Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 6

Функция эта обладает следующими свойствами; 1. Дая каждого события А поля 5 Р(А) > О. 2.Л»я достоверного события й Р(й) = 1, 3. Если событие А подразделяется на частные случаи В и С и все три со- бытия А, Ви Спринадлежат полю5, го Р(А) = Р(В)+ Р(С). Это свойство называется теоремой сложения вероятностей. Свойство 1 очевидно, так как дробь т/и не может быть отрицательной. Свойство 2 не менее очевидно, так как постоверному событию й благоприятствуют все и возможных результатов испытания, и поэтому Р(Й) = и/п = 1. Докажем свойство 3. Пусть событию В благоприятствуют т', а событию С вЂ” т событий Ег системы б.

Так как собьпия В н С по допущению несовместимы, то события Е;, благоприятствующие одному из ннх, отличны от событий Ееч благоприятствующих другому. Всего, таким образом, имеется Ф е т + т событий Е;, благоприятствующих появлению одного из событий В Гл. 1. Случайные события н нх нероятностн 28 или С, т е. благоприятствующих собьпню В + С = А. Следовательно, гп +гп п1 гп Р(А) = = — + — = Р(В) + Р(С), что и требовалось доказать, Мы ограничимся здесь указанием еще нескольких свойств вероятности.

4. Вероятность события А, противополоэгного событию А, равна Р(А) = 1 — Р(А). Лействительно, так как то, согласно уже доказанному свойству 2, Р(А +А) = 1, а так как события А и А несовместимы, то по свойству 3 Р(А + А) = Р(А) + Р(А).

Два последних равенства доказывают наше предложение. 5. Вероятность невозможного события равна нулю, В самом деле, события й и ф несовместимы, поэтому Р(й) + Р(ф) = Р(й), откуда следуе~, что Р(ф) = О. 6. Если событие А влечет эа собой событие В, то Р(А) < Р(В). Действител но, событие В может быть представлено как сумма двух собьпийА иАВ. Отсюда в силу свойств 3 и 1 получаем; Р(В) = Р(А + А В) = Р(А ) + Р(АВ) э Р(А ). 7.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Из того, что для любого события А имеют место соотношения фСА+ф=А =АйСй, следует в силу предыдушего свойства, что имеют место неоавенства О = Р(ф) ~< Р(А) ~ Р(й) = 1. й 3. Примеры з 3. Примеры Мы рассмотрим теперь несколько примеров вычисления вероятностей событий, пользуясь классическим определением вероятности, Приводимые нами примеры носят исключительно иллюстративньй характер и не претендуют на то, чтобы сообщить читателю все основные методы расчета вероятностей. П р и м е р 1.

Бросаются три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме выпавших очков 11 или 12? Эта задача, как это видно из исторического дополнения, была одной из первичных, на которой формировались понятия и методы теории вероятностей. Утверждают, что с ней связана и следующая легенда: однажны к Галилею (а кто говорит, что к Гюйгенсу) за консультацией обратился ландскнехт. Его интересовал именно предложенньй нам вопрос.

Ландскнехт оказался мыслящим человеком, склонным к теоретическому и экспериментальному мышлению. Он заявил Галилею, что согласно логике обе эти суммы должны появляться оцинаково часто, но опьп учит другому, а именно, что сумма 11 появляется чаще, чем! 2. В чем здесь пело? Обоснование ландскнехта на первый взгляд звучит убедительно: числа 11 и 12 оба могут быть разложены на сумму трех положительных слагаемых лишь шестью различными способами, а именно, 11=1+5+5=1+4+6=2+3+6=2+4+5= =3+3+5=3+4+4; 12=!+5+6=2+4+6=2+5+5=3+4+5= =3+3+6=4+4+4; отсюда по его мнению вытекает равновозможность обоих интересуюших нас событий. Однако Галилей возразил ему, сказав, что каждое из этих разложений следует снабдить еще определенным весом и пояснил свою мысль таким рассуждением.

Назовем кости "первой", "второй" и "третьей"; тогда разложение 1+ 5+ 5 на самом деле может проиэойтн не одним, а т ре ма различными способами; 1ч5+5=5+1+5=5+5+1, т.е. единица может вьшасть на первой, второй или третьей кости. Точно также разложение 1+ 4+ 6 может произойти следующими ш е с т ь ю различными способами: 1+4+6 =.1+6+4=4+1+6=4+6+1= =6+1+4=6+4+1. Таким образом, 11 в сумме может появиться не шестью, а 27 различными равновозможными способами. Сумма >ке 12, оказывается, разлагает- Гл. !. Случааные события и их вероятности ся лишь 25 различными способами. Здесь все дело в том, что разложение 4+ 4+ 4 осуществимо лишь одним способом. Теперь заметим, что общее число всех возможных равновероятных выпадений трех игральных костей равно бз = 216.

Это было правильно подсчитано еще в ХП веке. Обозначим через А и В случайные события, состоящие в выпадении соот- ветственно 11 и 12 очков в сумме. Тогда согласно данному нами класси. ческому определению вероятности, Р(А) = 27/216 и Р(В) = 25/!26. В математической статистике показывается, что для уверенного разделе- ния двух вероятностей, отличающихся менее чем на одну сотую, нужно произвести много тысяч испытаний. П ри ме р 2. Из колоды карт (Зб карт) наудачу вынимаются три карты.

Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз. Р е ш е н и е. Полная группа равновероятных и несовместимых событий в нашей задаче состоит из всевозможных комбинаций по три карты, их чис- ло равно Сззь. Число благоприятствующих событий можно подсчитать следующим способом. Один туз мы можем выбрать С,' различными спосо- бами, а две другие карты (не тузы) можно выбрать Сг„различными способами, Так как для каждого определенного туза две остальные карты могут быть выбраны Сгзг способами, то все~о благоприятствующих случаев будет Сь . Сгз,.

Искомая вероятность, таким образом, равна 4 32 31 Сь. Сзг 1 ! '2 31' 16 496 = 0,2778, Сзь 36'35 '34 35 ' 3' 17 1785 1 2 3 т.е. немного больше 0,25. П р и м е р 3. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз. Р е ш е н и е. Обозначим интересующее нас событие буквой А: оно может быль представлено в виде суммы трех следующих несовместимых собьпий: А, — появление одного туза, Аг — появления двух тузов, А,— появления трех тузов.

Рассуждениями, аналогичными тем, которые мы привели при решении предыдущей задачи, легко установить, что число случаев, благоприятствующих событию А~ равно С,' Сзз, Аг " Сь'Сзг Аз " Сь ° Сзг. й 3. Примеры Так как число всевозможных случаев равно С, ь, то з Сь'Сзз 16'31 Р(.4г)= з = — =0,2778, Сзь 3'35'17 СзьС гг 3. 16 Р(Аз) = з 00269. Сзь 3'35 17 Сь Сз, 1 Р(" ) =, = — — =0,0006. Сзь 3'35'17 В силу теоремы сложения 109 Р(А) = Р(А г) + Р(Аг) + Р(Аз) = — = 03053 3 . 119 Этот пример можно решить и иным методом. Событие А, противоположное А, состоит в том, что среци вынутых карт не окажется ни одного туза.

Очевидно, что тРи нетУза можно вынУть из колоды каРт Сзз Различными способами н, следовательно, С", 32. 31. 30 31 8 Р(А) =; — — — 0,6947 С 1„ 36 35 - 34 3 17 7 Иск ' ги вероятность равна Р(А) —" 1 - Р(А) 0,3053. П р и м е чан и е. В обоих примерах выражение "наудачу" означало, что всевозможные комбинации по три карты равновероятны. П р и м е р 4. Рассмотрим теперь пример, который широко используется при проверке качества принимаемой продукции. В математическом отношении он близок к примеру 2. В урне находится гц одинаковых ло размеру и внешнему виду шаров: среди них М белых н Лг — М черных.

Наудачу вынимаются л шаров (без возвращения н урну) . Чему равна вероятность того, по среди них окажется т белых? Из условия задачи ясно, что мы предполагаем выполнение неравенств щ<я и иг <М, а также и ггг <ге' М и Общее число всех равновероятных случаев, как легко понять, равно С, Число благоприятствующих случаев подсчитаем следующим путем: различт ных способов извлечь лг белых шаров имеется См, а л — лг черных— и — иг С н. Таким образом общее число благоприятных равновозможных Гл. 1.

Случаииыс собьпил и их вероятности 'таблица 2 ~л,л- т случаев равно Сз!. Слз, . Отсюда искомая вероятность ~л л — и! с, с, 77 = Л' П р и м е р 5. Колоду карт, состояшу!о нз 36 карт, наудачу разделяют на две равные части. Чему равна вероятность, что в обеих частях окажется но ра в ному числу красныхи черных карт. Выражение "наудачу" означает, что всевозможные разделения колоды на две равные части равновероятны. Р е ш е н и е. Наы нужно найти вероятность того, что среди наудачу вынутых из колоды 18 карт 9 будут красными и 9 — черными.

Согласно лри- ! 2 3 4 5 6, 7 8 9 10 11 13 14 15 1б 17 18 19 20 2! 22 23 25 8 9 11 9 11 8 1! 9 8 7 17 1О 9 !3 !7 8 !1 10 8 11 ! 1 10 1О 9 0,00 0.50 0,33 0.50 0,40 0.33 0.29 0.37 0.33 0,30 0.27 ОД 5 О.З ! 0.29 О.'7 0.25 0.23 0 Эз 0.2! 0.20 0.19 0.18 О.! 7 0.2 1 0.24 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 б! 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 9 8 9 7 9 11 8 8 8 10 !2 9 !1 !) !1 8 1О 8 7 9 !О 8 1! 13 13 !3 14 !4 15 !б 16 16 16 16 16 16 17 !7 17 17 17 17 17 17 !8 !8 18 18 0.25 О.

25 0,25 0,26 О. 26 0,27 0,28 0.28 0.27 0,27 0.26 О. 26 О. 25 0.27 0,26 0.26 0,26 0.25 О. 25 0.25 О. 24 0.25 0 '5 0.24 0.24 6 3. Примеры 33 Номер испыта- ний Число Число Номер красных благопр. Частота испыта«арт случаев ний меру 4 искомая вероятность равна, следовательно, е 9 С„.Сга 77 = С34 ~! 8)~ 361~91)4 Чтобы составить себе представление о величине этой вероятности и при этом не производить утомительных вычислений, мы воспользуемся формулой Стирлинта, согласно которой имеет место следуюп1ее асимптотическое равенство: Л! -ХГГтяу! Плс 2.Б.В. Гнеленко 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 14 9 1О 1О 7 1О 7 8 10 9 9 !О 10 7 9 10 1О 9 8 7 12 9 6 7 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 9 9 9 9 9 !О !О 10 11 11 11 11 12 1т 0.23 О.