Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 14

нельзя найти такую систему координат х', х', х'„ чтобы (4.22) во всем пространстве привелась к виду (4.23). Если такая система координат существует, то пространство называется евклидовым, если нет — неевклидовым. Если в п-мерном пространстве форму (4.22) с помощью вещественного преобразования координат мои<но во всем пространстве привести к виду сЬ' = о~ (дх1)', где а~ — — ~ 1, 1 =1, 2, 3, ..., и, и по крайней мере одно из а,. отличается знаком от других, то пространство называется псевдоевклидовым.

Очевидно, для тензора д наряду с ковариантными компонентами дп можно ввести контравариантные компоненты йп таким же способом, как для фигурировавшего ранее тензора и. При этом необходимо только, чтобы Пес ()дп () +О. С помощью йс можно ввести контравариантные векторы базиса э~: э' = йяэ„ (4.24) Отсюда вытекают тензорные формулы преобразования я,.~. 'дрт — — а'.за~' д;. образом, в силу инвариантности длины ) й' ~ величины йп следует рассматривать как ковариантные компоненты тензора д = дпэ'э', который называется фундаментальным метрическим тензором. Согласно определению скалярного произведения тензор д является симметричным тензором: 60 Гл. 11.

Кинематика дсформирусмой среды и проводить жонглирование ицдексами уже не с помощью произвольного тензора х, а с помощью фундаментального метрического тензора д. Установиьз свойства скалярных произвеИзавмесвизь иовадиавт- девнй Эд Э ного и контражриаитиого базнсое, если в качестве Из (4.24) имеем и исиользУетси тсшор з э'.э — эз'э . = — бг (4 25) т. е. э'э =4, э'э,=О, э'э, =Оит.д.

Отсюда следует, что вектор базиса э' ортогонален площадке, образованной векторами э„ э„ и т. д. Нетрудно проверить, что для контравариантных векторов базиса верны следующие формулы: эг Х эз , эз Х эг з эг Х эз 4. 26 э эг (эг Х эз) ' эг. (эз х эз) ' эг (эг Х эз) ' а для ковариантных — формулы: э' х эз э' Х эг эг х ээг э, ==- Э,г з ==-... —, „, (4.27) йг». '1 00' = 010 =~5',;.Р. 001 Мы уже познакомилнсь с некоторыми операциями над тензорами, укажем еп(е на операцию умножения тензоров. Пусть =- А'э, и тензор Т = Т~;э„эг'; формально Неоврсделсввос уиножевве тензсров имеется вектор А образуем В = А1Т~ э,эьэ' В' = А'Т~~элэ)эь — — Т'~А;эзэвэ).

где знаком х обозначены обычные векторные произведения. Говорят, что ковариантные и контравариантные векторы базиса взаимны. Ясно, что в декартовой ортогональной системе координат э( = эл следовательно, в такой системе координат нет разницы между ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров и поэтому написание индексов вверху и внизу становится несущественным. Из (4.25) ясно, что смешанные компоненСмешанные вомвоиенты метрического теизора ты я.; фундаментального метрического тензора д в любой системе координат образуют единичную матрицу: $4. Элементы тензорлого всчвслеввл б1 Очевидно, В и В* будут тензорами, но В + В*. Эта операция, приводящая к получению тенворов более высокого, чем исходные, ранга, носит название операции неопределенного умножения тензоров.

Ее результат зависит от порядка умножения. С помощью неопределенного умножения векторов можно образовать тензор любого ранга А1А1Ал ... э,.э1эд..., но не всякий тенаор можно представить как проиаведение векторов. С помощью неопределенного проиаведения можно вводить тенаоры вида ."о =- д"улла"... э;э;э„э э,э,... =- =- дпд„,д„,... э'э'эгэ'э"э'... = 6.';6~'6".;... э,э'э э'э„э'... Очевидно, что смешанные компоненты тензоров Ю в любых системах координат одинаковы, т.

е. они являются ннвариантами преобразования координат. Эти компоненты равны нулю или единице. Скаляр й можно рассматривать как тенЧисле компонент тенлора вор нулевого ранга, он характеризуется одним числом (3~ —.= 1), вектор — тензор первого ранга в трехмерном пространстве имеет три компоненты (3' = 3), тензор второго ранга имеет 3' = 9 компонент и т. д., тензор ранга р имеет в трехмерном пространстве Зл компонент, а тензор ранга г в и-мерном пространстве имеет и' компонент. Иногда, например при наличии симметрии, число независимых компонент тензора может сокращаться.

В частности, двухвалентный симме! тричный тензор (Ты = Тя) имеет только шесть неаависимых компонент, а антнсимметричный (Тп == — Тя) имеет только три независимые компоненты. Понятие симметрии тензора означает инвариантность его компонент относительно некоторой группы преобразований.

Например, указанные выше смешанные компоненты тензора Ю инвариантны относительно группы всех непрерывных преобразований. Номпоненты тензора Ю с любым строением индексов инвариантны относительно группы ортогональных преобразований, определенной из условия ипварнантности компонент фундаментального тензора я,.~. В общем случае компоненты тенеора за- "-Ч ° Р ° тев висят от выбора системы координат, но лора можно поставить вадачу: отыскать такие функции Ф (Т,,) от компонент тензора, которые будут инвариант- ц ными относительно выбора системы координат, т.

е. Ф (Т:';) = — Ф (Т.' ). Такие функции компонент тензора навываются инвариантами тенвора Они являются числами или функциями точек простран- Гл. 11. Кинематика деформируемой среды ства. Именно такие функции компонент тензоров и векторов должны, наряду с другими инвариантными объектами, входить в математическую запись физических законов, которая должна быть инвариантной относительно способов описания физического явления и, в частности, не должна зависеть от системы координат. Лналогичным способом можно определить инвариантные функции от компонент нескольких тензоров.

Такие функции навываются скалярами. Укажем простые правила образования инвариантов вектора и тензора. Возьмем вектор А = Аеэ =А1э1 =А~дчэ1 и составим скалярное произведение А ° А = А'А'эе э; =- А'А'дп =- А'Ао Полученное вырви<ение является инварнантом (квадратом длины вектора А), так как преобразования разноименных компонент вектора взаимно обратны.

У вектора только один независимый инвариант — его длина, все остальные инварианты являются ее функциями. Теперь возьмем любой тензор второго ранга Т == Тпэ,.э1 и образуем свертку по обоим индексам с метрическим тенэором Тмдя (сверткой называется операция суммирования по верхнему и нижнему индексам), которая даст число, не зависящее от системы координат, так как преобразования компонент с верхними и нижними индексами взаимно обратны. Можно за- писать Т.')Т!;, Т':,Т!,'Т.'г (4.28) Свертки также будут инвариантами. Итак, для тенэора второго ранга мы получили три инварнанта: линейный, квадратичный и кубичный относительно компонент. Ниже будет показано, что в случае симметричного тензора второго ранга, особенно важном для наших приложений, все остальные скалярные инварианты будут функциями этих трех. теиаорвая иове Вовьмем проиввольную точку 0 и близкую к ней точку )и.

Проведем в 0 координатные линии Э', ~е, ~а и рассмотрим вектор О.ЗХ = сЬ' = сфэ1 и симметричный тензор Т = Тмэ,э1 = Тпэ'э'. 4. Элементы товзорного нсчвсаенвв ез Очевидно, ТпК'Рз является инвариантом, и мы мох<ем положить Т„ай~ = Т;,ат)Чьу' =. с, (4.29) где с — некоторое число. В малой окрестности точки О уравнение (4.29)при фиксированном с и значениях Т„., взятых в точке О, определяет поверхность второго порядка, которая называется тензорной поверхностью. Дифференциалы И~' или ~з)' рассматриваются как координаты точек этой тензорной поверхности. Каждому симметричному тензору Т второго ранга в каждой точке можно поставить в соответствие поверхность второго порядка (4.29).

Как известно, уравнение атой поверхности второго порядка с помощью преобразования координат можно привести к каноническому виду, т. е. в точке 0 можно выбрать систему координат х', х', х' так, что (4.29) примет вид т11 бьат)3 + Тзз (ахз)3 + Тзз (ахз)' = с. Система координат х', х', х' в точке О будет при этом ортогональной. Следовательно, в каждой точке пространства можно ввести оси координат так, что только три компоненты Тзы Т,з, Т„ симметричного тензора второго ранга будут отличными от нуля.

Такие оси называются главными осями тензора, а прячоугольнал декартова система координат, оси которой направлены по главнтлм осям, называется главной системой координат тензора. Очевидно, разница между ковариантными и контравариаптными компонентами в главной системе координат пропадает: Главные оем н главные вомвоненты тензора Тв =Т =Т;'=Т, (суммирование по з здесь отсутствует). Три вообще различных и отличных от нуля компоненты тензора в главной системе называются его главньвии компонентами. Теперь можно легко ответить на вопрос о числе независимых инвариантов симметричного тензора второго ранга.

Все они в главной системе координат должны быть функциями только трех компонент, и, следовательно, их число ле может быть больше трех, а из записи инвариантов(4.28) в главной системе ясно, что все три найденных ранее инварианта независимы. На атом мы закончим изложение элементов тенэорной алгебры. В дальнейшем нам потребуется ряд сведений иэ тензорного анализа, которые мы будем излагать по мере необходимости. Гл. 11. Кинематика Лефориируеиой среды $5. Теория деформаций Пусть относительно системы координат наблюдателя х', х', х' движется абсолютно твердое тело (рис.