Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 4

Прежде чем переходить к изложению основных результатов теории вероятностей, мы должны формализовать те понятия, с которыми она имеет дело. Пока же понятие "случайного" явления имеет лишь чисто описательный. интуитивный и весьма расплывчатый облик. Мы увидим, что теория вероятностей занимается изучением не любых событий, которые в житейской практике называются случайными, а только тех из них, которые обладают определенными свойствами.

Прежде всего, она ограничивается изучением лищь тех событий, которые в принципе могут быть осуществлены неограниченное число раз, притом в неизменных условиях. Приведем примеры. Игральная кость может быть подброшена в одних и тех же условиях столько раз, сколько эаблагорас- 1в Гл. !.

Случайные события и их вероятности супится нам, исследователям. Мы можем производить неограниченно большое число наблюдений за числом вызовов абонентов телефонной сети, поступающих за четверть часа дневно~о времени. Выходные дни н ночные часы мы при этом исключим из рассмотрения, поскольку могут возник. путь опасения, что условия формирования потока вызовов в эти дни и часы будут отличны от будней. Палее, теория вероятностей занимается лишь теми событиями, которые обладают так называемой статистической устойчивостью нли, иначе. устоичивостьк~ частот. Это требование к случайным событиям следует рассмотреть более подробно. Представим себе, что производится последовательность испытаний, в каждом из которых может появиться, а может н не появиться некоторое собьпие А. Эти испь1тания производятся в одинаковых условиях.

и результаты одних испытаний не оказывают влияния на результаты друг.их (как говорят, испытания независимы). Обозначим через д число появлений события А в каких-то и заранее назначенных номерах испытаний, например в л последовательных испытаниях: тогда частота, т.е. отношение д /и при больших л для статистически устойчивых событий А близка к постоянной и лишь слегка изменяется от одной серии в и испытаний к другой. Проверка статистической устойчивости представляет собой довольно Сложную задачу, и сейчас мы не станем ею заниматься.

Позднее же к этом> вопросу мы будем возвращаться неоднократно. Теперь подчеркнем ту мысль, что теория вероятностей не занимается изучением уникальных собьпий, которые не допускают повторений. Так, не имеет смысла говорить о том, какова вероятность, что данный студент сдаст экзамен по теории вероятностей на ближайшей экзаменационной сессии. поскольку здесь речь идез о единичном событии, повторить которое в тех же самых условиях нет возможности. Мы можем об этом событии высказывать лишь некоторые суб ьективные суждения, основанные на нашем знакомстве со знаниями этого студента.

Теория же вероятностей ставит перед собой задачу научения обьективных закономерностей, которые не зависят о~ субьектнвных суждений того или иного лица. И как бы ни были интересны вопросы, касающиеся единичных, неповторимых событий, теория вероятностей к ним не имеет отношения, если только относительно них нет возможности провести длительные независимые испытания в одинаковых условиях. Так, все следующие высказывания— б августа 1999 г. в Термезе произойдет землетрясение силой в 8 баллов; к двухтысячному году будут нандены радикальные методы излечения всех форм рака; в !989 г.

родится поэт, по таланту равный АХ. Пушкину — носят характер уникальности, и ответ на них будет получен (положительный или отри- 1. Интуитивные прелставлення цательный) в свое время. Пока же эти события носят неопределенный характер. И хотя онн относятся к категории "может произойти, а может и не произойти", к иим понятия и методы теории вероятностей не имеют отношения. Теория вероятностей изучает лишь такие случайные события, и отношении которых имеет смысл Не тОЛько утверждеНИе об их случайности, но и возможна абъективнан оценка доли случаев нх появления. Эта оценка может бвпь выражена прецложениеМ Вцца: 1.

Вероятность того, что прн осуществлеННН ояредвлеиного комплекса условий Ь произойдет собьстие А, ранна р.') Закономерности такого рода называются стохасгическими нли веролтносгньсми. С ними приходится иметь дело в самых разнообразных ситуациях, связанных с изучением как природных, так и общественных явлений, а также в самых разнообразных прикладных нопросах. Для примера, пусть у нас имеется некоторое техническое устройство, скажем, электрическая лампочка. Иас интересует вопрос: проработает ли она безотказно 1500 часов? Заранее мы не можем ответить ни утвердительно, нн отрицательно.

Для этого у нас нет данных. Ио мы можем н должны ответить иначе, что доля тех лампочек яэ большого числа находящихся в одинаковых условиях эксплуатации, которые проработают по меньшей мере 1500 часов, равна п. Эта величина существенно зависит от того, на каком преллрннгин изготовлена лампочки н, безусловно, от того, в каких условиях ей приходится работать (исправность проводки и патрона, размеры колебаний напряжения н силы тока и пр.) .

Конечно, каждая электрическая лампочка индивидуальна по своим «ачествам, но зтнх лампочек изготовляется очень много и испытать можно большое их число, притом изготовленных в одних и тех же производствен. ных условиях. Мы встречаемся, таким образом, с повторением испытаний двух различных типов; а) повторение испытаний для одного н того же объекта изучения (повторное извлечение шара нз урны, содержащей несколько одинаковых шаров; извлечение наудачу карты нз полной колоды и т.ц.); б) испытание многих сходных объектов.

Именно по этому образцу на завоцах производится нспьпаннс качества изготовленной продукции. Формулировка детерминистических законоМерностей, к которыМ все мы привыкли со школьных лет, звучит так: 2. Прн кажцом осуществлении комплекса условий б обязательно происходит событие А. В следующем параграфе мы удушим, что вероятность случайного события измеряется числом, заключенным между 0 н 1. Единице соответству') Мы пока не даем определения понятия вероятностн н полагаемся на нмеюдесеся у читателей ннтунтнвныс представления.

Гл. 1. Случайные события и их вероятности ют те события, которые обязательно наступают при каждом осушествлении комплекса б. Такие события называются достоверными. Если же собьпие невозможно, то ему соответствует вероятность О. Мы видим, что детерминистические закономерности можно рассматривать как частный случай стохастических, пля которых вероятность р равна О или 1. Таким образом, стохастические закономерности являются более широкими, чем детерминистические, и позволяют точные, количественные методы применять и в тех случаях, когда о классическом детерминизме не может быть и речи.

Кажцый исследователь, имеющий дело с применениями теории вероятностей к физике, биологии, инженерному делу, организации производства нли любой другой конкретной области знания, исходит в своей работе из убеждения, что вероятностные суишения выражают определенные объективные свойства реальных явлений. Поэтому утверждение, что при выполнении некоторого комплекса условий Ь собьпие А имеет вероятность р, имеет серьезное познавательное значение.

Оно указывает на наличие определенной, хотя и своеобразной, но от этого не менее объективной связи между комплексом условий Ж и событием А. Лаже только утверждение, что вероятность события А при осуществлении комплекса условий Ж сушествует (хотя и неизвестна), является содержательным утверждением, нуждаюшимся в объективном обосновании и последующей проверке, если оно принято в качестве гипотезы. философская задача состоит в выяснении природы этой связи.

Ее решению посвящено большое число исследований, но задача до сих пор еше остается не решенной. Трудность этой проблемы привела к тому парадоксальному результату, что даже среди ученых, стояших на материалистических философских позициях, встречается стремление не найти положительное ее решение,а снять ее,объявив вероятностные сужцения имеющими отношение только к состоянию познающего субъекта (измеряющими степень его уверенности в наступлении события А и даюшими основания для приписывания равных вероятностей исходов испытания при гюлном незнании). В последнее время такие субъективистские выводы нередко делаются по поводу собьпий, происходяших в условиях неопределенности, как теперь принято говорить.

б 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 'ч1ы до сих пор не цавали формализованного определения ни случайного собьпия, ии его вероятности. Теперь приступим к этому, стремясь одновременно воспитать у читателей теоретико-вероятностную интуицию. Такая цель заставляет нас вводить определение вероятности постепенно, как бы повторяя исгорический путь. Такой подход позволяет избежать формального восприятия, а оэправляясь от простейших представлений, постепенно переходить к более сложными обшнм, й 2.

Поле событий. Классическое определение Начнем с так называемого классического определения вероятности. При этом мы увидим, что оно в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятностей во вполне определенных и сильно ограниченных условиях. Классическое определение исходит из предположения равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений, основанного на нх реагьной симметрии. Понятие равновозможности (равновероятности) является первичным, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых н доступных примеров.