Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 10

а) Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей//Вопросы философии. — 1961. — Вып. 1. — С. 91-102; Вып. 2. — С. 77-89. е 6. Аксиоматическое построение теории В историческом очерке, помещенном в конце книги, отмечено, что как классическое определение вероятности, так и статистическое были впервые четко сформулированы Я. Бернулли 4 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическук науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана) . Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованйую критику.

Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретиковероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требовании. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий„при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формильно-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение.

При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опьпа. Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством дедукции нз этих основных положений беэ обращения к наглядным представлениям, к выводам '*согласно здравому смыслу". Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука — геометрия, теоретическаи механика, абстрактная теория групп и т.д.

Впервые такая точка зрения была высказана и развита в 1917 г. советским математиком С.Н. Бернштейном. При этом С.Н. Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей нли меньшей вероятности. Имеется иной подход, предложенный А.Н. Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также теорией множеств.

Настоящая книга следует пути„предложенному Колмогоровым. Мы увидим. что аксноматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматнческое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает в себя и классическое н статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них.

На этой базе удалось построить логически со- Гл. 1. Случайные события и их вероятности Таблица 5 Термины Обозначения теории вероятностей теории множеств Множество, пространство Пространство элементарных событий, достоверное событие Элементарное событие Случайное событие А, В Сумма случайных событий А и В Элемент множества Подмножество А, В Объецинение (сумма) мно- жеств А и В Пересечение множеств А и В А,В А+В =А гзВ АВ =А оВ А А(В Ф АВ =А гз В.=ег Произведение собмтииА н В Дополнение множества А Разность множеств А и В Пустое множество Множества А и В не пересекают. ся (не имеют общих элементов) МножестваА и В равны А есть подмножество В Событие, противоположное для А Разность событий А и В Невозможное событие События А н В несовместимы А =В А сВ События А и В равносильны Событие А влечет событие В вершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повьппенные требования к ней современного естествознания.

Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество ь1, элементы которого назьваются элементарными событиями. Наряду с,й рассматривается множество 6 поцмножеств элементарных событий. Множество 6 называется алгеброй миозтесг, если выполнены следую. шие требования; 1) й е Ь, ф Е Ь (ф — пустое множество); 2) из того,что АЕ 6 следует,что так же А С 6; 3) изтого,чтоАЕЬ иВе 6 следует,что А ОВЕ 6, А г)ВЕЬ Если дополнительно к перечисленным выполняется еше следуюшее требование 4) из того, что А„Е 6 (при л = 1„2,...) вытекает, что ОАне6, г)АнеЬ н н то множество 6 называется о алгеброй.

Элементы Ь называются случайными событиями. Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствуюшиьш множествами. В результате можно составить словарь переводов с языка теории множеств на язык теории вероятностей, приводимый нами в табл, 5 5 6. Аксиоматическое построение теории 5! Теперь мы можем перейти к формулировке аксиом, определяющих вероятность.

А к си о ма 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью. А к с и о м а 2. Р (й) = 1. А к с и о м а 3 (а к с и о м а с л о ж е н и я) . Если события А ю Ат,... ..., А„попарно несовместимы, то Р(А, +А, +...+А ) =Р(А,) +Р(А,)+...+Р(А ). Дня классического определения вероятности свойства, выраженные аксиомами 2 и 3, не нужно быно поступировать, так как зти свойства вероятности быпи нами доказаны. Из сформулированных аксиом мы выведем несколько важных зпементарных следствий.

Прежде всего, из очевидного равенства й= фей и аксиомы 3 мы заключаем, что Р (й) = Р (ф) + Р(й). Таким образом, 1. Вероятность невозможного собьпия равна нулю. 2. Лпяпюбого событияА Р(А ) = 1 — Р(А). ') 3. Каково бы нн было случайное событие А, 0 < Р(А ) < 1. 4. Если событие А влечет за собой собьпие В, то Р(А) < Р(В). 5. Пусть А и  — два произвольных события. Поскольку в суммах А + В = А + ( — АВ) и В = АВ + ( — АВ) слагаемые являются несовместимыми событиямн, то в соответствии с аксиомой 3 Р(А +В) = Р(А) + Р( — АВ); Р(В) = Р(АВ) т Р( — АВ). Отсюда вытекает теорема сложения дпя произвольных событий А и В Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) .

В силу неотрицатепьности Р(АВ) отсюда заключаем, что Р(А + В) < Р(А) + Р(В). б Формулировка стого предложения иместса а трактате Я. Бернулли. Гл. 1. Случайные события я ях вероятности 52 По индукции теперь выводим, что если А,, А,,..., А„— произвольные события, то имеет место неравенство Р(Аг +Аз+ ..+Ао) <Р(Аг) тР(Аг)+ ..+Р(Ал) Система аксиом Колмогорова непрогиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют. Например, если за гг принять произвольное конечное множество.с конечным числом элементов Й = (а,, аг,...,а„), за о — совокупность всех подмножеств (а;,а;,,..., а;,), О <г1 4гг в:...<г', <п,О<з <п, то положив Р(аг) = Р,, Р(аг) = Рг,...

Р(а„) =Реп тле Рг Рг, *Рп пРоизвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству р, + рг + ... ... + р„= 1, а Р(а;, а;,..., а;,) = рг +... + р;,, мы удовлетворим всем аксиомам Колмогорова. Система аксиом Колмогорова неполна: паже для одного и того же множества гг вероятности в множестве Ь мы можем выбирать различными способами. Так, в рассмотренном нами примере с игральной костью мы можем положить или Р(Е1 ) = Р(Ег) = .

- = Р(Ее) = 1/б Р(Е, ) = Р(Ег) = Р(Ез) = 1/4, Р(Ее) = Р(Ег ) = Р(Ее ) = 1/12 (2) и т.д. Неполнота системы аксиом теории вероятностей не является свидетельством их неудачного выбора или недостаточной работы мысли при их создании, а вызвана существом дела: в различных задачах могут встретиться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных собьпий, но с различными вероятностями, Например, могут встретиться игральные кости, из которых одна правильная (точный куб с одинаковой плотностью в каждой точке), другая неправильная.

В нервом случае система вероятностей будет задана системой равенств (1), а во втором, скажем, системой (2) . Дальнейшее развитие теории нуждается в дополнительном предположении, которое носит название расширенной аксиомы слохгения. Необходимость введения новой аксиомы объясняется тем, что в теории .вероятностей постоянно приходится рассматривать собьпия, подразделяющнеся на бесконечное число частных случаев. Расширенная ак сио ма сложения.

Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий 53 ч В Акспометеческсе построение теории А„Аэ,..., А„,...,то Р(А) = Р(А, ) + Р(Аэ) +,, + Р(А„) +, Заметим, что расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности. Аксиома непрерывности. Если последовательность событий В,, Вэ,..., В„,... такова, что каждое последующее влечет эа собой предыдущее и произведение всех событий В„есть невоэмоэсное событие, то Р(В„)- 0 лри н Докажем эквивалентность только что сформулированных предложений. 1.

Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. Действительно, пусть события Вю Вэ,..., В„,... таковы, что В, ЭВ З...ЗВ„Э... и прилюбом н> 1 П в„=о. аь» (3) Очевидно, что В„= Х ВеВете + П Вь. а= и К=о Р(В„)= Х Р(В Вя ы)+Р( П В ). Но в силу условия (3) Р( П Ва)=О, а=л поэтому Р(В„) = Х Р(„„„), ь= е т.е. Р (В„) есть остаток сходящеюся ряда Х Р(ВьВечт) = Р(Ве). к=т Поэтому Р (В„) -ч 0 при и -+», Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместимы„то сог- ласно расширенной аксиоме сложения Гя.