Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 8

Наличие таких систем координат (тесно связанное с постулатом о евклидовости физического пространства и постулатом об абсолютном и одинаковом собственном времени для разных точек) является основным постулатом механики Ньютона '). Все физические законы в физике Ньютона обычно формулируются в инерциальных системах координат и не зависят от выбора инерциальной системы координат. В этом состоит знаменитый принцип Галилея — Ньютона. На практике, в жизни, в качестве инерциальной системы координат можно выбрать декартову систему координат, в которой далекие звезды мохсно считать неподвижными. Вместе с тем в случае движения сплошной Сопутствующан система среды нужно ввести еще сопутствующую систему координат.

Наряду с координатами х', х', х' лагранжевы координаты индивидуальных точек 9', $з, $з можно рассматривать как другие координаты тех же точек пространства в области Р. Соответствующая система координат 9', $з, Ьэ в том же ') В специальной теории относительности также постулируетсл паличие инерциальных систем координат, связанных между собой преобразованием Лоренца, однако физическое пространство зздаетсл как четырехмерное псевдоевклидово пространство Минковского (четвертая координата связана с собственным временем).

В этой теории для наблюдателей, описывающих относительное двюкеиие, также можно пользоваться любымк подвижными системами координат. В общей теории относительности любые движущиеся друг относительно друга системы координат считаютсл равноправнымн, а физическое пространство не задается, а определяется, однако в предположении, что физическое пространство четырехмерное и римаиово, причем для малых объемов выполняются законы специальной теории относительности. Любопытно отметить, что в результате решения соответствующих задач получается, что многосвязное в топологическом смысле пустое (отсутствуют массы и заряды) риманово пространство в известном смысле похоже на эвклидово пространство с гравитационным и злектрическим полями, обусловленными присутствующими массами и зарлдами.

См. Дж. У и л е р, Гравитация, нейтрино и Вселенная, ИЛ, Москва, 1962, перев. с англ. т 1. Точка зрения Лагранжа пространстве образует подвижную деформируемую криволинейную систему координат, которая называется сопутствующей системой координат. Так, если в начальный момент уе выбрать в сплошной среде некоторые координатные линии.

$', состоящие из точек сплошной среды, то в следующий момент времени они вместе с точками континуума вновь перейдут в координатные линии сопутствующей системы. Однако если в Рвс. 3. в', в', с* — система отсчета, сопутствующая лагранжева система. начальный момент времени они и были выбраны прямыми, то в следующий момент они, вообще говоря, будут искривленными (рис. 3).

Таким образом, если рассматривать систему коордннат,связанную с частицами сплошной среды, то она с течением времени будет изменяться. Выбор такой системы координате любой данпьш момент времени в нашей власти, но в следующие моменты времени она уже не подвластна нам, так как она «вморожена» в среду и деформируется вместе с ней. 'Хакан вмороженная в среду система координат и определена выше как сопутствующая система. Все точки сплошной среды всегда покоятся относительно подвижной сопутствующей системы координат, так как их координаты ~', Зт, Ьа в сопутствующей системе не меняются. Но сама система движется, растнгивается, сгнимается, извивается...

Понятие сопутствующей системы координат является обобщением на случай сплошной среды собственной системы координат твердого тела в теоретической механике '). Всегда, когда мы говорим о движении сплошной среды, необходимо индивидуализировать точки и, следовательно, пользоваться лагранжевыми координатами, Поэтому всегда при рассмотрении движения сплошной среды подразумевается т) Очевидно, что для вслкой системы координат к, в частности, для скстемы отсчета наблюдателя всегда можно ввестп мысленно кдеалнзкрованную среду, для которой рассматркваемая система координат является Сопутствующен, 28 Гл.

П. Кквематяка деформкруемой среды Скорость дг О=в дС наличие системы отсчета х', х', х', относительно которой рассмат. ривается движение, и сопутствующей системы координат. Использование в качестве независимых переменных ~Р, бз, бз и 8 составляет точку зрения Лагранжа на иаучение двия<ения сплошной среды, которая, таким образом, существенно опирается на описание истории движения каждой точки сплошной среды в отдельпости. Такое описание на практике оказывается часто слишком подробным и сложным, однако оно всегда подразумевается при формулировке физических законов.

Кроме понятия закона движения, для описания движения сплошной среды необходимо ввести еще некоторые другие понятия, в частности понятия скорости и ускорения точек сплошной среды. Пусть некоторая точка сплошной среды в момент 1находится в точке М простран ства, а в момент з + Л1 — в точке М'и ММ' = Лх. Под Лх понимается малое направленное перемещение ин. дивидуальной точки сплошной среды за время Лк В случае, когда в пространстве можно ввести радиус-вектор г (а в евклидовом пространстве это всегда возможно), Лм, очевидно, представляет собой приращение радиуса-вектора рассматриваемой точки сплошной среды.

Предел отношения двух соответствующих бесконечно малых количеств Лхи Лг при Л8 — + О в случае неевклидова пространства или частная производная раднуса-вектора точки сплошной среды относительно системы отсчета по времени дг/дг в случае евклидова пространства называется скоростью точки сплошной среды.

Вектор скорости будем обозначать х(иркой буквой х. Радиус-вектор т зависит в общем случае от трех параметров ь', ь', ьз, индивидуализирующих точку сплошной среды, и времени 8. Скорость вычисляется для индивидуальной точки сплошной среды, т. е. при фиксированных $', $', $з, поэтому и берется частная производная от э по 1: Скорость вычисляется относительно системы отсчета. Очевидно, что относительно сопутствующей системы координат среда покоится, и поэтому скорость относительно сопутствующей системы всегда равна нулю.

Через каждую точку пространства прохоВскторы базиса дят три координатные линии, и в каждои точке пространства М (х', х', х') можно рассмотреть элементарные прямолинейные направления Лг, Лез, Лез, выходящие из этой точки М и соединяющие ее сточками Мд(х'+ Лх', х', хз), 29 $1. Точка эреннн Лагранжа М (х', х' + Ах', ха), Мз (х', х', ха + Лха) соответственно. В каждой точке пространства можно ввести пределы отношений Лг~/Лх; или Лг;/Л$1 (при Лх' — о 0 или Л$ ' — э 0) — векторы, которые, очевидно, будут направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в точке М. В евклидовом пространстве эти пределы будут частными производными от г по соответствующим координатам.

Если под Лх' или Л$' понимать длины дуг вдоль соответствующих координатных линий, то дз'(дх', дэ'(д~~ по величине будут равны единице. Введем обозначения дг дг —.=э; и — =э, (1.4) да1 ' д~$ и будем называть э, и э,. векторами базиса для системы отсчета и для сопутствующей системы соответственпо. Если система координат х', х', х' декартова, то можно пользоваться обозначениями э1 = — о, эа = я, эа = Ус где 4, у', Й вЂ” единичные векторы по осям координат х, р, з соответственно. Если система координат х', х', х' илн з1, э', за криволинейная, то э, и э, меняются от точки к точке пространства и образуют, вообще говоря, в каждой точке пространства неортогональный триэдр.

Бесконечно малое перемещение точки Компоненты скорости сплошной среды МЛХ' = Лг можно разложить по векторам базиса э„, э„эз, взятым в точке М: (1.5') + Лхиэ где Лх', Лх', Лх' являются компонентами перемещения Лт'. Разложение (1.5') можно записать в сокращенном виде: э Лг == а,' Лх'э; = Лх'э,, (1.5) где в последнем выражении знак суммы ~опущен. В дальоа нейшем мы обы но будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование всякий раз, когда в выражениях типа (1.5) будут встречаться два одинаковых индекса, один из которых стоит вверху, а другой внизу. Поделив (1.5) на элемент времени Лг, соответствующий перемещению точки сплошной среды из точки ЛХ в точку М' пространства наблюдателя, и взяв предел при Лг — О, получим Га.

П. Кинематика доформируомой среды зс по определению скорость точки сплошной среды: дт дх' — — э; = и э; =-. э'эо+ э'эг+ и эз, (1.6) откуда где индексы з' внизу указывают на то, что производные берутся при постоянных параметрах З', з', З', индивидуализирующих точку среды. Величины и', и', г называются компонентами вектора скорости и в базисе эо, э„эз. Скорость и ее компоненты зависят, вообще говоря, от $', Р, зо, ~: П1 Эт 7оо1 ~2 Зоз ~) го ... ит д1 зоо зоо ~) 777 -- по 7З1 Ро $з ~) Для дальнейшего установим следующпе обозначения: буквами и с индексами 1, 2, 3 будем обозначать компоненты вектора скорости и в любой (в том числе иногда и декартовой) системе координат, а буквами и, г, ю — компононты вектора скорости только в декартовой системе координат. Причем и будет проекцией и на ось х, 77 — на ось у н н7 — на ось г. В декартовой системе координат поликение точки среды характеризуется радиусом-вектором тч и' = хо + ут'+ гй, и для скорости 77 имеем (дт') ~да~ й (д77),, ~дя * г.

о. О понятии зеятора Мы уже ввели в рассмотрение некоторые векторы, например скорость и, радиус- вектор г, перемещение й. Что же называется вектором? Вектор не скаляр, но в то же время, как и скаляр, является инвариантиым, не зависящим от выбора системы координат, объектом. Определяя вектор, часто говорят, что зто — три числа, называемые компонентами вектора, преобразующиеся при переходе от одной системы координатк другой определеннымобразом. Однако ото определение недостаточно, так как вектор всегда задается в определенном базисе и, аадавая вектор его компонентами, всегда надо укааывать бааис, в котором они заданы.