Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 13

Например, справедливо равенство э~(аэ;+ Ьэ,) = аэ,э;+ Ьэрл, (4.9) где а н Ь вЂ” числа. Полиадные произведения векторов базиса э,э;, так же как и сами векторы базиса эь зависят от системы координат. Формулы преобразования величин э,э,легко получить, зная формулы преобразования э; и пользуясь свойством линейности полиадного произведения.

Зтн формулы имеют вид (4.10) Компоненты полнадных (диадных) пронзведенийа;эг в соответствующей им системе координат можно записать в виде матриц, состоящих из одной единицы и остальных нулей. Например, компоненты э,ае образуют матрицу 010 000 000 С помощью полнадных произведений можно вводить объекты, называемые тензорами.

Потребуем, чтобы Тпэ,а~ было инвариантно относительно преобразований систем координат, т. е. Т ~э<э = Т ~а;э', и гя (4,11) где ТЯ и Т'П относятся к разным системам координат. Отсюда и из правила преобразования полиадных произведений (4.10) ясно, что ТЯ должны преобразовываться при замене систем координат по формулам Те Ьь ЬРТ,е р а (4 12) только если 9 чисел Т' равны нулю.

Вместо новых обозначений Е, удобно пользоваться непосредственно обозначениями а„э~ и писать равенство (4.8) в виде Т = Таам;. 64 Гл. 11. Кинематика деформируемой среды Определение тензора Инвариантный объект Т = Т'»э,э; нааывается тензором второго ранга или второй валентности. Рангом или валентностью тензора называется число индексов его компонент. Очевидно, вектор есть тензор первого ранга. Как и в случае вектора А, инвариантность тензора Т обеспечивается взаимообратностью преобрааований полиадных произведений (4 10) и компонент тензора (4.12). Аналогично тензору второго ранга можно ввести тензор любого ранга, например тенаор пятого ранга, как Т = Т™тэ»э,эьэ»э = Тл'и э,э;э»э»э, (4.13) где объектами, управляющими числами Т»ы»ю, теперь являются полиадные произведения э,.этэьэ»э„, которые преобразуются аналогично (4.10), а компоненты тензора преобразуются аналогично (4.12).

Подчеркнем, что вектор и тепзор определяются как объекты, не зависящие от преобразований координат, а не как просто набор компонент, которые преобраауютсп по заданному закону '). »»»»»»»»отрк Введенные по (4. 1 1 ) и (4. 1 3) компоненты етричиые и антискм- »»»гз»л~ тенаора Т', Т1 '" пРеобРазУютсЯ контравариантным образом и называются контравариантными компонентами тензора.

В общем случае все компоненты тензора Т разные. Если же при перестановке какой-либо пары индексов значение компонент тензора Т сохраняется, Т»)м = Тдм, то тензор Т называется симметричным по зтим индексам. Из правила преобразования компонент тензора (4.12) лспо, что свойство снммет- ») Мы определили иввариаитвые объекты — векторы и тевзоры, бааисные объекты и компоненты которых преобразуются при преобразовании координат ц» = »»»($», $з, бз) с помощью взаимно обратных матриц а»; = = дб»»дц» и Ь); = д»)»/дб», Аналогичкыь» образом можно вводить другие ба зисные объекты е», преобрааозаиие которых определяется другими (свяванными иным способом с преобразованием координат) матрицами А; 'и Н»», и строить на их основе соответствующие иввариавтнме объекты 4» = 1»»е» = »2»е»з Р = Р»»е»ез = Р ~~еге» и т, д.

таким образом, чтобы Например, при рассмотрении ортогональкых преобразований, кроме векторов к теизоров вводят спвиоры и спин-текаоры, базисные объекты н Ф » компоненты которых преобразуются с помощью некоторых матриц А» и В», являющихся другим (не совпадающим с а»; и Ь'.)) матричным представ левием группы ортогональиых преобразований пространства.

э 4. Элементы тенэорпого исчисления рии тенэора инвариантно относительно преобразований координат. Если при перестановке какой-нибудь пары индексов компоненты тенэора Т меняют знак, Том = — ТЯ>', то тепэор Т называется антисимметричным по этим индексам. Свойство антнсимметрии тенэора также инвариантно относительно преобразований координат. Если взять тензор Т = Т'>э,э>э то объект Тв = Т'"»э>э>, где Т '> = Т>>, тоже будет тенэором, причем Т = Тэ только для симметричного тенэора. Воэьмем два тенэора А = А'>" э>э>эд и пожевпе пх па число = > > д слежение тевэоров и Уы- В Вяд э э.э н составим комбйнацию А -1- В = (А ы> + В»")э,з;эд, котоРаЯ, очевидно, также будет тенэором, Этот новый тенэор А + В наэывается суммой тенэоров А и В.

Таким образом, с помощью указанного правила иэ данных тенэоров можно образовать новые, которые являются их суммой или разностью. Складывать и вычитать можно тенэоры только одинаковых рангов. Очевидно, что если мы имеем тенэор А, то объект С = й А, где й — любое число, не зависящее от системы координат (скаляр), так>не будет тенэором. Операции спыметрпроваПользуясь правилами сложения и умновня п альтервпровапю, жения тенэоров на число, любому тенэору второго ранга Т = Т"э,э> можно поставить в соответствие симметричный тенэор Т, = — (Т" + Т") э>э> и антисимметрнчный тенэор Т, = — — (Т" — Т"') э>э;.

г Операции получения тенэоров Т, и Т, носят название операций симметрирования и альтернирования соответственно. Если тенэор Т симметричный, то Т, = Т, а Т, = О; если Т антисимметричный, то Т, = О, а Т, = Т. Заметим, что по определению тенэор равен нулю, если все его компоненты равны нулю. Векторы баэиса э>, преобраэующиеся по Формулы пресбраэоэавю> (4.5), носят наэвайие ковариантных векпопт~эварпаптпых векто торов баэиса. Пусть имеем некоторый ров вэнса тевэор второго ранга » = х э,э; и в и некоторой системе координат ь>, Р, >,э введем э> = хпэ>, (4Л4) где, например, к»э> = ммэ + я»ээ + >д>эээ — — э' является суммой трех векторов баэиса эо умноженных на числа х». 5с Гл.

!1. Кинематика деформнруемой среды Аналогично в другой системе координат ц~, т)т, це мощно ввести э'г = к""э. Р Формулы преобразований кое (4.12) и э, (4.5) нам известны, с их помощью получим формулы преобразования э': где (сп — дополнительные миноРы матРицы ((кои, а А = РеС ~~к' )). Таким образом, зная матрицу рк11(~, детерминант которой отличен от нуля, можно по (4Л6) составить матрицу !/кп~! и разрешить (4Л4) относительно э, В некоторой системе координат Р, ~е будем иметь 1 эз = кпэ.

(4.17) Аналогично в другой системе координат ц', ц', Ч' э; = кцэ' . ч С помощью известных формул преобразований э~ т4.5) и э (4.15) получим формулу преобразования для компонент ккь Действительно, ь е е ь ь п э; = кцэ = а.~эе = а.,кетэ = а.,:а.~кт„э, откуда кп = аз а.~к у' е (4Л8) э'Р = к'"еэ = ЬХЬ.';кна~'э„= Ь."акмэ; == Ьггэ', (4Л5) так как Ье,:а~ =Ь";. Видно, что э' преобразуются контравариантным образом. Они называются контравариантными векторами базиса. Итак, с помощью произвольного тензора второго ранга к можно ввести контравариантные векторы базиса эт. Заметим, что если ковариантные векторы базиса э» зависели только от системы координат, то контравариантные векторы базиса эт зависят и от системы координат, и от тензора к, с помощью которого они образованы. Зная контравариантные векторы базиса Ковариантные э', можно найти ковариантные векторы базиса э,, т.

е. можно разрешить (4.14) относительно э,. для этого необходимо ввести матрицу )~к„~), обратную матрице 5кп5, что требует соблюдения условия РеВ !!кк((+О. Из элементов алгебры известно, что (4Л6) 1 4. Элементы теизорвого исчисления Видно, что если составить вырая»ение х»гэ»э», где э'э» — поли- адные проиаведения контравариантных векторов базиса э', которые преобраауются по формулам э"э" = Ь".~Ь»»эээ», то оно будет представлять собой объект, не зависящий от выбора системы координат, нбо х„" преобразуются ковариантным, а полнадные произведения э»э» контравариантным образом.

Кроме того, по (4.14) и (4.17) ХпЭ Э = Х' Х' ХпЭРЭа = Х Эвэа »»»в и ва если положить А, = х»;А'„ (4Л9) Видно, что у коктравариантныхкомпонентА'вектора А, как в у контравариантных векторов базиса э' индекс опускаетск с помощью ковариантных компонент тензора х (4.19) и (4.17). Следовательно, А» преобразуются так >»»е, как и э„т.

е. ковариантным образом: р А;=а. А„; А нааываются ковариантными компонентами вектора А в контравариантном бааисе э». Следовательно, для кал»дого вектора А можно ввести компоненты А', преобрааующиеся с помощью матрицы В, называемые контравариантными компонентами, и компоненты А„преобравующиеся с помощью матрицы А, называемые ковариантными компонентами. В общем случае ковариантные и контравариаптные компоненты вектора отличаются друг от друга, А»+ Ая Рассуждения, проведенные для вектора, можно применить к ген ворам любого ранга и получить, например, для тензора К о мариавтвые м смешан мыс компоненты теввора четвертого ранга Т = Т»гл»в»э»эгэ» = Т»»л»хшц х и» ввэсэмэ" = Т „эвэаэ ве = х»вх»мэ»эвэ э» = .» .~.э»эээ э».

(4.20) Таким обрааом, мы видим, что х,» можно назвать коварнантными компонентами рассмотренного выше тепаора второго ранга х в коитравариантком бааисе э'. Ради простоты в дальнейшем будем считать х симметричным тензором, т. е. х»» =х»», а следовательно, и х»; =х;». Для любого вектора А, очевидно, можно Коварвамтвые компоненты пр»шввольвого вектора А = А'э; = А'хиэ' = А»э», 5В Гл. П. Кинематика деформвруемой среды Компоненты Тр „называются ковариантными, а Т»' ~— смешанными (ковариантными по индексам р, э и контравариантными по индексам ю', 1) компонентами тензора Т. Формулы преобразования для смешанных компонент имеют вид 'рр.в 1 ° 1 т. р ч.

р Т. „„''. =- Т.р'~.Ь. а.,,'а.„'Ь,!, т. е. преобразование коварнантное по нижним индексам л, г и контраварнантное по верхним индексам т, г. Мы видим, что с помощью тензора к у компонент любого тензора можно опускать и поднимать индексы. Зта операция носит название операции жонглирования индексами. Например, Т= Т„ээ'= Тпк"вР = Т.';э,э', (4.21) вместо записи тензора Т с помощью коваркантных компонент Т„.

мы получили его выражение через смешанные компоненты т. Т;.. Ясно, что опускание индексов (4.20) проводится с помощью км, а поднятие (4.24) с помощью хс. Заметим, что складывать и вычитать можно только компоненты тензоров с одинаковыми строениями индексов. Свойства симметрии и антнсимметрии тензоров также определялись нами относительно одинаково расположенных индексов. Длина вектора Все приведенные вылив рассуждения относились к одной произвольной, но фиксированной точке пространства.

Введем теперь метрику пространств, т. е. укажем способ определения длин в пространстве. Для определения длины вектора достаточно определить скалярные произведения векторов базиса в, э;=дп, которые, вообще говоря, в данной точке могут быть произвольными числами. Квадрат длины вектора д~ по определению будет равен ~ й')' = сЬ' = А" сЬг = сад~'э< э; = ~$'~фрн, (4.22) а квадрат длины любого вектора ) А ~~ = А'А'дп. Длина любого вектора выражается через его компоненты и скалярные произведения векторов базиса ян. Условие инвариантности длины (ак~ относительно выбора системы координат имеет вид ) Ь (з = д'„Ь|р (Ч' = й„.а0'а~ = яяа!;л.',акр й)' $ 4. Элементы тензоркого исчисления Фундаментальный мет рвчосянй тензор Квадратичная относительно приращений координат д~' форма (4.22) называется фундаментальной квадратичной формой, задающей метрику — расстояние между близкими точками пространства. Из алгебры известно, что всякую квадратичную форму с постоянными коэффициентами можно привести к каноническому виду, т.

е, в каждой выбранной точке можно найти такие координаты х', х', х', что квадратичная форма (4.22) запишется в виде суммы квадратов: (4.23) сЬ2 = (а1)т + (яхт)2 + (((хс)2 а матрица тензора я приведется к виду 100 010 001 Заметим, что выполнять такого рода преобразование сразу во всем пространстве, вообще говоря, нельзя, т. е.