Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 9

5 1. Точка ереккя Лагранже В декартовой системе координат компоненты вектора призязаны к е, у, 7с, а в произвольной криволинейной системе координат — к меняющимся от точки к точке пространства векторам базиса э, Ч'аким образом, компоненты вектора в криволинейной системе координат, в противоположность компонентам вектора в декартовой системе, существенно связаны с точкой, в которой он рассматривается. Говоря, например, о векторе скорости н в каждой точке пространства, надо рассматривать числа Ф, г', ге и векторы базиса э„ э.„ э, п опроделять вектор н по (1.6), где э,.

являются базисными векторами, через которые можп > представлять аналогичным способом каящый вектор в данной системе координат. Кроме скорости требуется рассматриУекорекяе вать еще ускорение а точки сплошной среды, которое также является вектором, где а'=- а' д', ~', ье, г) — компоненты ускорения.

ускорение а, как и скорость н, вычисляется для индивидуальноя точки сплошной среды. Определение ускорения связано с выбором системы координат наблюдателя х', х', х', в которой рассматривается закон движения (1.2). Система координат х',хе, хе может быть подвижной. Необходимо отметить, что соотношения де, д.ч . де а .—. —, а = —, а .==— д8 ' дг ' д8 справедливы только в декартовой системе координат и не справедливы в криволинейной.

Действительно, вектор ускорения определяется как производная от вектора скорости по времени, /де ~ а =~ — ) о и при вычислении компонент ускорения следует — ~д~), * иметь в виду, что точка среды с течением времени перемещается в пространстве, а векторы базиса э, кривол|шейной системы меняются от точки к точке пространства. В декартовой системе координат верны также формулы д'х д'у д'г а' = —, а' = — ае =- —. дн ' дР ' ди Во многих случаях исследования движений сплошной среды основная аадача об отыскании законов движения может заменяться задачей определения функциональных зависимостей компонент скорости е1или ускорения а* от $', $', Р и г.

Га. П. Кзиематзка деформвруемой среды Подчеркнем специально, что точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды лежит в основе физических законов, так как они связаны с дэнн<вилем индивидуальных материальных частиц. з 2. Точка зренля Эйлера на лзгченяе движения сплошной среды Сущность точки Эйлера зрения Предположим теперь, что нас интересует не история двлженил индивидуальных точек сплошной среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной геометрической точке пространства, связанного с системой отсчета наблюдателя.

Пусть наше внимание концентрируется на данной точке пространства, в которую приходят разные частицы сплошной среды. Это и составляет сущность точки зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды. Например, движение воды в реке можно изучать, либо следя за движением каждой частицы воды от верховьев рени до ее устья (это будет точка зрения Лагранжа), либо наблюдая изменение течения воды в определенных местах реки, нв прослеживая движения отдельных частиц воды вдоль всей реки (зто точка зрения Эйлера). Точка зрения Эйлера весьма часто употПеремелвые Эйлера рвбллетсл в приложениях.

Геометрические координаты пространства х', х', хэ и время Э носят название переменных Эйлера. Движение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если скорость, ускорение, температура и другие интересу>ощие величины заданы как функции х', х', хэ и 1. Функции т> = — п (х' х', х' ~) а = а (х' х', х' ~), Т = Т (х', х', х', ~) и т.

д. при фиксированных х", х', х' ипеременном г определяют изменения со временем скорости, ускорения, температуры и т. д. в данной точке пространства для разных приходящих з эту точку частиц. При фиксированном г и переменных х', х',хэ эти функции дают распределения характеристик движения в пространстве в данный момент времени 1; при переменных х', х', хэ и 1 — распределения характеристик длин>ения в пространстве в разные моменты времени. отличие точек зрения Таким образом, с точки зрения ЛагранЛагранжа и Эйлера иа жа, мы интересуемся законами изменения вэучелие движения еляош- скорости, ускорения, температуры идруиой среды тих величин для данной индивидуальной точки сплошной среды, а с точкизрения Эйлера — скоростью, ускорением, температурой и т.

д. в данном месте. С точки зрения Эйлера, мы выделяем некоторую область пространства и хотим знать все данные о частицах, которые в нее приходят. $2. Точка зрення Эйлера Ясно, что математически точка зрения Эйлера отличается от точки зрения Лагран>ка только тем, что в первой переменными являются координаты точек пространства х>, х', хз и время 1, а во второй — параметры $', З>, $з, индивидуализирующие точку сплошной среды, и время Закон движения сплошной среды имеет Переход ет переменных Лагу Эйлер апжа к перененнын х*' = х' ф, Р, ~з, 1), (2Л) а в котором независимые переменные й>, ь>, йз, 2 являются переменными Лагранжа. Разрешив его относительно $', $', $з, получим $ =- ь'(х', х,х, Г), (2.2) т. е.

перейдем к переменным Эйлера. При фиксированных х', х', хз (2.2) указывает те точки (с>, с>, сз) сплошной среды, которые в разные моменты времени приходят в данную точку пространства. Если скорость и = п(ь', $', ~', ~), ускорение температура а = и (й>, й>, йз, г), у уу р ~з и = и (х, у, з, 8), п = и (х, у, з, г), и> = ю (х, у, г, 8). Компоненты скорости и, г, и> являются производными от соответствующих координат х, у, х по времени 2 при постоянных параметрах 5>, з>, ьз, индивидуализирующих точку сплошной среды.

Позтому, если и, в, и> заданы как функции и другие величины заданы с точки зрения Лагранжа, т. е. как функции з', ь', ьз и Г, то (2.2) дают возможность найти скорость, ускорение, температуру и т. д. как функции переменных Эйлера х', х', ха и г. Таким образом, если движение с точки зрения Лаграя>ка известно и его надо определить с точки зрения Эйлера, то для етого требуется только разрешить закон движения (2.1) относительно ь', $', ьз, т. е.

записать его в виде (2.2); переход от движения, заданного по Лаграпжу, к описанию движения по Эйлеру сводится только к разрешению неявных функций. Переход ет переменных Наоборот, пусть с точки зрении Эйлера Эйлера и перепеннып Лат- задано распределение скоростей в проранжа страпстве. Как найти закон движения, т. е. перейти к описанию движения по Лагранжу1 Возьмем декартову систему координат х, у, з, и пусть в пей известны 34 Гл. П. Клнеиатвка Лефоринруемой среды переменных Эйлера х, у, г и г, то на соотношения Их — =ли(х,у, г, Г), — е=л(х,у,г,~), ар аг ш — — ю(х,у, г, 1) можно смотреть как на систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно х, у, г, Решив эту систему, найдем х, у, г как функции 8 и трех произвольных постоянных С, Сю Сз, которые определяются по значениям х, у, г в некоторый данный момент 8а и, следовательно, являются параметрами, индивидуализирующими точку сплошной среды, — переменными Лагранжа.

Таким обрааом, в результате решения этой системы дифференциальных уравнений находится закон движения (2.1), с помощью которого можно перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа во всех формулах, определяющих распределения а, Т и т. д. Следовательно, переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа при заданном поле скоростей связан, вообще говоря, с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что задания движения сплошной среды с точек зрения Лагранжа и Эйлера в механическом отношении эквивалентны друг другу. $ 3.

Скалярные и некторпые поля и их характеристики ппрелелепве сааллрпего и При изучении движенил сплошной среды векторного полей необходимо вводить в рассмотрение скалярные и векторные величины: темпера.- туру Т, скорость и и др. Их, вообще говоря, можно рассматривать в разных системах координат: в системе координат наблюдателя и в системе координат, вмороженной в среду. Они могут быть функциями х', х', ха или функциями з', з', зз. В каждой из этих систем координат можно выделить некоторую конечную или бесконечную область и каждой точке атой области поставить в соответствие число, например температуру Т, или вектор, например скорость и, или, как увидим позднее, еще другие, более сложные характеристики.

Совокупность аначений той или иной величины, заданных в каждой точке рассматриваемой области, называется полем этой величины. Если рассматриваемая величина — скаляр, т. е. число, значение которого в данной точке не зависит от выбора системы координат, то поле называется скалярным. Примерами скалярных полей могут служить поле температур, поле $3.

Скалярвые и векторные поля и их характеристики 35 плотностей и др. Если жв рассматриваемая величина — вектор, как, например, скорость, ускорение, то поле называется векторным. Скорость в каждой системе координат х', х', х' имеет три компоненты и', ит, эе и, следовательно, в данной точке и в данной системе координат определяется тремя числами. Поэтому поле скорости, как и любое другое векторное поле, равносильно трем полям проекций рассматриваемого вектора. Однако, хотя сам вектор ве зависит от системы координат, его проекции зависят от системы координат. На примере поля температур Т и поля скоростей в изучим некоторые общие характеристики скалярных и векторных полей.

Распределение температур можно задать и д е по е„и как с точки зРвниЯЛагРанжа: Т(Ь', Зт, Зз, 1), так источкизренияЭйлера: Т(х',х',х', г). Если распределение, Т задано с точки зрения Лагранжа, то подсчитать изменение температуры Т в единицу времени 8 в частице сплошной среды очень просто. Оно будет равно производной Как вычислить ту же величину, если распределение температуры задано в зависимости от переменных Эйлера Т (х',х', хз, ~)? Очевидно, для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа Т (х', хт, хз, д) =- — Т (х3 ($1 $2 $3 д) хт (З1 $$ ~з Г) хз Я1 $2 $3 т) ~] и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функ- ции.