Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 10

Тогда дх' дхт дхе где производные —, —.;, — берутся при постоянных 5', $', $з, и, следовательно, являются компонентами скорости и', з', пе соответственно. Поэтому Заметим, что при заданной функции Т (х', х', х', т) для вычисления (дТ/д~)с~полностью знать закон движения сплошной среды нв нужно, нужно анать только поле скоростей и. Гл. 11. Кинематика деформкруемой среды 36 Производная (дТ1д1)„г характеризует изменение температуры со временем в данной точке сплошной среды и называетсн индивидуальной, или субстанциональной, или полной производной температуры Т по времени 1. Она часто обозначаетсн символом ЫТ/й.

Производная (дТ1д1); характеризует изменение температуры Т в единицу времени в данной точке пространства х', х', х'. Она называется местной или локальной производной и обозначается дТ)д1 В общем случае индивидуальная производная г1Т1г11 яе равна местной дТ)д1, а отличается от нее яа величину, зависящую от движения частицы и называемую конвективной производной. Итак, 6Т ЗГ , , зт х з1 Ниже разберем определение конвективной производной подробнее, а сейчас опять на примере поля температур познакомнмся с понятиямк, которые можно ввести для каждого скалярного поля. Если температура Т задана как функция переменных Эйлера, то в каждый данный момент времени 8 можно рассмотреть поверхности Т(х, у, г, 1) = совзФ, Поверхноетн уровня которые называются поверхностями равного уровня или 7» ? 'г ь 'г Рно. 4.

Поверхноотн равного уровня н вектор-градневттемпературы. зквипотенциальными поверхностями. В случае поля температур зги поверхности называются изотермическими поверхностями Выбрав на поверхности равного уровня ПРоневоднаа но навэавае- Т = сопзФ некоторую точку М, можно научить, как будет меняться температура Т в зависимости от направления, по которому можно выходить из этой точки. Обовначвм вто направление через в. $3. Скалярные и векторные пола и их хараитериотаии 37 Предел ЬТ дТ 11ш — =— а» р ЬЗ да называется производной Т по направлению л.

Очевидно, что, еслил .— — л„т. е. направление д лежит в касательной в точке М плоскости к поверхности уровня Т =- сопзь, то дт =-0 Так как ЬТ равняется Та — Т„причем Т, = сопз$, Т,=сопэ$ — уравнения соседних поверхностей равного уровня, и для заданного гаТ имеет место формула Ьп = Ла соз и (см. рис.

4), то дТ дТ вЂ” =- — соэ и дг дп (зл) о пгаб Т = — та', да где пР— единичный вектор нормали и, направленной в сторону роста Т. Очевидно, абсолютная величина ягаб Т больше там, где поверхности равного уровня Т = сопз1 расположены гугце. Согласно (3.1) проекция вектора-градиента температур на любое направление в есть производная от температуры по этому направлению: (р ят).= —, дТ В частности, проекции вектора-градиента на оси координат х', ха ха равны (дгаб Т) дТ «Е дае и в декартовой системе координат Втаб Т = — е + —,у + — гс. дТ дТ .

дТ дх др да где дТ/ди — производная по направлению нормали и к поверхности равного уровни Т = сопзФ, а и — угол между и и л. Ясно„ что наиболыпее значение производной дТ/да достигается в направлении нормали и (при а = 0). Введем в рассмотрение вектор, направленВеитор-градиент ный по нормали та в сторону роста Т и равный по величине дТ/ди. Назовем этот вектор вектором- градиентом скалярной функции, в данном случае температуры Т, и будем обозначатьего втаб Т: Ги. 11. Кинематика деформируемой среды Заметим, что дТ)дх, дТ~)др, дТ)дг можно рассматривать квк компоненты вектора, так как с) Т = — с(х + — сср + — сЬ дТ дТ д7 де ду дс есть инвариант, а Их, с(у, ссг — компоненты вектора огг.

Мы назвали конвективной производной температуры по времени выражение с с дТ ~ ос †., которому, используя понятия де' вектора-градиента температуры и скалярного произведения, можно придать другой вид: Коивеитивиая произвол иая дТ ос —. = тс игас) Т. дхс е Лс игас) Т лс Очевидно, тс Лс равняется перемещению Ли (см. рис.

5) и д7 . Лв игед Т (Ягео Т),Лс ос —. =- 1)ш = 1сш д;.=„Лс =„, Лс Рис. 5. К понятию иоивективиой производной. дТ . Л* . ЛТ = — 1сш — = 1сш —, дс ис Лс с„лс причем приращение ЛТ температуры происходит за счет перемещения частицы сплошной среды из одной точки пространства в другую со скоростью в вдоль направленияд (из точки А в точку В на рис. 5). В общем случае конвективная производная отлична от нуля, так как значения температуры в точках А и В разные. Она может быть равной нулю при отсутствии движения, либо приотсутствииградиента температуры, т. е.

тогда, когда температура в данный момент времени не меняется от точки к точке пространства (такое поле называется однородным), либопридвижении вдоль поверхности уровня. Под производной всегда понимают предел отношения приращения фуякции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Какое ясв приращение функции берется в случае определения конвективной пропзвод- нойР Запишем копвективную производную температуры в виде $3. Скаляркьсе и векторные коля и кх характеристики 39 формулы длк оиредевевия С понятиями индивидуальной, местной и комкоиеит ускоревив в де конвективной производных по времени иартовой системе коордитесно связано правило определения компоиепт ускорения в том случае, когда скорость задана с точки зрения Эйлера.

Пусть в декартовой системе координат пам заданы компоненты скорости вс, вс, уз как функции переменных Эйлера. Как найти компоненты ускорения? Ускорение определяется для частицы сплошной среды, поэтому компоненты ускорения будут определяться как ивдивидуальпые производные по времени от соответствующих коьшопент скорости, т. е. /до С Ни /ди1 ди ди ди а =-( — ~ = — =( — ~ +и — +э — +и— (,дС/ Ш дС/ дх ду дс С СС / ди 1 до / ди 1 ди ди дв ав — — ( —.~ = — =( — ~ +и — +э — +кс —, и (,дС)С М (,дС,)С дк ду дс' х /ди ~ 0и /ди1 дю ди* дв а, =( — ~ = — =( — с +а — +у — '+ю —.

Ш (,дС/', дв ду дс ' /» Обратим внимание на то, что эти формулы верны только в декартовой системе координат. Различные процессы и движения назыуетаиовившиеек и иеуеваются установившимися или стационарньпии„если все характеризующие зти процессы или движения величины в случае задания их с точки зрения Эйлера зависят только от х', х', х' и не зависят явно от времени С. Таким образом, для устаковившихся процессов и движений локальные кроизводные по времени от всех характеризующих их величин равны нулю, т. е.

дТ ды див дис дС дС дС дС В частности, поле температур установившееся, если Т = = Т(х',х', х'); еслиже Т= Т(х',х',хз, С), тоононеустаковившееся. Распределения температуры Т, скорости тс и других величин в пространстве х', х', хз, взятые в разные моменты времени, совпадают друг с другом в случае установившихся движений и отличаются друг от друга в случае неустановившихся движений. Понятие установившихся движеиий очень важно для приложений. Во-первых, многие иэ встречающихся в приложениях течений являются установившимися, а, во-вторых, изучать такие движения с точки зрения Эйлера проще в силу того, что число независимых перемевных при этом уменьшается на единицу (время выпадает).

Заметим, что одно и то же движение может быть как установившимся, так и неустановившимся. Это зависит от выбора 40 Гл. 11. Кинематика дефорквруеией среды Векторные ливии; винюсь тома и =- и'э~ = и'э, + эзэ, + взэз, где г' (ж', я', х', 1) - компоненты скорости в базисе э,. Требование задания скорости является весьма сильным требованием, и его можно несколько ослабить, накример, можно потребовать задания п не во все времена 1, а только в некоторый определенный момент времени 1,. Можно пойти еще дальше и потребовать задания в каждой точке пространства х', х', л' в данный момент 1, только направления вектора скорости, без учета его величины. Очевидно, что ответ на такое требование дает построение семейства линий, касательные к которым в каждой точке пространства будут совпадать в данный момент 1, с направлением вектора скорости п в этой точке.

Такие линии в случае поля скоростей и называются линиями тока, а в случае произвольного векторного поля — векторными линиями. Для каждого поля скорости п можно построить семейство линий тока, и если семейство линий тока построено, то в каждой точке с точностью до направления по ним будет известно направление вектора скорости е. На практике часто бывает весьма необходимым знать линии тока.

Их можно определять экспериментально. Это связано с равработкой методов визуалиаации течений. Например, для экспериментального определения линий тока проводят фотографирование с малой выдержкой течений жидкостей с подмешанными в них взвешенными части- той системы координат, относительно которой оно изучается. Так, например, волновое движение воды, возникающее за кораблем, движущимся с постоянной скоростью, будет установившимся с точки зрения подвижного наблюдателя, находящегося на корабле, и неустановившимся с точки зрения наблюдателя на берегу. Понятно установившегося движения является отно сительным. Отметим, что оба указанных наблюдателя рассматривают в своих системах координат движение, которое определено относительно одной и той же системы координат: либо абсолютное движение относительно берегов, либо относительное по отношению к кораблю.

Перейдем теперь кизучению понятия векторных линий, которые можно ввести для любого векторного поля, например для поля скоростей и, поля ускорения а, поля градиента температур атай Т и т. д. Для определенности выясним смысл этого понятия на примере векторных линий поля скорости, которые называются линиями тока. Как известно, для того чтобы задать поле и, нужно в каждой точке пространства х', л', лз и в каждый момент времени 8 задать вектор: 3 3.

Скалярные и векторные полл и ил характериотики 41 цами специальных порошков, с созданными внутри жидкости пузырьками воздуха и т. д. Мелкие движущиеся вместе с жидкостью частицы оставляют на фотографиях короткие черточки, которые в целом воссоздаеот картину линий тока. Можно легко увидеть векторные линии магнитного поля. Для этого достаточно насыпать на лист бумаги мелкие железные опилки и снизу поднести к нему магнит. Можно увидеть и линии тока при обтекании крыла самолета. Для этого крыло обклеивают тонкими шелковинками и фотографируют картину его обтекания в аэродинамической трубе или непосредственно в полете. Как найти семейство линий тока аналитически? Для этого необходимо указать математическую задачу, из решения которой определятся линии тока. Запишем условие того, что элемент йт = Их'э; = Нхтэт + дхеэе + охлэ„ взятый вдоль линии тока, и вектор скорости и = Фэ~ = и'э, + пеэе + реве параллельны друг другу: пг = пЛ ю.