Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 3

Нам важно заметить. что решение классических задач теории Ввеление вероятностей оказалось тесно связанным с теорией стохастических процессов. Элементы этой важной главы теории вероятностей будут изложены нами в главе десятой За последние цесятнлетия неизмеримо выросла роль, которую играет теория вероятностей в современном естествознании. После того как молекулярные представления о строении вещества получили всеобщее признание, стало неизбежным широкое использование теории вероятностей и в физике и в химии.

Заметим, что с точки зрения молекулярной физики каждое вещество состоит из огромного числа малых частиц,'находящихся в непрерывном движении и в процессе этого движения воздействующих друг на друга. При этом о природе этих частиц, о существующем между ними взаимодействии, характере их движения и пр. известно мало. В основных чертах эти сведения исчерпываются тем, что частиц, из которых состоит вещество, очень много н что в однородном теле они близки по своим свойствам. Естественно, что при таких условиях обычные для физических теорий методы математических исследований становились бессильными. Так, например, аппарат дифференциальных уравнений не мог привести в указанной обстановке к серьезным результатам.

Действительно, ни строение, ни законы взаимодействия между частицами вещества в достаточной мере не изучены, и при таких условиях применение аппарата дифференциальных уравнений должно носить элементы грубого произвола. Но даже если бы этой трудности не существовало, уже одно количество этих частиц представляет собой такую трудность в изучении их движения, которую преодолеть с помощью обычных уравнений механики нет возможности. К тому же и методологически такой подход неудовлетворителен. Действительно, задача, которая здесь возникает, состоит не в изучении индивидуальных движений частиц, а в изучении тех закономерностей, которые возникают в совокупностях большого числа движущихся и взаимодействующих частиц.

Закономерности же, возникающие вследствии участвующих в их возникновении ингредиентов, имеют свое собственное своеобразие и не сводятся к простому суммированию индивидуальных движений. Более того, этн закономерности в известных пределах оказываются не зависящими от индивидуальных особенностей участвующих в нх порождении частиц. Конечно, для изучения этих новых закономерностей должны быть найдены и соответствующие новые математические метоцы исследования. Какие же требования должны быль в первую очередь предъявлены к этим методам? Понятно, что в первую очерець они должны учитывать то, что изучаемое явление носит массовый характер; таким образом, лла этих методов наличие большого числа взаимодействующих частиц должно представлять не дополнительную трудность, а облегчать изучение возникающих закономерностей. Дцчее, недостаточность знаний о природе и строении частиц, а также о характере их взаимодействия также не должна ограни- Введение чивать эффективности их применения.

Зтим требованиям лучше всего удовлетворяют методы теории вероятностей. Чтобы сказанное не бьшо понято ошибочно, мы еще раз подчеркнем следующее обстоятельство. Говоря, что аппарат теории вероятностей луч. ше приспособлен для изучения молекулярных явлений, мы ни в какой мере не хотим сказать, что философские предпосылки использования теории вероятностей в естествознании лежат в "недостаточности знаний", Основной принцип состоит в том, что при изучении "м а с с о в ы х" явле. ний возникают своеобразные новые закономерности. При изучении явлений, обусловленных действием большого числа молекул, учет свойств каждой молекулы не нужен. действительно, при изучении явлений природы необходимо отвлекаться от учета не суще от вени ы х поцробностей. Рассмотрение же всех деталей, всех существующих связей, в том числе и несущественных для данного явления, приводит лишь к тому, что само явление затемняется и овладение им отодвигается ввиду такой искусственной усложненной обстановки.

Насколько удачно произведена схематизация явлений, насколько удачно выбран математический аппарат для его изучения, мы можем судить но согласию теории с опгитом, с практикой. Развитие естествознания, в частности физики, показывает, что аппарат теории вероятностей оказался весьма хороню приспособленным к изучению многочисленных явлений природы. Указанная связь теории вероятностей с потребностями современной физики лучше всего поясняет те причины, в силу которых в последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся областей математики.

Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественнонаучного использования метода теории вероятностей. Всестороннее изучение явлений природы толкает теорию вероятностей на разыскание новых закономерностей, порождаемых случаем. Теория вероятностей не отмежевывается от запросов других наук, а идет в ногу с общим развитием естествознания. Понятно, что сказанное не означает, что теория вероятностей является лишь вспомогательным средством для решения тех или иимх практических задач.

Наоборот, следует подчеркнуть, что за последние три десятилетия теория вероятностей превратилась в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами н методами доказательств. В то же время выяснилось, что наиболее существенные проблемы теории вероятностей служат делу решения различных задач естествознания.

Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Отложив выяснение смысла понятия "случайное явление (событие)" до первой ~лавы, мы сейчас ограничимся несколькими замечаниями. Если в обыденных представлениях, в житейской практике Введение считается, что случайные события представляют собой нечто крайне редкое. идущее вразрез установившемуся порядку вещей. закономерному развитию событий, то в теории вероятностей мы откажемся от этих представлений. Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей: в частности. все они происходят в массовых явлениях.

Под массовыми явлениями мы понимаем такие, которые имеют место в совокупностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явлений и лишь в незначительной мере зависят от природы составляющих объектов. Теория вероятностей, подобно другим разделам математики. развилась из потребностей практики; в абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным собьпиям массового характера. Зги закономерности играют исключительно важную роль в физике н других областях естествознания, военном деле, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике и т.д.

В последнее время в связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей используются не только для браковки уже изготовленной продукции, но, что важнее, для организации самого процесса произ. водства (статистический контроль в производстве). Большое значение в этом круге идей имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Лля все~о инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая метоцы теории вероятностей. Здесь уместно заметить, что в свою очередь теория надежности выдвинула перед теорией вероятностей ряд новых теоретических вопросов. Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено.

бьша основной причиной бурно~о развития ее в последние десятилетия. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспомнить замечательные слова основателя нашей отечественной школы теории вероятностей ПЛ. Чебышева: "Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных... Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы нли от новых развитий ее, то она еще более приобретает открыгием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике".

ГЛАВА ! СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ а ) . Интуитивные представления о случайных событиях На протяжении длительного времени человечество изучало н использовало для своей деятельности лишь так называемые детерминистические закономерности. Лодавляющая часть сведений, получаемых учащимися в школьных курсах физики, математики, химии. относится именно к этому кругу идей.

)1риведем примеры. Если в основании пирамиды находится квадрат со стороной а и ее высо. ) та равна Ь. то объем пирамиды равен — лай. 3 Если тело свободно падает на земную поверхность, то путь, пройденный нм за г секунд после начала падения, равен г = г/'? 2 Если химически чистую воду прн атмосферном давлении 760 мм рт. ст. нагреть до ) 00 С, то вода начнет превращаться в пар. Г!рн любых химических реакциях каких угодно веществ без обмена с окружающей средой общее количество вещества остается неизменным (закон сохранения вещества) . Число подобных примеров можно увеличивать неограниченно. Однако закономерности этого типа не в состоянии описать все разнообразие ситуаций, с которыми приходится сталкиваться в научной н практической деятельности.

Лля примера спросим себя: сколько дорожных происшествий произойдет завтра в Москве' > Сколько вызовов от больных поступит в пункт скорой медицинской помощи? Сколько лет проживет только что родившийся младенец? Как много времени придется затратить на поиск неисправности в определенном сложном техническом устройстве? Все зти вопросы обладают одной особенностью — на них невозможно дать однозначно!о ответа, поскольку процессы, с которыми они связаны, ло самому их существу лишены полной определенности.

Лсйствнтельно, дорожные происшествия зависят от огромного числа причин, которые невозможно предусмотреть; ло!ола, состояние дорожного покрытия, освещенность, психологическое состояние водителей и пешехоцов. взаимное расположение автомобилей на дороге и множество других. Аналогичные заключения мы можем высказать и относительно остальных предложенных нами вопросов. Ч 1. Интуитивные пренетавлении Во всех подобных случаях мы говорим, что интересующее нас собьпие является случайным. Поскольку случайные события врываются в нашу жизнь помимо нашего желания н постоянно окружают нас и, более того, поскольку все явления природы, согласно современным воззрениям, являются случайными, необ. ходимо научиться их изучать и разработать для этой цели методы их изучения. Сейчас уместно подчеркнуть, что со случайными ивлениями мы вынуждены сталкиваться не время от времени, а постоянно н заЧастую именно они определяют структуру того или иного интересующего нас процесса.

Так, и'ри организации работы телефонной станции необходимо учитывать, что моменты поступления вызовов от абонентов, так же как н длительности разговоров между абонентами, случайны. В грузовой морской порт суда дальнего плавания поступают не точно по расписанию, а в моменты времени, нередко существенно отличные от запланированных. Точно так же длительность погрузо-разгруэочных работ (обработки судна) коренным образом зависит не только от погрузочных средств причала, но и от устройства трюма, характера и количества прибывших грузов, их упаковки и многих других обстоятельств.

Таким образом. как при организации работы телефонной станции, так и при организации работы грузового порта, мы должны считаться с, так сказать, двойной случайностью — случайностью поступления требовании (вызовов абонентов, прибытия судов) на обслуживание и случайностью длительности их обслуживания. Мы видим, таким образом, что случайные собьпия играют большую роль как в научных исследованиях, так и в практической деятельности. Более того, нередко прн проектировании ответственных сооружений (телефонных узлов, морских портов и т.д.) мы должны опираться на эти случайные явления. Это обстоятельство привело к тому, что за последние три столетия, и в особенности за последние десятилетия, случайные явления были подвергнуты систематическому исследованию. Краткий исторический очерк этого процесса приложен в конце настонщей книги.