Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 5

При бросании на плоскость геометрически правильного куба, изготовленного из однородного материала, любая из шести граней (при подбрасывании наудачу) не имеет реальных преимуществ перед другими. Таким образом, если перенумеровать грани цифрами от 1 до б, то прн бросании куба могут произойти шесть равновероятных событий: выпадение граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. При подбрасывании однородного по плотности правильного двадцатигранннка (икосаедра) выпадение каждой грани в силу симметрии одинаково возможно.

Мы имеем случай, когда возможны двадцать равновероятных исходов. Представим себе теперь, что при каждом испытании единственно возможны л иесовмесгимыя и равновозмоэгных исходов Е,, Ез,, Е„. Слово "несовместимьй" было введено в науку английским ученым Байесом (1702 — 17б1) и означает, что если наступил какой-нибудь исход Е,, то ни один из остальных л — ! исходов в этом испытании наступить уже не мог. Так, если при бросании игральной кости выпала грань *'3", то зто означает, что при том же бросании не могла появиться грань "5". Кажцый такой исход станем называть элементарным событием Наряду с элементарными событиями рассматриваются также случайные события.

Часто представляет интерес наступление при испытании не какого-то элементарного события, а одного из нескольких определенных элементарных событий. Например, прн бросании игральной кости нас может интересовать появление граней с числом очков, больших трех, пе. появление какого-то из элементарных событий "4", "5", "б". Мы станем говорить в этом случае, что нас интересует случайное событие — выпадение числа очков, больших трех.

Вообще, если нас интересует появление какого-то из определенных элементарных собьпий, например, одного нз собьпий Ег, Ег,..., Е,, то мы станем говорить, что нас интересует наступление случайного события А, состоящего в выпадении какого-то нэ и только что указанных элементарных событий. Вероятностью случайного события А называется отношение числа несовмесшмых равновсроятностных элементарных событий, сосэавляющнх А (т.е.

числа и), к юслу всех возможных элементарных событий (т.е. к числу л). Вероятность слэ ~ейного собьпня А обозначается символам Р(А). Гл. 1. Случайные события я ях вероятяоетя 32 Согласно только что данному определению гл РМ) = —. Например, при однократном бросании игральной кости полная грулиа попарно несовместимых и равновероятных собьпнй состоит из собьпий Е,, Ет, Еы Ее, Ее, Еь, которые состоят соответственно в выпадении 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Собьпие Ез+Еяейь состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется иа три частных случаа, входящих в состав несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность собьетия С равна Р© = 3/6 = 1/2. Очевидно также, что в силу принятого определенна Р(Е;) = 1/6, 1 <1< 6, РФи + Ет)'= 2/6 = 1/3 и т.д. Рассмотрим теперь бросание двух костей.

Если кости правнльньб то выпадение каждон из 36 возможнмх комбинаннй числа очков На первой и втором кости можно считать равновероятными, 3ант скажем, вероятность выпадения и сумме 12 очков равна 1/36. Выпадение и сумме 11 очков возможно двумя способамн: на первой кости 5, а ла другой 6; на первой кости 6, а на второй 5. Йозтому вероятность вьпмдення н сумме одиннадцати о~кон равна 2/36 = 1/1б. читатель легко проверит„что вероятности выпадения той илн иной суммы очнов даются следующей табетнпей: тебяиае 4 5 6 36 36 36 Вероятное еь 36 36 Чаеяо очков ! 36 4 3 2 36 36 36 Вероятность й 2, 11олс собьггий. Классическое олрелеление Подсчитаем теперь общее число возможных случайных событий, которое можно образовать из л элементарных. Очевидно, что можно образовать С„собьпий, каждое из которых будет содержать по т каких то элементарных событий (1 < т < л) .

При т = л случайное собьпие всегда происходит, т.е. оно является достоверным. Всего, таким образом, образовано и Х Сл м 2 — ! событий. Добавим теперь ко всем построенным событиям м=! еше одно, которому не соответствует ни одно элементарное событие, т.е.

состоящее из'пустого множества элементов. Очевидно, что оно никогда не может наступить (поскольку ему не соответствует ни одно элементарное событие). Это случайное событие носит название невозможного события. Таким образом, всех случайных событий в рассмотренном нами случае будет "". Ближайшие рассмотрения относятся не только к классическому определению вероятности, но и ко всем дальнейшим обобщениям.

Будем считать фиксированным комплекс условий к и станем рассматривать некоторую систему 5 событий А, В, С... *), каждое из которых должно при каждом осуществлении комплекса З произойти или не произойти е*). Между событиями системы 5 могут существовать известные соотношения, с копзрыми мы постоянно будем иметь дело и которые поэтому прежде всего изучим. 1) Если при каждом осуществлении комплекса условий Р, при котором происходит собьпие А, происходит и событие В, то мы будем говорить, что А влечет за собой***> В, и обозначать это обстоятельство символом С: или символом 3: ВЭА.

2) Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за собой А, т е. есз1и при каждой реализации комплекса условий б события А и В оба наступают нли оба нс наступают, то мы будем говорить, что собьпия А и В равносильны и будем обозначать зто обстоятельство символом = . А-В. 3) Событие, состоящее в наступлении обоих собьпий А и В, будем называть произведением собьпий А и В и обозначать АВ. *1 Сосгыгин в Лавьнсйюсм обс~иычанггси лагннскимн прописными буквами 1. В, Г; 11, Е... Нмссыг "ггроиаойги" говори~ ~акжс 'лонвигьсн", 'имс~ь моего" или "иасчулигь" *в') Нмссго "А влсчсг ае собой В" говори г гакжс "А нвллсгсн часгным случаем В". Гл. 1. Случайные события и их вероятности 4) Событие, состоящее в наступлении хоти бы одного из собьпийА и В, будем называть суммой собьпийА и В и обозначать А + В.

5) Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а собьпие В не происходит, будем называть разностью событий А и В и обозначать А — В. б) Событие, состоящее в том, что собьпие А не происходит, называется противоположным для А и обозначается символом А. Пусть, например, комплекс условий ю состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис. 1, выбирается наудачу точка. Обозначим через А событие "выбранная точка лежит внутри левого круга" и через В собьпие "выбранная точка лехап внутри правого круга". Тогда события А, А, В, В, А + В, АВ, А — В,  — А, А — В состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах рис.

1. Рассмотрим другой пример. Допустим, что комплекс условий й состоит в том, что на стол бросается (олин раз ) игральная коссь. Обозначим через А АВ А+В А-В В-А Рис. ! 25 й т. Поле событий. Классическое олреаеление выпадение на верхней грани кости *) шести очков, через  — выпадение трех очков, через С вЂ” выпадение какого. либо четного числа очков, через Р— выпадение какого-либо числа очков, кратного трем.

Тогда события А, В, Сн Р связаны следующими соотношениями: А СС, А СР. ВСР, А+В=Р, СР=А Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий: А+В+... +Л' обозначает событие, заключающееся в настуштении хотя бы одного из собы- тий А,В,...,тт', а обозначает событие, заключающееся в наступлении всех собьпий А, В,..., Лт.

7) Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти (при каждой реализации комплекса условий гп). Например, при бросании двух игральных костей достоверно, что сумма очков будет не меньше двух. Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти (ни при одной реализации комплекса условий гк).

Например, при бросании двух игральных костей невозможно появление сумглы очков, равной тринадцати. Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой. Поэтому законно обозначать все достоверные собьпия одной буквой. Мы будем употреблять для этого букву й. Все невозможные собьпнч тоже равносильны между собой.

Мы будем обозначать любое невозможное собьпие знаком ф. 8) Два события А и А называются лроптвололожиыми, если для них одновременно выполняются два соотношения: А ~А=О. 'АА=ф. Например, если при бросании одной игральной кости С обозначает выпадение четного числа очков, то аа — С=С есть событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков.

"1 В Японии изгогоанню~ мнерь кос~и не ~олька н аиьж кабан. но ~акме н ание ло.ккаелрон и икосаеароа. 26 Гл. 1. Случайные события н нх вероятности 8) Лва события А и В называнпся несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т.е. если АВ =ф. Если А=В, +Во+...+Вн и события В; попарно несовместимы, т.е. В Ве =ф при 1Ф1, то говорят, что событие А подразделяется ла частные случаи В,, Вт,..., В„. Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпаде- нии четного числа очков, подразделяется на частные случаи Е„Е„Е,, состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков. Собгатня В„Вз,...,В„образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществле- нии комплекса ю), т.е.

если В + В +... + Вн =11. Особенно существенны для нас в дальнейшем будут полные группы попар- но несовместимых событий. Такова, например, при однократном бросании игральной кости система событий Еы Ез, Ез. Еео Ез, Ее состоюцая, соответственно, в появлении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. 9) В каждой задаче теории вероятностей приходится иметь дело с каким-либо определенным комплексом условий гв и с какой-либо опре- деленной системой 5 событий, наступающих или не наступающих после каждой реализации комплекса условий еэ. Относительно этой системы це- лесообразно сделать следующие допущения: а) если системе 5 принадлежат события А и В, го ей принадлежат также событияАВ,А т В, А — В: б) система 5 содерягиг достоверное и невозможное события. Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется по- лем событий.

Заметим еще в заключение, что но нссх рассмотрениях теории вероят- ностей равносильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому мы условимся в дальней1псм любые два равносильных собьпия считать просто тождественными друг другу. Рассмотрим какую-либо полную систему С попарно несовместимых рав- новозможных событий (назовем их элементарными событиями); Е! 62 Еп н рассмотрим систему событий 5, состоящую из невозможного события ф, и 2. Поде »опытна. Клее»не»слое оправ»пенне всех соболий Е» системы б и всех собьпий А, которые могут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав системы 6. Палример, если система б состоит из трех элементарных собьпий Е,, Е„ И Е„то в систему 5 входят события Р, Е,, Е», Еэ, Е1 + Ею Е» + Еэ, Е1 + Еэ Й =Е, еЕ» ей».

Легко установить, что система 5 есть поле событий. В самом деле, очевидно, что сумма, разность н произведение собьпий из 5 входят в 5; невозможное событие 1» входит в 5 по определению, а достоверное собьпие »» входит в 5 так как оно представляется в виде ~1 Е» ~е. В соответствии с приведенным определением каждому собьпию А, принадлежащему к построенному сейчас полю собьпий 5, приписывается вполне определенная вероятность Р(А) = т/и, где т есть число тех событий Ег исходной группы 6, которые являются частными случаями события А. Таким образом, вероятность Р(А) можно рассматривать как функиию ог события А, определенную на поле событий 5.