Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 12

Таким обравом, несмотря на то, что на разных сферах равного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Д в потенциале ф (3.7) является объемом жидкости. протекающей эа единицу времени через каждую такую сферу. Величина 9 называется расходом или мощностью источника (стока).

З 4. Элемевтм теязоряого исчисления Если 9 = сопзФ, то источник или сток имеет постоянную мощность; если ~',) = Д (~) — то переменную. Если в некоторый момент времени () меняется в начале координат, то мгновенно изменяется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменения ~ сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь моста в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений.

Во многих случаях можно считать, ытЬ такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений (450 м/сек. 4 4. Элементы тензорного исчисления Многие характеристики движения сплошной среды имеют тензорную природу, поэтому рассмотрим основы тензорного исчисления. Заметим, что скаляр и вектор тоясе лвляются тензорами, но наиболее простыми.

Одних векторных и скалярных величин для описания движения сплошной среды недостаточно. Система координат устанавливает соответствие между числами и точками пространства. В каждой точке пространства есть три координатные линии. Это могут быть координатные линии сопутствующей системы координат з', 4с, $', или системы отсчета наблюдателя х', х', хз, или еще какой-нибудь системы координат, Поэтому для обозначения системы координат в этом разделе воспользуемся буквами 4~, 4', 4' илн д', ч', т)з.

Система координат вводится в рассмотрение исследователем, и ее выбор зависитотисследователя, а не отизучаемогоявления. Законы движения могут содержать координаты, но не должны зависеть от выбора системы координат. Они должны быть инвариантными относительно выбора системы координат, что накладывает известные ограничения на внд математической записи этих законов.

Рассмотрим необходимые сведения из теоПреобразовавяе рии преобразования координат. Пусть наряду с системой координат есть система координат т)~, т)', дз и ваконы движения можно рассматривать как относительно системы ~', 4с, ь', так и относительно т)', т)', ~)з. Пусть есть соответствие между этими двумя системами (4Л) Гл.

11. Кинематика деформируамой среды называемое преобразованием координат. Будем рассматривать непрерывные взаимно однозначные преобразования координат. Они образуют группу. Будем искать соотношения, инвариантные относительно группы непрерывных взаимно одноаначных преобразований. По (4Л) имеем дьг г(~а = ~, с1ц'+ — о'г) д4г дог — сгц, дгз дв (4.2) сг~ = —. г)г)', д~~ дг1' (4.2') где по 1 идет суммирование от 1 до 3, а 1 пробегает еначения 1, 2, 3, что в дальнейшем не будет указываться, но будет подравумеваться.

Итак, вблизи любой данной точки есть свяаь приращений коордннат оь' и Щ. Проиаводные дь7'дц' являются функциями точки,но в ааданной точке они постоянны, и (4.2) является линейной свяаью приращений координат г1(,' и гй1' в данной точке. Введем обоаначения: где первый индекс, 1, соответствует ее строке, а второй, 1,— ее столбцу. Иа вэаимной однозначности следует, что якобиан преобрааования, равный детерминанту матрицы ~ е",.~ отличен от нуля, т.

е. Ь = — ) а';.)+О. Так как Л + О, то линейные соотношения (4.2) мовгно разрешить относительно Ыг1' и наряду с (4.2) написать формулы г1г1~ = — ~у г1Г1. д4 (4.3) Введем матрицу (Из дальнейшего следует, что расстановка индексов вверху и вниву и порядок написания индексов весьма важны.) Величины я.,: образуют матрицу '1 а'.Д = А, 1 4. Элзмевтм тевзорвого исчисления где ь да» Ь.;.

= —.. дьт Матрицы А и В введены для прямого и обратного преобразо- ваний. Они взанмяо обратны, т. е. их произведение равняется единичной матрице. Действительно, А В = $! а.'т: Д. ~ Ь.''з Ц = Ц а.'тЬ~;, /$, но т. и дат двт д~~ 11 при 1 =- а, а.т'Ьтз = — ' и дзт д~" д~з ~0 при 1:~Ь, так как ~т, ~', ьз, как ицт, т~', цз, являются независимыми координатами. Далыпе будем пользоваться символами Крояекера И при г=й, Ьй=~ 0 при 1=,ьтт. Имеем 100 010 001 А.В-:Р',;1= где Š— единичная матрица. Очевидно, что детерминант матрицы В ~ Ьт тЬг = ММ', Приведенные выше рассуждения были проведены для трехмерного пространства, но они верны и для любого и-мерного пространства, в том числе одномерного, двумерного и четырехмерного, встречающихся в механике сплошной среды. Заметим, что приводимые рассуждения не требуют введения метрики пространства. Пространство т,т, ~т, ьз может быть неметрическим пространством или пространством с весьма сложной метрикой.

Теперь ради полноты изложения и подчерВекторы базиса кивания употребляемых точек зрения повторим вопрос о введении векторов базиса э„э„эз. В системе координат ьт, ьт, ьз рассмотрим точку М с координатами ьт, Р, ~з и бесконечно близкую ей точку М' с координатами ьт + т1ьт, ьз + т1Р, ьз + ттьз (рис. 9). Введем в рассмотрение новый объект 50 1к. П.

Кккематкка деформкруемой среды т. е. пару бесконечно близких точек М и ЛХ', взятых в определенном порядке (упорядоченную пару точек), и изобразим его на чертеяае стрелкой; ММ' определяется только координатами точек ЛХ и ЛХ'. Наряду с й' введем в рассмотрение другой объект (4.4) где й — некоторое число; объект йот направлен по Й', если й ) О, и противоположно от, если й ( О. Проведем из точки М координатные линии и рассмотрим на них точки У„Уа, Уа, ~~~ -г~з~ Рвс. 9. Векторы базиса еь еа, ее. определяемые соответственно приращениями только одной из координат Ы~', илн дь', или бьа. Аналогично объекту Из' введем объекты ЛХУ„МЖ„ЛХЖ или по (4.4), полагая й,. = $/Ы~~, объекты эт — е =эо дь~ которые мы назовем векторами базиса; они навравлены по касательным к координатным линиям.

В общем случае Ыт направлен произвольно, и по определению можно написать йт = й~'э, + с(Рэе + НР э,. Причем й~', оье, дьа называются компонентами Ыт. Очевидно, векторы базиса э„э, э, системы координат ~', Р, ьа в системе координат ь', ~а, ~а всегда имеют компоненты ($, О, 0), (О, $, 0), (О, О, 1) соответственно. Векторы базиса можно ввести как в си- б 4.

Элементы теиаорного исчисления 51 стене координат ь», ь', ь', так и в системе координат»)», »)', т)е. В равных системах координат в одной и той же точке они будут разными. Обоаначим векторы бааиса в системе координат »)', т»л через э' „ э,', э,' и в системекоординат т»», »)*, т»е будем иметь Очевидно, что компоненты дг и векторы базиса э, зависят от выбора системы координат. Получим формулы, с помощью которых векторы базиса э,' в новой, т»», »)», Чл, системе координат могут быть выражены через векторы бааиса э,. в старой, ь», ь», Для этого достаточно воспользоваться определением векторов бааиса э» и э».

э; = —. = — —. = э»а.,:. э' эг эг» (4.5) д»»» д4» д»»» Преобразование векторов баеиеа и компонент бг при переходе от одной системы координат и другой Для компонент»бг согласно (4.3) имеем свяаь (ц' = Ь.';~~'. (4.6) так как ь4~) = 0 = 51. Следовательно, выражение»гг через компоненты и векторы базиса соответствующей системы координат не меняется при переходе от одной системы координат к другои; оно инвариантно относительно преобрааований систем координат. Величины, преобравующиеся аналогичкокаРю»итие»х контРа но векторам базиса э по (4.5), называют- вариантных величинах ся ковариантными. »»еличнны, преобравующиеся аналогично компонентам й по (4.6), называются контраварианткыми.

Подчеркнем, что преобразования, образующие ковариантные и контравариантные величины, являются взаимно обратными. Заметим, что векторы баанса э, преобравуются согласно (4.5) с помощью матрицы д, а компойенты»Ь' — по (4.6) с помощью матрицы В, обратной матрице А. (Необходимо обратить внима. ние на расположение индексов в (4.5) и в (4.6).) Объект й' инвариантен относительно преинллРилнтпоеть бг отно- обрааований координат.

В самом деле, сительно преобраеоланнй координат »»г = И»)'э» = о'»»(4'а'. э, = »(~'э;, 52 Гл. П. Кинематика деформируемой среды Определение вектора Теперь по примеру Ат'можно ввести объект А, который представляется через базис следующим образом: А = А'а», и его компоненты А' при преобразовании координат преобразуются как компоненты й'.

АЯ 53 (» Объект А, инвариантный, как и й', относительно преобразований координат: А = А 'а; =- А "э;, (4.7) и рассмотреть Т = Т'Е», (4.8) где Т» — числа, называемые компонентами Т в базисе Е, (» =$,2,...,9). Базисные объекты Е, называются полиадными произведениями векторов базиса э,. (в данном случае их можно назвать диадными, так как каждое произведение состоит из двух векторов, но можно вводить и произведения многих векторов вида Е,= = а, э» эз э„в трехмерномпространстве г = $, 2,..., 81).

По определению полиадные произведения векторов базиса считаются линейно неаависвмыми, т. е. равенство Т = 0 возможно, называется вектором. Инвариантность вектора А обеспечивается взанмообратностью преобразований компонент вектора А» и векторов базиса а . Векторы базиса являются носителями каждого вектора, коз»рфициенты при них в (4.7) являются в общем случае числовыми функциями точки М. Вектор А может иметь любую геометрическую или физическую природу, но через векторы базиса он всегда определяется разложением (4.7), где числа (функции) А» зависят от системы координат.

Векторы базиса а,. управляют числами А» и создают новый объект — вектор .А. Возникает вопрос: нельзя ли, кроме э„ полиздиые ивоизведении ввести еще какие-нибудь базисные объек- векторов базиса ты, которые, подобно аы управляя числами, позволили бы ввести еще более сложные, чем вектор, понятия, инвариантные относительно преобразований координат7 Такие объекты можно ввести, и, в частности, за такие объекты можно взять Ед — — э»эд, Ез — — э»эз, Ез — — эдас, Е4 = эза, Е, = э,э„Е»= э,а„Е, = э,э„Ез = азат, Ез = э,э, $ 4. Элементы тензориого исчисления оЗ Полиадное умножение векторов представляет собой некоторую операцию над векторами, приводящую к новым объектам (не векторам и не скалярам).

Для определения этой операции достаточно указать ее свойства. В частности, существен порядок перемножаемых векторов (э,э, ч'= эеэ ). По определению операция полиадного умножения является линейной (выполняется свойство дистрибутивности, порядковое положение числовых множителей в произведении несущественно).