Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 9

) обозначено событие, состоюцее в пересечении с параллельной прямой 1-й и/-й сторон. По теореме сложения вероятностей Р=Р(А)= [Р(А12)+Р(А!2)+ ..+Р(А!л)] + + 1Р(А2 2) +... + Р(Азл)1 + .. + Р(Ал-1,л) = =(Ргз+Р13 + ° - ° +Ргл) е(Раз +Р24+ ° +Р2л)+ .. +Рл-1 л. ПользУЯсь Равенством РН = Рч, мы может записать веРоЯтность Р иным способом: 1 Р 1(Р12+Р!з + ° +Р!л)+(Рг! +Ргз +...+Рзл)+ 2 + (Рл1 +Рл2 + -+Рл,л-1)1. Но сумма 2 Ргу, гпе положено Ры = О, представляет собой не что иное, /=1 как лсроигность пересечения ьй стороны многоугольника с одной из параллельных прямых.

Если длину гзй стороны обозначить через 21;,то нз задачи Бюффона находим, что и 211 Б Ру=— 1=1 на П В атом примере "наудачу" значит, что мы берем какой-либо отрезок, жестко связанный с контуром, и бросаем его "наудачу" в смысле предыдущего примера Нетрудно показать, что таким образом определенное понятие не зависит от выбора указанного отрезка, 45 5 5. О статистической оценке вероятности и, следовательно„ Х 2!1 1- "1 Р= 2 на Если обозначить через 2г периметр многоугольника, то мы найдем, что 8 Р= яа Мы видим, таким образом, что вероятность р не зависит ни от числа сторон, ни от величины сторон многоугольника. Отсюда мы заключаем, что найденная формула верна и для любого выпуклого контура, так как мы всегда можем рассматривать этот последний как предел выпуклых многоугольников с безгранично возрастающим числом сторон. й 5.

О статистической оценке неизвестной вероятности Классическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к рассмотрению сложных задач, в особенности же задач естественнонаучного или технического характера, наталкивается на непреодолимые трудности принципиального порядка. Прежде всего, в большинстве случаев возникает вопрос о возможности нахождения разумного способа выделения "равновозможных случаев".

Так, например, из соображений симметрии, на которых основаны наши суждения о равновероятности событий, вывести вероятность распада атома ращюактнвного вещества за определенный промежуток времени, или же определить вероятность того, что родившийся ребенок окажется мальчиком, представляется невозможным. В этих случаях еще на заре возникновения теории вероятностей бып замечен иной способ приближенной оценки неизвестной вероятности случайного события. Длительные наблюдения над появлением или непоявлением события А при большом числе независимых испытаний, производимых при одном и том же комплексе условий ес, в ряде случаев показывают, что число появлений события А подчиняется устойчивым закономерностям.

А именно, если мы через д обозначим число появлений события А при л независимых испытаниях, то оказывается, что отношение д/л (частота события А) при достаточно больших л для большинства таких серий наблюдений сохраняет почти постоянную величину. причем большие отклонения наблюдаются тем реже, чем многочисленнее произведенные испытания, Более того, оказывается, что для тех случаев„к которым применимо класси- Гл. 1. Случайные еобытнн л нх веролтносгл ческое определение вероятности, это колебание частоты происходит около вероятности события р. Мы увидим впоследствии, что этот змпирическийфактимеет глубокие основания в теореме Бернулли. То, что при большом числе нсньпаний частота события остается почти постоянной, дает нам возможность расширить круг явлений, для которых мы будем говорить об их вероятности. Представим себе, что относительно события А принципиально возможно проведение неограниченной последовательности независимых друг от друга испытаний в неизменных условиях Ь.

Если в результате достаточно многочисленных наблюдений замечено, что частота собьпия А ведет себя достаточно правильно и по пи всегда колеблется около некоторой, вообще говоря, неизвестной, постоянной, то мы скажем, что это событие имеет вероятность. За численное значение этой вероятности может бытьприближеннопрн большом числе л независимых испытаний, производящихся в неизменных условиях 1б, принята частота события А. Однако испытания позволяют нам делать заключения и иного характера. Представим себе, что некоторые соображения дают нам основание считать, что вероятность некоторого собъпия А равна р.

Пусть, далее, при проведении нескольких серий независимых испытаний оказалось, что частоты в подавляющем числе серий значительно отклоняются от величины р. Это обстоятельство лает нам основание высказать сомнение относительно правильности наших априорных суждений и предпринять более детальное исследование тех предпосылок, из которых мы исходили х х х 0,0 0,402 0,4 1 д 0 10 11 12 в своих априорных выводах.

Так, например, в отношении некоторой не- ральной кости мы делаем предположения о ее геометрической правильности и однородности материала, из которого она изготовлена. Из этих предварительных предпосылок мы вправе сделать вывод, что при бросании кости вероятность выпадения некоторой грани, например, грани с номером 5, должна быть равна 1/6. Если неоднократные серии достаточно многочисленных испытаний (бросаний) в нашем примере систематически показывают, что частота появления этой грани значительно отличается 47 5 5. О статистической оценке вероятности Таблица 4 5 5 7 Месяц 1 2 7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 Всех Мацьчнков Девочек Частота рождении девочек 0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 Месяц а 9 1О 11 12 За гоц 7393 7203 6903 6552 7132 88 273 3797 3712 3512 3392 3761 45 682 3596 3491 3391 3160 3371 42 591 Всех Мальчиков Девочек Частота ромгдении девочек 0,484 0,485 0,491 0,482 0,473 0,4825 от 1/6, то мы усомнимся не в существовании определенной вероятности выпадения этой грани, а в наших предпосылках о правильности кости илн в правильности организации процесса наших испытаний (бросаний) .

В качестве иллюстрации почти постоянства частот при больших числах испытаний рассмотрим распределение новорожденных по полу по месяцам. Данные заимствованы нз книги Г. Крамера "Математические методы статистики" и представляют собой официальные данные шведской статистики за 1935 г. На рис. 9 показано уклонение частоты рождений девочек по месяцам от частоты рождений девочек за год.

Заметим, что в случае статистического определения снова имеют место такие свойства вероятности: 1) вероятность достоверного собьпня равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) если случайное событие С является суммой конечного числанесовместнмых событий А„А2,..., А„, имеющих вероятность, то его вероятность существует и равна сумме вероятностей слагаемых Р(С) = Р(А1)+ Р(А2)+... + Р(Ан). В заключении мы должны остановиться на весьмараслространенной, в особенности среди естествоиспытателей, концепции вероятности, данной Р. Мизесом. Согласно Мизесу раз частота по мере увеличения числа опытов Гл.

1. Случайные события и нх вероятности 48 все меньше и меньше уклоняется от вероятности р,то в пределе вплжно быть 1а р= Взп —. л-' и Это равенство Мизес предлагает считать определением понятия вероятности. По его мнению, любое априорное определение обречено на неудачу и лишь данное им эмпирическое определение способнообеспечитьинтересы естествознания, математики и философии, причем раз классическое определение имеет лишь весьма ограниченное применение, а статистическое определение применимо ко всем имеющим научный интерес случаям, то классическое определение через равновозможность, основанную на симметрии, Мизес предлагает вовсе отбросить.

Более того, Мизес считает вообще ненужным выяснение структуры явлений, для которых вероятность является объективной числовой характеристикой, для него достаточно наличия эмпирической устойчивости частоты. Мы не будем останавливаться на деталях теории Мизеса, в частности, на тех ограничениях и условиях, которые он дополнительно наклальвает на последовательность испытаний. За подробностями теории мы отошлем читателя к его книге "Вероятность и статистика".

В то же время его положения не были безоговорочно приняты наукой. Критические замечания в развернутом виде изложены в статье А.Я. Хинчина*) . В концепции Мизеса вероятность теряет свой характер объективной числовой характеристики некоторых реальных явлений. Действительно, до производства бесконечного числа'испытаний нельзя даже говорить про вероятность того или иного события, а поскольку этого нельзя осуществить, то и вообще мы лишены возможности в каких-либо условиях использовать теорию вероятности. Следует заметить при этом, что, требуя от частот сходимости к нероятносте, Мизес выставляет такое требование, какого не предъявляют нн в одной области естествознания. Ведь в самом деле.

никто нэ нас не откажется от понятия температуры только потому, что мы не можем произвести бесконечного числа измерений н не можем проверить, будут ли результаты этих измерений стремиться к пределу, если бы мы их все же стали производить. Или не станем же мы говорить, что какой-либо предмет не имеет размеров только потому, что последовательность наших измерений не стремится к пределу. Более того, следуя за Мизесом, мы вообще не можем говорить о температуре тела или о существовании размеров предмета до тех пор, пока не появится мыслящий субъект, не начнет производить измерения н не убедится в том, что их результаты стремятся к пределу.