — 1, третья — (Л? — 2) и, наконец, л-я — (Л? — л + 1) различными способами.

Таким образом, л частиц по Л' ячейкам могут быть расположены ?У! Л?(?У вЂ” 1)... (Л? — л < 1) = (У вЂ” лз. различными равновероятными способа ми. Легко сообразить, что в статистике Ферми — Дирака искомые вероятности равны (У вЂ” л)! Р1 = ЛП Р =1 Рассмотренный пример показывает, насколько важно точно определять, какие собьпия считаются в задаче равновероятными. П р и м е р 7. У театральной кассы стоят в очереди 2л человек. Среди них л человек имеют монеты только рублевого достоинства, а остальные— только монеты по 50 копеек.

Билет стоит 50 копеек. Каждый покупатель приобретает по одному билету. В начальный момент в кассе нет денег. Чему равна вероятность того, что ни один покупатель не будет ждать сдачу'? Эта задача является переформулировкой вопроса, который возник при изучении проблем управления качеством продукции в процессе производства.

Всевозможные расстановки покупателей равновероятны. Таким образом П имеется С „всех возможных равновероятных случаев. Для разыскания числа благоприятствуюших случаев прибегнем к следуюшему геометрическому приему. Рассмотрим плоскость кОу и долусзнм, что покупатели в порядке очередности располагаются в точках осн абсцисс с координатами 1, 2, ..., 2л. В начале координат расположена касса. Припишем каждому лицу, имеюшему рубли, значение +1, а имевшему полтинники — значение — 1, Будем теперь суммировать последовательно эти значения слева Гн.

!. Случайные события н их вероятности направо и в каждой целочисленной точке отмечать в виде орцинаты полученную сумму (рис. 3). Припишем началу координат ординату, равную О. Соединим концы ординат ломаной и назовем ее траекторией. Ясно, что она на концах отрезка (О, 2л) 'имеет ординаты, равные О. Каждой траектории поставлено в соответствие определенное расположение лиц с рублями и полтинниками. Интересующему нас собьпию благоприятствуют те и только те траектории, которые не поднимаются над осью абсцисс.

Вычислим теперь общее число траекторий, достигающих или пересекающих хотя бы раз прнмую у = 1. Зти и только зти траектории благоприятствуют противоположному событию, когда хотя бы одному лицу Рис. 3 придется ожидать сдачу. Для этой цели построим новую, фиктивную траекторию. До первого достижения прямой у = ! она совпадает со старой, а от точки достижения этой прямой она является зеркальным отображением старой траектории относительно прямой у = 1 (на рис. 3 — пунктирная ломаная).

Каждая новая траектория начинается в ~очке (О, О) и заканчивается в точке (2л, 2), Отсюда вьпекает, что единичных подъемов она имеет больше, чем спусков (именно: п + 1 подъем и л — ! спуск). Отсюда л — ! следует, что всех новых траекторий будет С „. Значит число событий л л — ! благоприятствующих собьпию нашей задачи, будет Сэл — С л и тем самым искомая вероятность равна Сэ„ Л 1 р=! „ -1 Сэл л+1 лт! й 4.

Геометрические вероятности Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность "классического" определении вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных собьпий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо беско- б 4. Геометрические вероятности печное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие "равновероятностн" некоторых событий. Обшая задача, которая ставилась и привела к распространению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом. Пусть имеется, например, на плоскости некоторая область С и в ней содержится другая область я с квадрируемой границей. В область С наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область я.