Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей, страница 2

способность увязывать абстрактные идеи и методы с практическими ситуациями. Это приобретение необходимо каждому математику, а особенно подавляюшему большинству студентов. математиков, которым предстоит работать в научно-исследовательских институтах прикладного плана. К тому же в пастояшее время с теорией вероятностей вынуждены знакомиться многие специалисты, поскольку в нх повседневной работе теоретико-вероятностные концепции крайне Прелаелоаие необходимы. Им знакомигься с необходимым разделом науки по абстрактным книгам н трудно, н не нужно, поскольку такие книги не создадут так необходимого мостика между потребностями практики и математической теорией. Впрочем.

для этой категории читателей. быль может, нужны совсем особые книги, написанные в специальном методическом и психологическом ключе. Когда книга уже написана, видишь, как много в ней недостатков, как много мест следовало бы в ней переделать. Однако приходится смириться и отложить переделки до возможно~о переиздания. В связи с этим я прошу читателя направлять мне критические заыечения и пожелания, к которым я отнесусь со всем необходимым вниманием. Я счастлив поблагодарить Ю.В.

Прохорова, Б.А. Севастьянова и Д.М. Чибисова за большое число замечаний, которые они мне сделали в результате знакомсзва с рукописью. К сожю1енню, я не имел возможности в полной мере использовать все их пожелания, постараюсь это сделать впоследствии. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание значительно отличается от первого. Я постаралсн возможно полнее учесть в нем замечания н пожелания, которые содержались в печатных рецензиях на первое издание книги, а также бьши сообщены мне устно и письменно. Пожалуй, наиболее существенным изменением является добавление задач для упражнений в первых девнти главах.

Значительные добавления сделаны в главе 1Рл они касаются главным образом расширения сведений по теории стационарных случайных процессов. Большим изменениям подверглась последняя глава, посвященная математической статистике, В этой главе имеются некоторые новые параграфы, но в то же время исключен частично материал, содержавшийся в первом издании. Пользуюсь случаем сердечно поблагодарить товарищей, высказавших откровенное мнение о недостатках книги и способствовавших своей критикой их исправлению.

Особенно я благодарен Ю.В.Линнику за его постоянный интерес к настоящей книге, большое число замечаний к первому изданию и за дискуссию по рукописи второго издания. ИЗ ПРЕЛИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗЛАНИЮ Настоящий курс разбивается на две части — элементарную (главы 1 .б) и специальную (главы 7-11). Последние пять глав могут служить базой для спецкурсов — теории суммировании случайных величин, теории стохастических процессов, элементов математической статистики Теория вероятностей рассматривается в кни~е исключительно как математическая дисциплина, поэтому получение конкретных естественнонаучных или технических результатов в ней не являешься самоцелью.

Все примеры в тексте книги имеют целью только разьясненне общих положений ~сории и указание на связь этих положений с задачами естесгвознания. Конечно, одновременно зти примеры дают указания на возможныс облаю и приложения общетеоретических результатов, а также развиванп.

умение пряменять зги результаты в конкрешых задачах. Хороша, если изучающий Предисловия теорию вероитностей имеет перед глазами какие-нибудь явления материального мира для того, чтобы обшая математическая схема наполнялась определенным смыслом. Такое направление изучения дает возможность читателю выработать своеобразную теоретико-вероятностную интуицию, которая позволяет предвидеть в обшнх чертах выводы раньше, чем применен аналитический аппарат. Заметим далее, что без систематического решения задач изучать теорию вероятностей нельзя, в особенности на первых порах. Первые четыре параграфа главы 1 являются незначительной переработкой неопубликованных рукописей А.Н.

Колмогорова. Я счастлив поблагодарить здесь моих дорогих учителей А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчииа, много помогавших мне своими советами и беседами, касавшимися узловых вопросов теории вероятностей. Цель настоящей книги состоит в иююжении основ теории еероягносгей— математической науки. изучаюшей закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине ХУП века и связано с именами Гюйгенса (!629 — 1695), Паскаля (!623 — !662), Фер. ма (1601 — 1665) и Якоба Бернулли (1654-1705).

В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными игроками и не унладываютднмися н рамки математики того времени, выкриеталлнзовьь вались постепенно такие важные понятия; как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что вмдаюшиеся учепьге, эанимаяея задачами азартных игроков; предвиделн и фундаментальную натурфилософскую рол6 науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том. что на базе массовьш елучаннмх событнй могут возникать четкие закономерности И только состояние естествознания прнвело к тому, что азартные игры еше долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало' отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решалнсь возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элеь!ентарно арифметическим н комбинаторным метсдам.

Последуюшее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее резулататон и методов исследования в естествознание, и в первую очередь в физику, показали, что клвссические понятия и классические методы не потеряли своего интереса и и настоящее время.. Герьеэные требования со с~ороны естествознания и обшественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теория стрельбы. ироблемы статистики. и первую очередь стшистики народонаселения) привели к необ. ходимости дальнейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли муавр (!667— 1754), Лаплас (!749 -1827), Гаусс (!777 -1855), Пуассон (1781--1840).

С формально-аналитической стороны к этому женапрявленню примгякает работа творца неевклидовой геометрии Й.И. Лобачевского (1792 1856), посвяшенная теории ошибок при измерениях на сфере и выполненная Введение с целью установления геометрической системы, господствующей во вселенной. С половины Х1Х столетия и приблизительно до двадцатых годов нашего века развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых — П.Л. Чебышева (1821 -1894), А.А. Маркова (1856-.

1922), А.М. Ляпунова (1857 †19). Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью В.Я Буняковского (1804 †18),широко культивнровавшего в России исследования по применению теории вероятностей к статистике, в особенности к страховому делу и демографии. Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие интереса к этой области науки.

Основное непреходящее значение работ Чебышева, Маркова и Ляпунова в области теории вероятностей состоит в том, что ими было введено в качестве обьекта систематического ..изучения и широко использовано понятие случайной величины. С результатами Чебышева относительно закона больших чисел, с "цепями Маркова" и с предельной теоремой Ляпунова мы познакомимся в соответствующих разделах настоящей книги.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. В этой напряженной научной работе советская школа теории вероятностей продолжает занимать выдающееся положение. Среди представителей первого поколения советских ученых прежде всего должны быть названы имена С.Н. Бернштейна (1880-1968), А.Н. Колмогорова (1903— !987) и А,Я. Хинчина (1894 — 1959). В процессе изложения мы будем вынуждены самим существом дела вводить читателя в курс преобразовавших лицо теории вероятностей идей и результатов.

Так, уже в первой главе будем говорить о фундаментальных работах С.Н. Бернштейна, Р. Мизеса (1883 — 1953) и А.Н. Колмогорова по основаниям теории вероятностей. В двадцатых годах нашего столетия А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Б.Б. Слуцкий (1880 1948) и П. Леви (1886 !971) установили тесную связь между теорией вероятностей и метрической теорией функций. Эта связь оказалась весьма плодотворной. На этом пути удалось найти окончательное решение классических задач, поставленных еше П.Л. Чебышевым, а также значительно расширить содержание теории вероятностей.

Полностью к советскому периоду относится создание А.Н. Колмогоровым и А,Я. Хинчиным в триццатых ~одах основ теории стохастических (вероятностных, случайных) процессов, которая теперь стала основным направлением исследований в теории вероятностей. указанная теория служит прекрасным образцом того органического синтеза математического и естественнонаучного мышления, когда математик, овладев физическим существом узловой проблемы естествознания, находи~ для нее адекватный математический язык.