Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 8

Прн этом выражению "точка бросается наудачу в область С" придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области С, вероятность попасть в какую-либо часть области С пропорциональна мере этой части (длине, площади н т.д.) и не зависит от ее расположения и формы. Таким образом, по определению, вероятность попадания в область я при бросании наудачу точки в область С равна тев» Р= шев С Рассмотрим несколько примеров. П рн м е р 1.

3 а да ча о в от рече. двалицаА иВусловились встретиться в определенном месте между 12 часами н часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу н моменты прихода независимы «). Р е ш е н и е. Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходима н достаточно, чтобы ( х — у ! < 20.

Станем изображать х и у как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече— расположатся в заштрихованной области (рис. 4) . Искомая вероятность равна «*) отношению плошади заштрихованной фигуры к шюшади всего квадрата: 60з — 40' 5 Р= 60 9 «) То есть момент прихода одного лица не влияет нв момент прихода лругого. Понятке независимости событий будет подробно рассмотрено в $ 9. ««) В б 9 мы увидим, что в силу независимости моментов прихода лиц А и В вероятность того, что лицо А придет в промежуток от х до я+Ь, а лицо  — впромежуь ток от у до у+з, равна — —, т.е. пропорционельна площади прямоугольнике 60 60 со сторонами Ь из.

Гл, 1. Случайные события и их вероятности чо Некоторые инженеры-исследователи применяли задачу о встрече к решению следующей проблеме организации производства. Рабочий обслуживает несколько однотипных станков, каждый из которых в случайные моменты времени может потребовать внимания рабочего. Может случиться, что в то время, когда рабочий занят у одного станка, потребовалось его вмешательство у других станков. Требуется найти вероятность этого события, т.е., иными словами, среднюю длительность ожидания станком рабочего (иначе говоря, простой станка) . Заметим, однако, что схема задачи о (О) са, Рис.

4 рис. 5 встрече мапо пригодна для решения этого производственного вопроса, так как никакого условленного времени, в течение которого станки обязательно требуют к себе внимания рабочего, не существует, а длительности операции рабочего у станка не постоянны. Помимо этой основной причины, нужно указать на сложность вычислений в задаче о встрече для случая большого числа лиц (станков) . А эту задачу нередко нужно решать для боль. шого числа станков (в текстильном производстве, например, некоторые ткачихи брали на обслуживание по несколько десятков станков), При мер 2.

Коэффициенты р и и квадратного уравнения к +рх+п=О выбираются наудачу в промежутке (О, 1). Спрашивается, чему равна вероятность того, что корни будут действительными числами? Чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, необходимо и достаточно выполнение неравенства рг > 4тс В прямоугольных декартовых координатах (рис. 5) множество всех возможных пар чисел (р, д) задается точками квадрата с вершинами (О.

0), (О, 1), (1, 1), (1, 0) . Точки же, благоприятствуюшие нашему собьпию, лежат под пара- 1 болой Ч = — р . Таким образом, согласно определению, искомая г 4 й 4, Геометрические вероятности 41 вероятность равна 2 / — 4 о 4 1 1 12 Задачи, подобные только что рассмотренной, нашли интересные применения в теории чисел и в ряде научных и технических применений. Пример 3. Па радо к с Бертрана. Теория геометрических ве.

роятностей неоднократно подвергалась критике за произвольность определения вероятности событий. При этом авторы приходили к убеждению, что для бесконечного числа исходов нельзя дать объективного, на зависящего от способа расчета, определения вероятности. В качестве особенно яркого выразителя этого скептицизма можно привести французского математика прошлого века Жозефа Бертрана. В своем курсе теории вероятностей он привел ряд задач на геометрическиевероятности, в которых резулыат зависел от метода решения.

В качестве примера приведем одну из задач, рассмотренных Бертраном. Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника? Р е ш е н и е 1. По соображениям симметрии можно заранее задать направление хорды. Проведем диаметр, перпендикулярный к этому направлению. Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти до трех четвертей его длины, будут превосходить стороны правильного треугольника. Таким образом, искомая вероятность равна 1/2. Решение 2.

По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по бО'. Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие в средний угол, Таким образом, при этом способе вычисления искомая вероятность оказывается равной 1/3.

Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину. Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо чтобы ее середина находилась внутри круга, концентрического данному, но половинного радиуса. Площадь этого кру~а равна одной четверти пло. щади данного; таким образом, искомая вероятность равна 1/4.

Мы должны теперь выяснить, в чем причина неоднозначности решения нашей задачи. Лежит ли причина в принципиальной невозможности определить вероятность для случаев бесконечного числа возможных исходов или же причина лежит в том, что мы приняли в процессе решения какие- либо недопустимые предпосылки. Гл. 1. Случайные событии н нх веровтностн Дело, как легко усмотреть, заключается в том, что за решение одной и той же задачи, пользуясь тем, что в условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу, выдаются решения трех различных задач.

В самом деле, в первом решении вдоль одного из диаметров заставляют катиться круглый цилиндрический стержень (рис. ба1. Множество всех возможных мест остановки этого стержня есть множество точек отрезка АВ длины, равной диаметру. Равновероятными считаются события, состоящие в том, что остановка произойдет в интервале длины л, где бы внутри диаметра ни был расположен этот отрезок. Во втором решении стержень„закрепленный на шарнире, расположенном в одной иэ точек окружности, заставляют совершать колебания размером не более 180' (рис. бб) . При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины л зависит только от длины дуги, но не от ее положения.Таким образом, равновероятными событиями считаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины.

Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решениях становится совершенно очевидной после такого простого расчета. Вероятность того, что стержень остановится в промежутке от А до х, согласно первому реше. х нию равна —. Вероятность того, что проекция точки пересечения стержня 21 с окружностью во втором решении попадает в тот же интервал, как В А ау рнс. 6 показывают элементарно геометрические подсчеты, равна 1 2х — 0 1 — — агссоз — при х > О/2 я ,0 1 Р— 2х — агссоз — — при х ~ 012. я 0 43 б 4.

Геометрические вероятности Наконец, в третьем решении мы бросаем наудачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 6 е) . Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно. Пример 4, Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу е) бросается игла длины 2! (! < а) . Найти вероятность того, что игла пересечет какую. нибудь прямую.

Рис. 7 Р еще н ие. Обозначим через х расстояние от центра до ближайшей параллели н через зз — угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины х и р полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и и. Из рис. 7 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы х < ! ззп Чх Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 8 области к площади прямоугольника 1 " 2! р= — ) 7зш рс7р= —. ан о ан Заметим, что задача Бюффона является исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры снаряда.

П р н м е р 5. На горизонтальную плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а, нау- *) Под словом "наудачу" здесь погазазумевается следумнме: во-первых, пентр иглы наудачу падает на отрезок длины 2а, перпендикулярный к проведенным прямым, во-вторых, вероятность того, что угол р, составленный иглой и проведенными прямыми, будет заключаться между р, и р, + Ьр пропарпнональна д р и, в-третьих, велнчиных и и независимы (см. $ 7). Гл.

1. Случайные события и иа верозпности 44 дачуе) брошен выпуклый контур, диаметр которого меньше 2а. Найти вероятность того, что контур пересечет одну из параллельных прямых. Р е ш е н и е. Положим сначала, что выпуклый контур является мио!- угольником с и сторонами.Пустьегостороны пронумерованы от номера 1 до номера л. Если многоугольник пересекается с какой-либо параллельной прямой, то зто пересечение должно произойти по каким-либо двум сторонам.

Обозначим через Ргт = ртч вероятность того, что пересечение произойдет по 1-й и у-й сторонам. Очевидно, что собьпие А, состоящее в том, что брошенный многоугольник пересечет одну из параллельных прямых, может быть представлено в виде следующей суммы попарно несовместимых событий: А = (Агз +А!в + ° . +А! )+ + (А2 3 + 424 + - . + 42л) + ° + (4л — 2 л — 1 +.4л-2л) + 4л-1,л где через АН (1 ( 1', 1 = 1, 2,...; 1 = 1, 2,...